В математике , в частности в теории трансцендентных чисел и диофантовом приближении , лемма Зигеля относится к оценкам решений линейных уравнений, полученным путем построения вспомогательных функций . Существование этих многочленов было доказано Акселем Туэ ; [1] В доказательстве Туэ использовался принцип ящика Дирихле . Карл Людвиг Зигель опубликовал свою лемму в 1929 году. [2] Это чистая теорема существования для системы линейных уравнений .
В последние годы лемма Зигеля была усовершенствована, чтобы дать более точные оценки оценок, даваемых леммой. [3]
Заявление
Предположим, нам дана система M линейных уравнений от N неизвестных таких, что N > M , скажем
где коэффициенты являются целыми рациональными числами, а не все 0, и ограниченная B . Тогда у системы есть решение
с X s все рациональные числа, не все 0, и ограничены
Bombieri & Vaaler (1983) дали следующую более точную оценку для X :
где D представляет собой наибольший общий делитель из М × М миноров в матрице А , и Т является его транспонирование . Их доказательство заключалось в замене принципа «ячеек » методами, основанными на геометрии чисел .
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Туэ, Аксель (1909). "Über Annäherungswerte algebraischer Zahlen". J. Reine Angew. Математика. 1909 (135): 284–305. DOI : 10,1515 / crll.1909.135.284 . S2CID 125903243 .
- ^ Сигель, Карл Людвиг (1929). "Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen". Abh. Preuss. Акад. Wiss. Phys. Математика. Kl. : 41–69., перепечатано в Gesammelte Abhandlungen, том 1; лемма изложена на стр. 213
- ^ Bombieri, E .; Мюллер, Дж. (1983). «Об эффективных мерах иррациональности дляи подобные числа ». Journal für die reine und angewandte Mathematik . 342 : 173–196.
- ^ ( Hindry & Silverman 2000 ) Лемма D.4.1, стр. 316.
- Bombieri, E .; Ваалер, Дж. (1983). «По лемме Зигеля». Inventiones Mathematicae . 73 (1): 11–32. Bibcode : 1983InMat..73 ... 11B . DOI : 10.1007 / BF01393823 . S2CID 121274024 .
- Хиндри, Марк ; Сильверман, Джозеф Х. (2000). Диофантова геометрия . Тексты для выпускников по математике. 201 . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-98981-5. Руководство по ремонту 1745599 .
- Вольфганг М. Шмидт . Диофантово приближение . Конспект лекций по математике 785. Springer. (1980 [1996 с небольшими исправлениями]) (страницы 125-128 и 283-285)
- Вольфганг М. Шмидт. «Глава I: Лемма Зигеля и высоты» (страницы 1–33). Диофантовы приближения и диофантовы уравнения , Лекции по математике, Springer Verlag 2000.