Теорема Малера о компактности

В математике теорема Малера о компактности , доказанная Куртом Малером ( 1946 ), является фундаментальным результатом о решетках в евклидовом пространстве , характеризующим наборы решеток, которые «ограничены» в определенном смысле. С другой стороны, это объясняет, каким образом решетка может вырождаться ( уходить в бесконечность ) в последовательности решеток. Интуитивно говоря, это возможно только двумя способами: стать крупнозернистым с фундаментальной областью , которая имеет все больший объем; или содержащие все более и более короткие векторы. Его еще называют еготеорема выбора , следуя более старому соглашению, используемому в именовании теорем компактности, потому что они были сформулированы в терминах секвенциальной компактности (возможность выбора сходящейся подпоследовательности).

который параметризует решетки в с его фактор-топологией . Существует четко определенная функция ∆ на X , которая является абсолютным значением определителя матрицы – она постоянна на смежных классах , поскольку обратимая целочисленная матрица имеет определитель 1 или −1. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

Теорема Малера о компактности утверждает, что подмножество Y множества X относительно компактно тогда и только тогда , когда Δ ограничено на Y и существует окрестность N точки 0 в такой, что для всех Λ в Y единственной точкой решетки Λ в N является 0 сам. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

Утверждение теоремы Малера равносильно компактности пространства единично-кообъемных решеток, в которых систола больше или равна любому фиксированному . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$ ${\ Displaystyle \ varepsilon > 0}$

Теорема Малера о компактности была обобщена на полупростые группы Ли Дэвидом Мамфордом ; см . теорему Мамфорда о компактности .