Принцип голубятни

Голуби в норах. Здесь n = 10 голубей в m = 9 лунках. Так как 10 больше 9, принцип голубятни гласит, что по крайней мере в одной дыре может быть более одного голубя. (В верхнем левом отверстии изображены 2 голубя.)

В математике , то Принцип Дирихле утверждает , что если элементы введены в контейнеры, с , то , по крайней мере , один контейнер должен содержать более одного элемента. ^[1] Например, если у кого-то три перчатки, то у него должно быть как минимум две правые перчатки или как минимум две левые перчатки, потому что в одной есть три предмета, но только две категории рук, в которые их можно надеть. Это, казалось бы, очевидное утверждение, своего рода счетный аргумент. ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle m}$ $n>m$ , можно использовать для демонстрации возможных неожиданных результатов. Например, учитывая, что население Лондона превышает максимальное количество волосков, которое может присутствовать на голове человека, то принцип «ящика» требует, чтобы в Лондоне было как минимум два человека с одинаковым количеством волос на голове. головы.

Хотя принцип закутка появляется еще в 1624 году в книге приписывается Жан Леерчона , ^[2] , что обычно называют принципом окна Дирихле или принципом ящика Дирихля после 1834 обращения принципа по Дирихлю под названием Schubfachprinzip ( "ящик принцип "или" принцип полки "). ^[3]

Принцип имеет несколько обобщений и может быть сформулирован по-разному. В более количественной версии: для натуральных чисел и , если объекты распределены по множествам, тогда принцип «ящика» утверждает, что по крайней мере один из множеств будет содержать по крайней мере объекты. ^[4] Для произвольного и это обобщает, где и обозначают функции пола и потолка , соответственно. $k$ $m$ $n=km+1$ $m$ $k+1$ $n$ $m$ $k+1=\lfloor (n-1)/m\rfloor +1=\lceil n/m\rceil ,$ $\lfloor \cdots \rfloor$ $\lceil \cdots \rceil$

Хотя наиболее прямое приложение применяется к конечным множествам (таким как голуби и коробки), оно также используется с бесконечными множествами, которые нельзя поставить во взаимно однозначное соответствие . Для этого требуется формальная формулировка принципа «ящика», который гласит: «Не существует инъективной функции , codomain которой меньше, чем ее домен » . Расширенные математические доказательства, такие как лемма Зигеля, основываются на этой более общей концепции.

Этимология [ править ]

Ящики для сообщений в Стэнфордском университете

Дирихле публиковал свои работы как на французском, так и на немецком языках, используя либо немецкий Schubfach, либо французский tiroir . Строгое первоначальное значение этих терминов соответствует английскому ящику , то есть ящику с открытым верхом, который можно задвигать и извлекать из шкафа, в котором он находится . (Дирихле писал о распределении жемчуга по ящикам.) Эти термины были преобразованы в слово « голубятня» в смысле небольшого открытого пространства в столе, шкафу или стене для хранения писем или бумаг , образно укорененных в структурах, в которых живут голуби.

Поскольку мебель с ящиками для ящиков обычно используется для хранения или сортировки вещей по многим категориям (например, письма в почтовом отделении или ключи от номеров в отеле), ячейка для перевода может быть лучшей интерпретацией исходной метафоры ящика Дирихле. Это понимание термина « голубятня» , относящегося к некоторым деталям мебели, постепенно исчезает - особенно среди тех, кто не говорит по-английски, но является лингва-франка в научном мире - в пользу более наглядной интерпретации, буквально связанной с голубями и дырами. Наводящая на размышления (хотя и не вводящая в заблуждение) интерпретация «голубятни» как «голубятни» в последнее время вернулась к немецкому обратному переводу «принципа голубятни» как «Taubenschlagprinzip».^[5]

Помимо оригинальных терминов «Schubfachprinzip» на немецком ^[6] и «Principe des tiroirs» на французском ^[7] , все еще используются другие буквальные переводы на болгарский («принцип на чекмеджетата»), китайский («抽屉原理»), датский. ("Skuffeprincippet"), голландский ("ladenprincipe"), венгерский ("skatulyaelv"), итальянский ("Principio dei cassetti"), японский ("引き出し論法"), персидский ("اصل لانه کبوتری"), польский ("zasasada") szufladkowa "), шведский (" Lådprincipen "),Турецкий (çekmece ilkesi) и вьетнамский ("нгуен ли хуп").

Примеры [ править ]

Сбор носков [ править ]

Предположим, что в ящике есть смесь черных и синих носков, каждый из которых можно носить на любой ноге, и что вы вытаскиваете из ящика несколько носков, не глядя. Какое минимальное количество натянутых носков необходимо, чтобы пара была одного цвета? Используя принцип ячеек, чтобы иметь хотя бы одну пару одного цвета $(m = 2$ отверстия, по одному на цвет), используя по одному ящику для каждого цвета, вам нужно вытащить из ящика только три носка $(n = 3$ шт.) Либо у вас есть три предмета одного цвета, либо у вас есть два предмета одного цвета и один другого цвета .

Рукопожатие [ править ]

Если есть $n$ человек, которые могут пожать друг другу руки (где $n > 1$ ), принцип ячейки показывает, что всегда есть пара людей, которые пожмут руку одинаковому количеству людей. В этом применении принципа «дыра», к которой приписывается человек, - это количество рук, которые он пожимает. Поскольку каждый человек пожимает руку некоторому количеству людей от 0 до $n - 1$ , существует $n$ возможных отверстий. С другой стороны, либо отверстие '0', либо отверстие $' n - 1',$ либо оба должны быть пустыми, поскольку это невозможно (если $n > 1$ ) для кого-то, чтобы пожать друг другу руки, в то время как кто-то никому не пожимает руки. Это оставляет $n$ человек, которые должны быть помещены не более чем в $n - 1$ непустую дырку, так что принцип применим.

Этот пример рукопожатия эквивалентен утверждению, что в любом графе с более чем одной вершиной есть по крайней мере одна пара вершин с одинаковой степенью . ^[8] Это можно увидеть, связав каждого человека с вершиной, а каждое ребро - с рукопожатием.

Подсчет волос [ править ]

Можно продемонстрировать, что в Лондоне должно быть как минимум два человека с одинаковым количеством волос на голове, следующим образом. ^[9] Так как типичная человеческая голова имеет в среднем около 150 000 волос, разумно предположить (в качестве верхней границы), что ни у кого на голове не более 1 000 000 волос $(m = 1 миллион$ дырок). В Лондоне проживает более 1000000 человек ( $n$ больше 1 миллиона единиц). Назначив ячейку для каждого количества волос на голове человека и распределив людей по ячейкам в соответствии с количеством волос на голове, должно быть по крайней мере два человека, назначенных в одну ячейку по 1 000 001-му назначению (потому что у них есть одинаковое количество волосков на голове) (или, $n > m$ ). Предполагая, что в Лондоне проживает 8,9 миллиона человек ^[10], можно даже утверждать, что по крайней мере девять лондонцев имеют такое же количество волос, поскольку восемь лондонцев в каждой из 1 миллиона ячеек составляют всего 8 миллионов человек.

Для среднего случая ( $m = 150 000$ ) с ограничением: наименьшее количество совпадений, будет не более одного человека, назначенного на каждую ячейку, и 150 001-го человека, назначенного на ту же ячейку, что и кто-то еще. При отсутствии этого ограничения могут быть пустые ячейки, потому что «столкновение» происходит перед 150 001-м человеком. Принцип просто доказывает наличие перекрытия; в нем ничего не говорится о количестве совпадений (которое подпадает под распределение вероятностей ).

В «Истории афинского общества» есть мимолетный сатирический намек на эту версию принципа с приставкой «Дополнение к афинскому оракулу: сборник оставшихся вопросов и ответов в древнеафинских Меркуриях». (Отпечатано для Эндрю Белла, Лондон, 1710 г.). ^[11] Кажется, возникает вопрос , были ли в Мире какие-либо два человека с одинаковым количеством волос на голове? был выращен в Афинском Меркурии до 1704 года. ^[12]^[13]

Возможно, первое письменное упоминание о появляется принцип закуток в 1622 в коротком предложении латинской работы Selectæ Propositiones , французского иезуита Жан Леерчон , ^[2] , где он писал : «Необходимо , чтобы два человека имеют одинаковое количество волос, écus или другие вещи, как друг друга ". ^[14] Полный принцип был изложен двумя годами позже с дополнительными примерами в другой книге, которую часто приписывают Лерешону, но, возможно, она была написана одним из его учеников. ^[2]

Проблема дня рождения [ править ]

В задаче о дне рождения задается набор из $n$ случайно выбранные люди, какова вероятность того, что у какой-то пары из них будет один день рождения? По принципу «ячеек», если в комнате 367 человек, есть как минимум одна пара, у которой один и тот же день рождения, так как есть только 366 возможных дней рождения на выбор (включая 29 февраля, если он есть). «Парадокс» дня рождения относится к результату, когда даже если группа состоит всего из 23 человек, вероятность того, что есть пара людей с одинаковым днем рождения, все равно превышает 50%. Хотя на первый взгляд это может показаться удивительным, интуитивно это имеет смысл, если учесть, что на самом деле сравнение будет проводиться между всеми возможными парами людей, а не фиксировать одного человека и сравнивать его только с остальной группой.

Командный турнир [ править ]

Представьте себе семь человек, которые хотят сыграть в командном турнире $(n = 7$ предметов) с ограничением выбора только четырьмя командами $(m = 4$ лунки). Принцип «ящика» говорит нам, что все они не могут играть за разные команды; должна быть хотя бы одна команда, в которую входят как минимум двое из семи игроков:

\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor +1=\left\lfloor {\frac {7-1}{4}}\right\rfloor +1=\left\lfloor {\frac {6}{4}}\right\rfloor +1=1+1=2

Сумма подмножества [ править ]

Любое подмножество размера шесть из множества $S$ = {1,2,3, ..., 9} должно содержать два элемента, сумма которых равна 10. Ячейки будут помечены двумя подмножествами элементов {1,9}, {2 , 8}, {3,7}, {4,6} и одноэлементный {5}, всего пять ячеек. Когда шесть «голубей» (элементы подмножества шестого размера) помещаются в эти ячейки, и каждый голубь входит в ячейку, на этикетке которой он содержится, по крайней мере, одна из ячеек, помеченных двухэлементной подгруппой, будет иметь две ячейки. голуби в нем. ^[15]

Использование и приложения [ править ]

Этот принцип можно использовать для доказательства того, что любой алгоритм сжатия без потерь , при условии, что он делает некоторые входные данные меньше (как следует из названия сжатия), также будет увеличивать некоторые другие входные данные. В противном случае набор всех входных последовательностей до заданной длины $L$ можно было бы сопоставить (намного) меньшему набору всех последовательностей длиной меньше $L$ без коллизий (поскольку сжатие без потерь), возможность, которую исключает принцип ящика.

Заметная проблема в математическом анализе является, при фиксированном иррациональным числом $а$ , чтобы показать , что множество {[ $па]: п$ представляет собой целое число} из дробных частей является плотное в [0, 1]. Оказывается, нелегко явно найти такие целые числа $n, m$ , что $| на - м | < e$ , где $e > 0$ - небольшое положительное число, а $a$ - произвольное иррациональное число. Но если взять $M$ такое, что $1 / M < e$ , по принципу "голубятни" должно быть $n 1, n 2 \in {1, 2, ..., M + 1$ } такое, что $n 1 a$ и $n 2 a$ находятся в одном целочисленном подразделении размера $1 / M$ (есть только $M$ таких делений между последовательными целыми числами). В частности, можно найти $n 1, n 2$ такие, что $n 1 a$ находится в $(p + k / M, p + (k + 1) / M)$ , и $n 2 a$ находится в $(q + k / M, q + (k + 1) / M)$ для некоторых $p, q$ целых чисел и $k$ в ${0, 1, ..., M - 1$ }. Тогда легко проверить, что $(n 2 - n 1) a$ находится в $(q - p - 1 / M, q - p + 1 / M)$ . Отсюда следует, что $[na] <1 / M < e$ , где $n = n 2 - n 1$ или $n = n 1 - n 2$ . Это показывает, что 0 является предельной точкой {[ $na$ ]}. Затем можно использовать этот факт для доказательства случая для $p$ в $(0, 1]$ : найти $n$ такое, что $[na] <1 / M < e$ ; тогда, если $p \in (0, 1 / M$ ], доказательство завершено. В противном случае $p \in (j / M, (j + 1) / M$ ], и, полагая $k = sup {r \in N : r [na] < j / M$ }, получаем $| [(k + 1) na] - p | <1 / M < e$ .

Варианты встречаются в ряде доказательств. В доказательстве леммы о накачке для обычных языков используется версия, в которой смешиваются конечные и бесконечные множества: если бесконечно много объектов помещается в конечное число ящиков, то существуют два объекта, которые разделяют ящик. ^[16] В решении Фиском проблемы художественной галереи используется своего рода обратное: если n объектов помещаются в k ящиков, то получается ящик, содержащий не более n / k объектов. ^[17]

Альтернативные формулировки [ править ]

Ниже приведены альтернативные формулировки принципа «ящика».

Если $n$ объектов распределены по $m$ местам, и если $n > m$ , то в какое-то место попадают как минимум два объекта. ^[1]
(эквивалентная формулировка 1). Если $n$ объектов распределены по $n$ местам таким образом, что ни одно место не принимает более одного объекта, то каждое место получает ровно один объект. ^[1]
Если $n$ объектов распределены по $m$ местам, и если $n < m$ , то какое-то место не получает никакого объекта.
(эквивалентная формулировка 3). Если $n$ объектов распределены по $n$ местам таким образом, что ни одно место не принимает ни одного объекта, то каждое место получает ровно один объект. ^[18]

Сильная форма [ править ]

Пусть $q 1, q 2, ..., q n$ - натуральные числа. Если

q_{1}+q_{2}+\cdots +q_{n}-n+1

объекты распределяются по $n$ ящикам, тогда либо первый ящик содержит не менее $q 1$ объектов, либо второй ящик содержит не менее $q 2$ объектов, ..., либо $n-$ й ящик содержит не менее $q n$ объектов. ^[19]

Простая форма получается из этого, если $q 1 = q 2 = ... = q n = 2$ , что дает $n + 1$ объект. Принятие $q 1 = q 2 = ... = q n = r$ дает более количественную версию принципа, а именно:

Пусть $n$ и $r$ - натуральные числа. Если $n (r - 1) + 1$ объектов распределены в $n$ ящиков, то хотя бы один из ящиков содержит $r$ или более объектов. ^[20]

Это также можно сформулировать так: если $k$ дискретных объектов должны быть распределены по $n$ контейнерам, то по крайней мере один контейнер должен содержать по крайней мере объекты, где - функция потолка , обозначающая наименьшее целое число, большее или равное $x$ . Точно так же по крайней мере один контейнер должен содержать не более объектов, где - функция floor , обозначающая наибольшее целое число, меньшее или равное $x$ . $\lceil k/n\rceil$ $\lceil x\rceil$ $\lfloor k/n\rfloor$ $\lfloor x\rfloor$

Обобщения принципа ячейки [ править ]

Вероятностное обобщение принципа голубятни гласит, что если $n$ голубей случайным образом помещаются в $m$ почтовых ящиков с равномерной вероятностью $1 / m$ , то по крайней мере одна голубятня будет содержать более одного голубя с вероятностью

1-{\frac {(m)_{n}}{m^{n}}},

где $(m) n$ - падающий факториал $m (m - 1) (m - 2) ... (m - n + 1)$ . Для $n = 0$ и для $n = 1$ (и $m > 0$ ) эта вероятность равна нулю; Другими словами, если есть только один голубь, не может быть конфликта. Для $n > m$ (больше голубей, чем ячеек) он равен единице, и в этом случае он совпадает с обычным принципом ячейки. Но даже если количество голубей не превышает количества почтовых ящиков ( $n \leq m$ ), из-за случайного характера распределения голубей по ящикам часто существует значительная вероятность столкновения. Например, если 2 голубя случайным образом распределены по 4 ячейкам, существует 25% -ная вероятность, что хотя бы одна ячейка будет содержать более одного голубя; для 5 голубей и 10 лунок эта вероятность составляет 69,76%; а для 10 голубей и 20 лунок - около 93,45%. Если количество отверстий остается фиксированным, всегда больше вероятность пары, когда вы добавляете больше голубей. Более подробно эта проблема рассматривается в парадоксе дня рождения .

Дальнейшее вероятностное обобщение состоит в том, что, когда действительная случайная величина $X$ имеет конечное среднее значение $E (X)$ , тогда вероятность отлична от нуля того, что $X$ больше или равно $E (X)$ , и аналогично вероятность отлична от нуля, что $X$ равно меньше или равно $E (X)$ . Чтобы увидеть, что это подразумевает стандартный принцип ячеек, возьмите любое фиксированное расположение $n$ голубей в $m$ отверстий и пусть $X$ будет числом голубей в ямке, выбранным равномерно и случайным образом. Среднее значение $X$ равно $n / m$ , поэтому, если голубей больше, чем нор, среднее значение больше единицы. Следовательно, $X$ иногда не меньше 2.

Бесконечные наборы [ править ]

Принцип голубятни можно распространить на бесконечные множества, сформулировав его в терминах кардинальных чисел : если мощность множества $A$ больше, чем мощность множества $B$ , то инъекции из $A$ в $B нет$ . Однако, в такой форме принцип тавтологическое , так как смысл утверждения о том , что мощность множества $A$ больше , чем мощность множества $B$ точно , что нет инъективно от $A$ до $B$ . Однако добавления хотя бы одного элемента к конечному набору достаточно для увеличения мощности.

Другой способ сформулировать принцип ячеек для конечных множеств аналогичен принципу, согласно которому конечные множества конечны по Дедекинду : пусть $A$ и $B$ - конечные множества. Если есть сюръекция из $A$ в $B,$ которая не является инъективной, то никакая сюръекция из $A$ в $B не$ является инъективной. Фактически, никакая функция любого вида от $A$ до $B не$ является инъективной. Это неверно для бесконечных множеств: рассмотрим функцию натуральных чисел, которая переводит 1 и 2 в 1, 3 и 4 в 2, 5 и 6 в 3 и так далее.

Аналогичный принцип действует и для бесконечных наборов: если несчетное количество голубей помещено в счетное количество ячеек, будет существовать по крайней мере один ящик, в который помещено несчетное количество голубей.

Однако этот принцип не является обобщением принципа ячейки для конечных множеств: в общем случае он неверен для конечных множеств. В техническом плане это говорит , что если и $B$ конечные множества такие , что любая Сюръекция от $A$ до $B$ не инъективно, то существует элемент $Ь$ из $В$ таких , что существует взаимно однозначное соответствие между прообраза $Ь$ и $А$ . Это совершенно другое утверждение, абсурдное для больших конечных мощностей.

Квантовая механика [ править ]

Якир Ааронов и др. представили аргументы о том, что принцип «ящика» может быть нарушен в квантовой механике , и предложили интерферометрические эксперименты для проверки принципа «ящика» в квантовой механике. ^[21] Однако более поздние исследования поставили этот вывод под сомнение. ^[22]^[23] В январе 2015 года в препринте arXiv исследователи Аластер Рэй и Тед Форган из Университета Бирмингема выполнили теоретический анализ волновой функции полета электронов с различными энергиями через интерферометр с использованием стандартного принципа «голубятни».. Если бы у электронов вообще не было силы взаимодействия, каждый из них давал бы один идеально круглый пик. При высокой силе взаимодействия каждый электрон дает четыре различных пика, всего 12 пиков на детекторе; эти пики являются результатом четырех возможных взаимодействий, которые может испытать каждый электрон (по отдельности, только вместе с первой другой частицей, только вместе со второй другой частицей, или все три вместе). Если бы сила взаимодействия была довольно низкой, как это было бы во многих реальных экспериментах, отклонение от картины нулевого взаимодействия было бы почти незаметным, намного меньше, чем период решетки.атомов в твердых телах, таких как детекторы, используемые для наблюдения этих закономерностей. Это сделало бы очень трудным или даже невозможным отличить слабую, но ненулевую силу взаимодействия от вообще отсутствующего взаимодействия и, таким образом, создавало бы иллюзию трех электронов, которые не взаимодействовали, несмотря на то, что все три проходили по двум путям.

См. Также [ править ]

Теорема Блихфельдта
Комбинаторные принципы
Комбинаторное доказательство
Дедекинд-бесконечное множество
Парадокс Гильберта в Гранд Отеле
Полиномиальная теорема
Лемма о накачке для регулярных языков
Теорема Рамсея
Символ Поххаммера

Заметки [ править ]

^ а б в Херштейн 1964 , стр. 90
^ a b c Ритто, Бенуа; Хеффер, Альбрехт (2014). «Принцип ячеек за два столетия до Дирихле» . Математический интеллигент . 36 (2): 27–29. DOI : 10.1007 / s00283-013-9389-1 . hdl : 1854 / LU-4115264 . Руководство по ремонту 3207654 .
↑ Джефф Миллер, Питер Флор, Гуннар Берг и Хулио Гонсалес Кабильон. « Принцип голубятни ». В Джеффе Миллере (ред.) Самые ранние известные применения некоторых слов математики . Электронный документ, получено 11 ноября 2006 г.
Перейти ↑ Fletcher & Patty 1987 , p. 27
^ Diskrete Mathematik - Страница 367 https://books.google.at/books?isbn=3833455292
^ Индукционная книга - страница 13 https://books.google.at/books?isbn=0486811999
^ Математический словарь - страница 490 https://books.google.at/books?isbn=0412990415
^ Пандей, Авинаш. «Теория графов D3 - интерактивные учебные пособия по теории графов» . d3gt.com . Проверено 12 января 20 .
^ Чтобы избежать немного запутанной презентации, этот пример относится только к не лысым людям.
^ «Оценки населения Великобритании, Англии и Уэльса, Шотландии и Северной Ирландии - Управление национальной статистики» . www.ons.gov.uk .
^ < https://books.google.com/books?id=JCwUAAAAQAAJ&q=mean+hairs >
^ < https://books.google.com/books?id=4QsUAAAAQAAJ&q=sent+ apartments >
^ < https://books.google.com/books?id=GG0PAAAAQAAJ&q=town+eternity >
^ Leurechon, Жан (1622), Selecæe Propositiones в Тота Sparsim Mathematica Pulcherrimæ , Gasparem Bernardum, стр. 2
Перейти ↑ Grimaldi 1994 , p. 277
^ Введение в формальные языки и автоматы , Питер Линц, стр. 115–116, Jones and Bartlett Learning, 2006
^ Вычислительная геометрия в C , Кембриджские трактаты по теоретической информатике, 2-е издание, Джозеф О'Рурк, стр.9.
^ Бруальди 2010 , стр. 70
^ Бруальди 2010 , стр. 74 Теорема 3.2.1.
^ В ведущем разделе это было представлено с заменами $m = n$ и $k = r - 1$ .
^ Ааронова, Якир; Коломбо, Фабрицио; Попеску, Санду; Сабадини, Ирэн; Struppa, Daniele C .; Толлаксен, Джефф (2016). «Квантовое нарушение принципа ящика и природа квантовых корреляций» . Труды Национальной академии наук . 113 (3): 532–535. Bibcode : 2016PNAS..113..532A . DOI : 10.1073 / pnas.1522411112 . PMC 4725468 . PMID 26729862 .
^ "Квантовые ящики в конце концов не парадоксальны, говорят физики" . 8 января 2015.
^ Рэй, Аластер; Форган, Тед (2014-12-03). «О последствиях квантового эффекта голубятни». arXiv : 1412,1333 [ квант-ф ].

Ссылки [ править ]

Brualdi, Ричард А. (2010), Вводная комбинаторика (5-е изд.), Pentice Hall, ISBN 978-0-13-602040-0
Флетчер, Питер; Пэтти, К. Уэйн (1987), Основы высшей математики , PWS-Kent, ISBN 978-0-87150-164-6
Гримальди, Ральф П. (1994), Дискретная и комбинаторная математика: прикладное введение (3-е изд.), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-54983-6
Херштейн, И. Н. (1964), « Темы алгебры» , Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016

Внешние ссылки [ править ]

"Принцип ящика Дирихле" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
« Странный случай Принципа Голубиной норы »; Эдсгер Дейкстра исследует интерпретации и переформулировки принципа.
« Принцип голубиной норы »; Элементарные примеры принципа, используемого Ларри Кьюсиком.
« Принцип голубятни из сборника интерактивных математических головоломок »; базовый анализ принципа голубятни и примеры Александра Богомольного .
« 16 забавных применений принципа « голубятни »»; Интересные факты выведены по принципу.
«У скольких людей одинаковое количество волос на теле?» . Бесконечная серия PBS . 1 декабря 2016 г. - через YouTube .

[Herstein64-1] а б в Херштейн 1964 , стр. 90

[leurechon-2] Ритто, Бенуа; Хеффер, Альбрехт (2014). «Принцип ячеек за два столетия до Дирихле» . Математический интеллигент . 36 (2): 27–29. DOI : 10.1007 / s00283-013-9389-1 . hdl : 1854 / LU-4115264 . Руководство по ремонту 3207654 .

[3] Джефф Миллер, Питер Флор, Гуннар Берг и Хулио Гонсалес Кабильон. « Принцип голубятни ». В Джеффе Миллере (ред.) Самые ранние известные применения некоторых слов математики . Электронный документ, получено 11 ноября 2006 г.

[4] Перейти ↑ Fletcher & Patty 1987 , p. 27

[5] Diskrete Mathematik - Страница 367 https://books.google.at/books?isbn=3833455292

[6] Индукционная книга - страница 13 https://books.google.at/books?isbn=0486811999

[7] Математический словарь - страница 490 https://books.google.at/books?isbn=0412990415

[8] Пандей, Авинаш. «Теория графов D3 - интерактивные учебные пособия по теории графов» . d3gt.com . Проверено 12 января 20 .

[9] Чтобы избежать немного запутанной презентации, этот пример относится только к не лысым людям.

[10] «Оценки населения Великобритании, Англии и Уэльса, Шотландии и Северной Ирландии - Управление национальной статистики» . www.ons.gov.uk .

[11] < https://books.google.com/books?id=JCwUAAAAQAAJ&q=mean+hairs >

[12] < https://books.google.com/books?id=4QsUAAAAQAAJ&q=sent+ apartments >

[13] < https://books.google.com/books?id=GG0PAAAAQAAJ&q=town+eternity >

[14] Leurechon, Жан (1622), Selecæe Propositiones в Тота Sparsim Mathematica Pulcherrimæ , Gasparem Bernardum, стр. 2

[15] Перейти ↑ Grimaldi 1994 , p. 277

[16] Введение в формальные языки и автоматы , Питер Линц, стр. 115–116, Jones and Bartlett Learning, 2006

[17] Вычислительная геометрия в C , Кембриджские трактаты по теоретической информатике, 2-е издание, Джозеф О'Рурк, стр.9.

[18] Бруальди 2010 , стр. 70

[19] Бруальди 2010 , стр. 74 Теорема 3.2.1.

[20] В ведущем разделе это было представлено с заменами $m = n$ и $k = r - 1$ .

[21] Ааронова, Якир; Коломбо, Фабрицио; Попеску, Санду; Сабадини, Ирэн; Struppa, Daniele C .; Толлаксен, Джефф (2016). «Квантовое нарушение принципа ящика и природа квантовых корреляций» . Труды Национальной академии наук . 113 (3): 532–535. Bibcode : 2016PNAS..113..532A . DOI : 10.1073 / pnas.1522411112 . PMC 4725468 . PMID 26729862 .

[22] "Квантовые ящики в конце концов не парадоксальны, говорят физики" . 8 января 2015.

[Rae_Forgan_2014-23] Рэй, Аластер; Форган, Тед (2014-12-03). «О последствиях квантового эффекта голубятни». arXiv : 1412,1333 [ квант-ф ].

[1]