Последовательное пространство

В топологии и смежных областях математики , последовательное пространство является топологическим пространством , которое удовлетворяет очень слабой аксиоме счетности .

В любом топологическом пространстве каждое открытое подмножество обладает следующим свойством: если последовательность в сходится к некоторой точке в, тогда последовательность в конечном итоге будет полностью внутри (т. Е. Существует такое целое число , которому все принадлежат ); Любой набор с этим свойством называется последовательно открытым , независимо от того, открыт он или нет в. Однако возможно, что существует подмножество, которое имеет это свойство, но не может быть открытым подмножеством Последовательных пространств точно${\ Displaystyle (Х, \ тау),}$ ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ left (x_ {i} \ right) _ {i = 1} ^ {\ infty}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle N}$${\ Displaystyle x_ {N}, x_ {N + 1}, \ ldots}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle (X, \ tau).}$${\ displaystyle S}$${\displaystyle X.}$те топологические пространства, где подмножество с этим свойством никогда не перестает быть открытым. Последовательные пространства можно рассматривать как именно в тех пространствах , где для любого заданного подмножества одного знания которых последовательности в сходятся к какой точке (ы) (а какие нет) достаточно , чтобы определить , является ли или нет замкнуто в ^{[примечание 1]} Таким образом , последовательные пробелы - это те пробелы, для которых последовательности могут использоваться в качестве «теста», чтобы определить, является ли какое-либо данное подмножество открытым (или, что эквивалентно, закрытым) в ; или, иначе говоря, секвенциальные пространства - это те пространства, топологии которых можно полностью охарактеризовать в терминах сходимости последовательностей. В любом пространстве, которое не${\displaystyle X}$${\displaystyle S\subseteq X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$последовательно, существует подмножество, для которого этот «тест» дает « ложноположительный результат ». ^{[заметка 2]}

В качестве альтернативы, то, что пространство является последовательным, означает, что его топология, если она « забыта », может быть полностью восстановлена ​​с использованием только последовательностей, если у вас есть вся возможная информация о сходимости (или несходимости) последовательностей и ничего более . Однако, как и все топологии, любая топология, которая не может быть описана полностью в терминах последовательностей, тем не менее может быть описана полностью в терминах сетей (также известных как последовательности Мура – ​​Смита) или, альтернативно, в терминах фильтров . Все пространства с первым счетом , включая метрические пространства , являются последовательными пространствами. ${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle \tau ,}$${\displaystyle (X,\tau )}$

Существуют и другие классы топологических пространств, такие как пространства Фреше – Урысона , T -последовательные пространства и -последовательные пространства, которые также определяются в терминах того, как топология пространства взаимодействует с последовательностями. Их определения отличаются от определений последовательных пространств лишь тонкими (но важными) способами, и часто (поначалу) удивительно, что последовательное пространство не обязательно обладает свойствами пространства Фреше – Урысона, T- последовательного или -последовательного пространства. ${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$

Секвенциальные пространства и -секвенциальные пространства были введены С.П. Франклином . ^[1]${\displaystyle N}$

История [ править ]

Хотя пространства, удовлетворяющие таким свойствам, неявно изучались в течение нескольких лет, первое формальное определение первоначально было дано С.П. Франклином в 1965 году, который исследовал вопрос о том, «какие классы топологических пространств можно полностью определить, зная их сходящиеся последовательности? " Франклин пришел к приведенному выше определению, отметив, что каждое первое счетное пространство может быть полностью определено знанием его сходящихся последовательностей, а затем он абстрагировал свойства первых счетных пространств, которые позволили этому быть истинным.

Определения [ править ]

Предварительные мероприятия [ править ]

Пусть будет набором и пусть будет последовательностью, в которой последовательность в наборе по определению является просто картой из натуральных чисел в Если это набор, то означает, что это последовательность в Если это карта, то обозначает последовательность, потому что последовательность это просто функция, это согласуется с определением композиции функции , что означает, что${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle X.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x_{\bullet }\subseteq S}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right):=\left(f\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right),f\left(x_{3}\right),\ldots .}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\displaystyle x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X,}$${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right):=f\circ x_{\bullet }.}$

Для любого индекса хвост , начиная это набор :${\displaystyle i,}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle x_{\geq i}:=\left\{x_{j}~:~i\leq j\in \mathbb {N} \right\}:=\left\{x_{i},x_{i+1},x_{i+2},\ldots \right\}.}$

Множество всех хвостов обозначается через ${\displaystyle x_{\bullet }}$

${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right):=\left\{x_{\geq i}~:~i\in \mathbb {N} \right\}}$

и она образует базис фильтра (также называемый предфильтр ) на именно поэтому его называют предфильтр хвостов или последовательного фильтра база хвостов из${\displaystyle X,}$${\displaystyle x_{\bullet }.}$

Если является подмножеством, то последовательность в конечном итоге входит в, если существует некоторый индекс, такой что (то есть для любого целого числа, такого что ). ${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle i}$${\displaystyle x_{\geq i}\subseteq S}$${\displaystyle x_{j}\in S}$${\displaystyle j}$${\displaystyle j\geq i}$

Пусть быть топологическое пространство ( не обязательно хаусдорфово ) и пусть последовательность в последовательности , сходится в к точке письменного в и называется предельной точкой в , если для каждой окрестности из в в конечном счете в Как обычно, обозначения означают , что в и является единственной предельной точкой в то есть, если в, то If не является хаусдорфовым${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$${\displaystyle (X,\tau ),}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (X,\tau ),}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$${\displaystyle U.}$${\displaystyle \lim x_{\bullet }=x}$${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\displaystyle (X,\tau );}$${\displaystyle x_{\bullet }\to z}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle z=a.}$${\displaystyle (X,\tau )}$ тогда последовательность может сходиться к двум или более различным точкам.

Точка называется точкой кластера или предельная точка из в , если для каждой окрестности из в и каждый существует некоторое целое число такое , что (или по- другому сказал, если и только если для каждой окрестности из и каждый ). ${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle i\in \mathbb {N} ,}$${\displaystyle j\geq i}$${\displaystyle x_{j}\in I}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle i\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle U\cap x_{\geq i}\neq \varnothing }$

Последовательное закрытие / интерьер [ править ]

Позвольте быть топологическим пространством и позвольте быть подмножеством. Топологическое замыкание (соотв. Топологическое внутренняя ) из ин обозначается через (соотв. ). ${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{X}S}$${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}S}$

Последовательное закрытие из ин является набор:${\displaystyle S}$${\displaystyle (X,\tau )}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {SeqCl} S:&=\left[S\right]_{\operatorname {seq} }:=\left\{x\in X~:~{\text{ there exists a sequence }}s_{\bullet }=\left(s_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\subseteq S{\text{ in }}S{\text{ such that }}s_{\bullet }\to x{\text{ in }}(X,\tau )\right\}\end{alignedat}}}$

где или может быть написано, если требуется ясность. Включение всегда выполняется, но в целом равенство множеств может не выполняться. Оператор последовательного замыкания - это карта, определяемая как где обозначает набор степеней${\displaystyle \operatorname {SeqCl} _{X}S}$${\displaystyle \operatorname {SeqCl} _{(X,\tau )}S}$${\displaystyle \operatorname {SeqCl} _{X}S\subseteq \operatorname {Cl} _{X}S}$${\displaystyle \operatorname {SeqCl} _{X}:\wp (X)\to \wp (X)}$${\displaystyle S\mapsto \operatorname {SeqCl} _{X}S,}$${\displaystyle \wp (X)}$${\displaystyle X.}$

Последовательный интерьер из ин является набор:${\displaystyle S}$${\displaystyle (X,\tau )}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {SeqInt} S:&=\{s\in S~:~{\text{ whenever }}x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\subseteq X{\text{ is a sequence in }}X{\text{ that converges to }}s{\text{ in }}(X,\tau ),{\text{ then }}x_{\bullet }{\text{ is eventually in }}S\}\\&=\{s\in S~:~{\text{ there does NOT exist a sequence }}x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\subseteq X\setminus S{\text{ that converges in }}(X,\tau ){\text{ to a point in }}S\}\\&=X\setminus \operatorname {SeqCl} \left(X\setminus S\right)\end{alignedat}}}$

где или может быть написано, если требуется ясность. ${\displaystyle \operatorname {SeqInt} _{X}S}$${\displaystyle \operatorname {SeqInt} _{(X,\tau )}S}$

Всегда верно, что и для всех подмножеств${\displaystyle \operatorname {SeqCl} \varnothing =\varnothing }$${\displaystyle R,S\subseteq X,}$

${\displaystyle \operatorname {SeqCl} _{X}\left(R\cup S\right)=\left(\operatorname {SeqCl} _{X}R\right)\cup \left(\operatorname {SeqCl} _{X}S\right).}$

Для любого ${\displaystyle S\subseteq X,}$

${\displaystyle S\subseteq \operatorname {SeqCl} _{X}S}$

так что, следовательно,

${\displaystyle \operatorname {SeqCl} _{X}S~\subseteq ~\operatorname {SeqCl} _{X}\left(\operatorname {SeqCl} _{X}S\right).}$

Однако в целом возможно то, что, в частности, означало бы, что, поскольку оператор топологического замыкания идемпотентен , что означает, что для всех подмножеств${\displaystyle \operatorname {SeqCl} _{X}\left(\operatorname {SeqCl} _{X}S\right)~\neq ~\operatorname {SeqCl} _{X}S}$${\displaystyle \operatorname {SeqCl} _{X}S\neq \operatorname {Cl} _{X}S}$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{X}\left(\operatorname {Cl} _{X}S\right)~=~\operatorname {Cl} _{X}S}$${\displaystyle S\subseteq X.}$

Трансфинитное последовательное закрытие

Закрытие трансфинитная последовательный определяется следующим образом : определить , что определить , что и для предельного ординала определить , что тогда существует наименьшее порядковое такое , что и для этого называется трансфинитная последовательное закрытие В самом деле, всегда имеет место , где является первым бесчисленный порядковый . Трансфинитное последовательное замыкание последовательно закрывается. Трансфинитное последовательное замыкание решает указанную выше проблему идемпотентности. Наименьшее такое, что для каждого называется последовательным порядком пространства${\displaystyle A_{0}}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle A_{\alpha +1}}$${\displaystyle \left[A_{\alpha }\right]_{\operatorname {seq} },}$ ${\displaystyle \alpha ,}$${\displaystyle A_{\alpha }}$${\displaystyle \bigcup _{\beta <\alpha }A_{\beta }.}$ ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle A_{\alpha }=A_{\alpha +1},}$${\displaystyle \alpha ,}$ ${\displaystyle A_{\alpha }}$${\displaystyle A.}$${\displaystyle \alpha \leq \omega _{1},}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle A_{\alpha }={\overline {A}}}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle X.}$^[2] Этот порядковый инвариант корректно определен для секвенциальных пространств.

Последовательно открытые / закрытые наборы [ править ]

Позвольте быть топологическим пространством ( не обязательно Хаусдорфом ) и позвольте быть подмножеством. Известно, что подмножество открыто в том и только в том случае, если всякий раз, когда есть сеть в, которая сходится в точку, то в конечном итоге находится в том месте, где «в конечном итоге в » означает, что существует некоторый индекс, такой, что для всех удовлетворяет Определение последовательно открытого subset of использует вариант этой характеристики, в котором сети заменяются последовательностями. ${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle x_{j}\in S}$${\displaystyle j\in I}$${\displaystyle j\geq i.}$${\displaystyle (X,\tau )}$

Набор называется последовательно открытым, если он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:${\displaystyle S}$

1. Определение: всякий раз, когда последовательность в сходится к некоторой точке, эта последовательность в конечном итоге оказывается в${\displaystyle X}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle S.}$
2. Если - это последовательность в, и если существует такая, что в, то в конечном итоге входит (т.е. существует какое-то целое число, такое, что хвост ).${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle x_{\bullet }\to s}$${\displaystyle (X,\tau ),}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\displaystyle S}$${\displaystyle i}$${\displaystyle x_{\geq i}\subseteq S}$
3. ${\displaystyle S=\operatorname {SeqInt} _{X}S.}$
4. Множество последовательно замыкается в${\displaystyle X\setminus S}$${\displaystyle (X,\tau ).}$

Набор называется последовательно замкнутым, если он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:${\displaystyle S}$

1. Определение: всякий раз, когда последовательность в сходится в некоторой точке, тогда${\displaystyle S}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle x\in S.}$
2. Если - последовательность в и если существует такая, что в то${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle s_{\bullet }\to x}$${\displaystyle (X,\tau ),}$${\displaystyle x\in S.}$
3. ${\displaystyle S=\operatorname {SeqCl} S.}$
4. Набор последовательно открывается в${\displaystyle X\setminus S}$${\displaystyle (X,\tau ).}$

Комплемент из последовательно открытого множества является последовательно замкнутым множеством, и наоборот.

Набор называется последовательной окрестностью точки, если он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:${\displaystyle S}$${\displaystyle x\in X}$

1. Определение: ${\displaystyle x\in \operatorname {SeqInt} S.}$
   • Важно отметить, что « представляет собой последовательное соседство из » является не определен следующим образом: «существует последовательно открытое множество такого , что »${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x\in U\subseteq S.}$
2. Любая последовательность , сходящаяся к, в конечном итоге находится в${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S.}$

Позволять

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {SeqOpen} (X,\tau ):&=\left\{S\subseteq X~:~S{\text{ is sequentially open in }}(X,\tau )\right\}\\&=\left\{S\subseteq X~:~S=\operatorname {SeqInt} _{(X,\tau )}S\right\}\\\end{alignedat}}}$

обозначают множество всех последовательно открытых подмножеств, где это может быть обозначено, если топология понятна. Каждое открытое (соответственно замкнутое) подмножество последовательно открыто (соответственно, последовательно закрыто), из чего следует, что ${\displaystyle (X,\tau ),}$${\displaystyle \operatorname {SeqOpen} X}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \tau \subseteq \operatorname {SeqOpen} (X,\tau )}$

Возможно, что сдерживание будет правильным , что означает, что может существовать подмножество , которое последовательно открыто, но не открыто. Точно так же может существовать последовательно замкнутое подмножество, которое не является замкнутым.${\displaystyle \tau \subseteq \operatorname {SeqOpen} (X,\tau )}$${\displaystyle X}$

Последовательные пробелы [ править ]

Топологическое пространство называется секвенциальным пространством, если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:${\displaystyle (X,\tau )}$

1. Определение: каждое последовательно открытое подмножество открыто.${\displaystyle X}$
2. Каждое последовательно замкнутое подмножество замкнуто.${\displaystyle X}$
3. Для любого подмножества , которое не замкнуто в существует некоторое , для которого существует последовательность в которая сходится к ^[3]${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x\in \left(\operatorname {Cl} _{X}S\right)\setminus S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x.}$
   • Сравните это условие со следующей характеризацией пространства Фреше – Урысона :

   Для любого подмножества , которое не замкнуто, и для каждого существует последовательность , сходящаяся к${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in \left(\operatorname {Cl} _{X}S\right)\setminus S,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x.}$

   • Это делает очевидным, что каждое пространство Фреше – Урысона является секвенциальным пространством.
4. ${\displaystyle X}$ является фактором первого счетного пространства.
5. ${\displaystyle X}$ фактор метрического пространства.
6. Универсальное свойство последовательных пространств : Для любого топологического пространстваотображениеявляетсянепрерывнымесли и только если онопоследовательно непрерывным. ${\displaystyle Y,}$${\displaystyle f:X\to Y}$
   • Карта называется последовательно непрерывной, если для каждой и каждой последовательности в if in then in Это условие эквивалентно непрерывности карты .${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)=\left(f\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }\to f(x)}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle f:\left(X,\operatorname {SeqOpen} (X,\tau )\right)\to \left(Y,\operatorname {SeqOpen} (Y,\sigma )\right)}$
   • Любое непрерывное отображение обязательно последовательно непрерывно, но в общем случае обратное может быть неверным.

Взяв и быть тождественным отображением на в последнем условии, следует, что класс последовательных пространств состоит в точности из тех пространств, топологическая структура которых определяется сходящимися последовательностями. ${\displaystyle Y:=X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$

T -последовательные и -последовательные пробелы ${\displaystyle N}$[ править ]

Последовательное пространство может не быть Т- последовательным пространством, а также Т- последовательное пространство может не быть последовательным пространством. В частности, не следует предполагать, что последовательное пространство обладает свойствами, описанными в следующих определениях.

Топологическое пространство называется T- секвенциальным пространством, если оно удовлетворяет одному из следующих эквивалентных условий: ^[1]${\displaystyle (X,\tau )}$

1. Определение: Последовательная внутренность каждого подмножества последовательно открыта.${\displaystyle X}$
2. Последовательное закрытие каждого подмножества последовательно закрывается.${\displaystyle X}$
3. Для всех ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle \operatorname {SeqCl} \left(\operatorname {SeqCl} S\right)=\operatorname {SeqCl} S.}$
   • Включение всегда выполняется для любого${\displaystyle \operatorname {SeqCl} S\subseteq \operatorname {SeqCl} \left(\operatorname {SeqCl} S\right)}$${\displaystyle S\subseteq X.}$
4. Для всех ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle \operatorname {SeqInt} S=\operatorname {SeqInt} \left(\operatorname {SeqInt} S\right).}$
   • Включение всегда верно для всех${\displaystyle \operatorname {SeqInt} \left(\operatorname {SeqInt} S\right)\subseteq \operatorname {SeqInt} S}$${\displaystyle S\subseteq X.}$
5. Ибо все равно объединению всех подмножеств , которые последовательно открыты в${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle \operatorname {SeqInt} S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle (X,\tau ).}$
6. Ибо все равно пересечению всех подмножеств , содержащих и последовательно замкнутых в${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle \operatorname {SeqCl} S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle (X,\tau ).}$
7. Для всего набора всех последовательно открытых окрестностей in образует базис окрестностей at для множества всех последовательных окрестностей${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x.}$
   • Это означает , что для любого и любой последовательной окрестности из существует последовательно открытое множество такого , что${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle N}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x\in U\subseteq N.}$
   • Здесь важно точное определение «последовательной окрестности», потому что напомним, что « является последовательной окрестностью » было определено как означающее, что${\displaystyle N}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x\in \operatorname {SeqInt} N.}$
8. Для любого и любых последовательных окрестностей из существует последовательную окрестность из таких , что для любого множество является последовательной окрестностью${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle N}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle m\in M,}$${\displaystyle N}$${\displaystyle m.}$

Как и в случае с T- последовательными пространствами, не следует предполагать, что последовательное пространство имеет свойства, описанные в следующем определении.

Топологическое пространство называется -секвенциальным (или окрестностно-секвенциальным ) пространством, если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: ^[1]${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle N}$

1. Определение: Для каждого, если набор является последовательной окрестностью, то является окрестностью в${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle N\subseteq X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle N}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (X,\tau ).}$
   • Напомним, что быть последовательной окрестностью (соответственно окрестностью) означает, что (соответственно ).${\displaystyle N}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x\in \operatorname {SeqInt} N}$${\displaystyle x\in \operatorname {Int} N}$
2. ${\displaystyle X}$ является как последовательным, так и T-последовательным.

Каждое первое-счетное пространство является -sequential. ^[1] Существуют топологические векторные пространства, которые являются последовательными, но не -последовательными (и, следовательно, не T- последовательными). ^[1] где напомним, что каждое метризуемое пространство сначала счетно. Также существуют топологические векторные пространства, которые являются T- последовательными, но не последовательными. ^[1]${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

Пространства Фреше – Урысона [ править ]

Каждое пространство Фреше – Урысона является секвенциальным пространством, но существуют секвенциальные пространства, которые не являются пространством Фреше – Урысона. ^{[4] [5]} Следовательно, не следует предполагать, что последовательное пространство обладает свойствами, описанными в следующем определении.

Топологическое пространство называется пространством Фреше – Урысона, если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:${\displaystyle (X,\tau )}$

1. Определение: для каждого подмножества ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle \operatorname {SeqCl} _{X}=\operatorname {Cl} _{X}S.}$
2. Каждое топологическое подпространство в является секвенциальным пространством.${\displaystyle X}$
3. Для любого подмножества , которое не замкнуто, и для каждого существует последовательность , сходящаяся к${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in \left(\operatorname {Cl} _{X}S\right)\setminus S,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x.}$

Пространства Фреше – Урысона также иногда называют пространствами Фреше , что не следует путать с пространствами Фреше в функциональном анализе ; что сбивает с толку, пространство Фреше в топологии также иногда используется как синоним пространства T 1 .

Топология последовательно открытых множеств [ править ]

Обозначим через множество всех последовательно открытых подмножеств топологического пространства. Тогда это топология , содержащая исходную топологию, т. Е.${\displaystyle \operatorname {SeqOpen} (X,\tau )}$${\displaystyle (X,\tau ).}$${\displaystyle \operatorname {SeqOpen} (X,\tau )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau ;}$${\displaystyle \tau \subseteq \operatorname {SeqOpen} (X,\tau ).}$

Свойства топологии последовательно открытых множеств [ править ]

Каждое последовательное пространство обладает счетной плотностью .

${\displaystyle \left(X,\operatorname {SeqOpen} (X,\tau )\right)}$является последовательным пространством. ^[6]

Пространство имеет те же сходящиеся последовательности и ограничения, что и Явно, это означает, что if и является последовательностью в then in тогда и только тогда, когда in${\displaystyle \left(X,\operatorname {SeqOpen} (X,\tau )\right)}$${\displaystyle (X,\tau ).}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to x}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to x}$${\displaystyle \left(X,\operatorname {SeqOpen} (X,\tau )\right).}$

Если есть любая топология на такой, что последовательность в сходится к точке в тогда и только тогда, когда она делает это в, то обязательно${\displaystyle \tau _{2}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle \left(X,\tau _{2}\right),}$${\displaystyle \operatorname {SeqOpen} (X,\tau )=\operatorname {SeqOpen} \left(X,\tau _{2}\right).}$

Если непрерывно, то так же${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$${\displaystyle f:\left(X,\operatorname {SeqOpen} (X,\tau )\right)\to \left(Y,\operatorname {SeqOpen} (Y,\sigma )\right).}$

Последовательная преемственность [ править ]

Карта называется последовательно непрерывной , если для каждой последовательности в , и каждый , если в то обязательно , в котором происходит тогда и только тогда , когда ${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)\to f(x)}$${\displaystyle (Y,\sigma ),}$

${\displaystyle f:\left(X,\operatorname {SeqOpen} (X,\tau )\right)\to \left(Y,\operatorname {SeqOpen} (Y,\sigma )\right)}$

является непрерывным .

Любое непрерывное отображение является последовательно непрерывным, хотя в общем случае обратное может быть неверным. Фактически, пространство является последовательным пространством тогда и только тогда, когда оно обладает следующим универсальным свойством для последовательных пространств : ${\displaystyle (X,\tau )}$

для любого топологического пространства и каждой карты карта непрерывна тогда и только тогда, когда она последовательно непрерывна.${\displaystyle (Y,\sigma )}$${\displaystyle f:X\to Y,}$${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$

Достаточные условия [ править ]

Каждый из первого счетного пространства является последовательным, следовательно , каждым вторым-счетным пространством , метрическое пространства , а дискретное пространства является последовательным. Каждое пространство с первым счетом является пространством Фреше – Урысона, и каждое пространство Фреше – Урысона секвенциально. Таким образом, каждое метризуемое и псевдометризуемое пространство является секвенциальным пространством и пространством Фреше – Урысона.

Топологическое векторное пространство Хаусдорфа секвенциально тогда и только тогда, когда не существует строго более тонкой топологии с такими же сходящимися последовательностями. ^{[7] [8]}

Позвольте быть набором и пусть быть семейством -значных отображений, каждая карта имеет форму, где область является некоторым топологическим пространством. Если каждая область является пространством Фреше – Урысона, то окончательная топология на, индуцированная посредством, превращается в секвенциальное пространство.${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle f:\left(Y_{f},\tau _{f}\right)\to X,}$${\displaystyle \left(Y_{f},\tau _{f}\right)}$${\displaystyle \left(Y_{f},\tau _{f}\right)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$

Примеры [ править ]

Каждый CW-комплекс является секвенциальным, так как его можно рассматривать как фактор метрического пространства. Простой спектр коммутативного нётерового кольца с топологией Зарисской является последовательным.

Последовательные пробелы, которые не считаются первыми

Возьмите действительную линию и определите набор целых чисел до точки. Это секвенциальное пространство, поскольку оно является фактором метрического пространства. Но это не первый счет. ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Последовательные пространства, не являющиеся пространствами Фреше – Урысона [ править ]

Следующие широко используемые пространства являются яркими примерами секвенциальных пространств, которые не являются пространствами Фреше – Урысона. Обозначим через пространство Шварца и пусть обозначим пространство гладких функций на открытом подмножестве, где оба этих пространства имеют свои обычные топологии пространства Фреше , как определено в статье о распределениях . Оба и, а также сильные двойственные пространства обоих этих пространств являются полными ядерными ультраборнологическими пространствами Монтеля , что означает, что все четыре из этих локально выпуклых пространств также являются паракомпактными ^[9] нормальными рефлексивными.${\displaystyle {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$${\displaystyle C^{\infty }(U)}$${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$${\displaystyle C^{\infty }(U),}$ бочки . Сильные двойственные пространства к обоим и являются секвенциальными пространствами, но ни одно из этих двойственных пространств не является пространством Фреше-Урысона . ^{[10] [11]}${\displaystyle {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$${\displaystyle C^{\infty }(U)}$

Каждое бесконечномерный Montel DF-пространство представляет собой последовательное пространство , но не Фреш-Урысон .

Примеры непоследовательных пробелов [ править ]

Пространства тестовых функций и распределений

Пусть обозначает пространство пробных функций с канонической топологией LF, что делает его в уважаемое строгую LF-пространство , и пусть обозначит пространство распределений, которое по определению является сильным сопряженным пространство из этих два пространства, которые полностью лежит в основе теории распределения и которые обладают многими хорошими свойствами, тем не менее, являются яркими примерами пространств, которые не являются секвенциальными пространствами (и, следовательно, ни пространствами Фреше – Урысона, ни -секвенциальными пространствами). ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U).}$${\displaystyle N}$

Оба и являются полными ядерными ультраборнологическими пространствами Монтеля , из чего следует, что все четыре из этих локально выпуклых пространств также являются паракомпактными ^[9] нормальными рефлексивными бочкообразными пространствами . Известно, что в двойственном пространстве любого пространства Монтеля последовательность непрерывных линейных функционалов сходится в сильной двойственной топологии тогда и только тогда, когда она сходится в слабой * топологии (т. Е. Поточечно) ^[12], которая, в частности, является причина, по которой последовательность распределений сходится в${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$(с задана сильная двойственная топология) тогда и только тогда, когда она сходится поточечно. Пространство также является топологическим векторным пространством Шварца . Тем не менее, ни одно из его сильных двойников не является секвенциальным пространством (даже не пространством Асколи ). ^{[10] [11]}${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$

Составная топология

Другой примером пространства, не последовательный является cocountable топологии на бесчисленном множестве. Каждая сходящаяся последовательность в таком пространстве в конечном итоге постоянна, поэтому каждый набор последовательно открыт. Но сосчетная топология не дискретна . Фактически, можно сказать, что сосчетная топология на несчетном множестве является «последовательно дискретной».

Свойства [ править ]

Если это непрерывная открытая сюръекция между двумя последовательными пространствами Хаусдорфа, то множество является замкнутым подмножеством множества, которое является замкнутым подмножеством, которое удовлетворяет, и ограничение является инъективным .${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle R:=\left\{x\in X~:~f^{-1}\left(f(x)\right)=\{x\}\,\right\}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle S:=f(R)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle R=f^{-1}(S),}$${\displaystyle F{\big \vert }_{R}:R\to Y}$

Если сюръективное отображение (не предполагается непрерывным) на последовательном хаусдорфовое пространство и , если это базис для топологии на то есть открытое отображение тогда и только тогда , когда для любого и каждого основного города в случае , в то обязательно здесь, обозначает изображение (или диапазон) последовательности / карты${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to f(x)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \varnothing \neq f(B)\cap \operatorname {Im} y_{\bullet }.}$${\displaystyle \operatorname {Im} y_{\bullet }:=\left\{y_{i}:i\in \mathbb {N} \right\}}$${\displaystyle y_{\bullet }:\mathbb {N} \to Y.}$

Категориальные свойства [ править ]

Полная подкатегория Seq всех последовательных пространств замкнута относительно следующих операций в категории Top топологических пространств:

• Коэффициенты
• Непрерывные закрытые или открытые изображения
• Суммы
• Индуктивные пределы
• Открытые и закрытые подпространства

Категория Seq является не закрыт при следующих операциях в Top :

• Непрерывные изображения
• Подпространства
• Конечные продукты

Так как они замкнуты относительно топологических сумм и дробей, последовательные пространства образуют корефлективную подкатегорию в категории топологических пространств . Фактически, они являются корефлективной оболочкой метризуемых пространств (т. Е. Наименьшим классом топологических пространств, замкнутых относительно сумм и частных и содержащих метризуемые пространства).

Подкатегория Seq является декартовой закрытой категорией по отношению к своему собственному продукту (не Top ). В экспоненциал оснащены (сходящейся последовательности) -open топологии. П.И. Бут и А. Тиллотсон показали, что Seq является наименьшей декартовой замкнутой подкатегорией в Top, содержащей основные топологические пространства всех метрических пространств , CW-комплексов и дифференцируемых многообразий, и которая замкнута относительно копределов, факторов и других «определенных разумных тождеств». "что Норман Стинрод охарактеризовал как" удобный ".

См. Также [ править ]

• Аксиомы счетности
• Замкнутый график  - график функции, который также является замкнутым подмножеством пространства продукта.
• Первое счетное пространство  - топологическое пространство, в котором каждая точка имеет счетный базис окрестностей.
• Пространство Фреше – Урысона
• Карта покрытия последовательности

Заметки [ править ]

Цитаты [ править ]

Ссылки [ править ]

• Архангельский А.В., Понтрягин Л.С. Общая топология I , Springer-Verlag, Нью-Йорк (1990) ISBN 3-540-18178-4 . 
• Архангельский А.В. (1966). «Отображения и пространства» (PDF) . Российские математические обзоры . 21 (4): 115–162. Bibcode : 1966RuMaS..21..115A . DOI : 10.1070 / RM1966v021n04ABEH004169 . ISSN  0036-0279 . Проверено 10 февраля 2021 года .
• Акиз, Хюрмет Фуля; Кочак, Локман (2019). «Последовательно хаусдорфовы и полные последовательно хаусдорфовы пространства» . Коммуникационный факультет естественного университета Анкары Серия A1 Математика и статистика . 68 (2): 1724–1732. DOI : 10,31801 / cfsuasmas.424418 . ISSN  1303-5991 . Проверено 10 февраля 2021 года .
• Бун, Джеймс (1973). «Заметка о мезокомпактных и последовательно мезокомпактных пространствах» . Тихоокеанский математический журнал . 44 (1): 69–74. DOI : 10,2140 / pjm.1973.44.69 . ISSN  0030-8730 .
• Бут, Питер; Тиллотсон, Дж. (1980). «Моноидальные замкнутые, декартовы замкнутые и удобные категории топологических пространств» . Тихоокеанский математический журнал . 88 (1): 35–53. DOI : 10,2140 / pjm.1980.88.35 . ISSN  0030-8730 . Проверено 10 февраля 2021 года .
• Энгелькинг, Р. Общая топология , Хельдерманн, Берлин (1989). Исправленное и дополненное издание.
• Фогед Л. (1985). «Характеристика замкнутых образов метрических пространств» . Труды Американского математического общества . 95 (3): 487. DOI : 10.1090 / S0002-9939-1985-0806093-3 . ISSN  0002-9939 .
• Франклин, С. (1965). «Пространства, в которых достаточно последовательностей» (PDF) . Fundamenta Mathematicae . 57 (1): 107–115. DOI : 10,4064 / фм-57-1-107-115 . ISSN  0016-2736 .
• Франклин, С. (1967). «Пространства, в которых достаточно последовательностей II» (PDF) . Fundamenta Mathematicae . 61 (1): 51–56. DOI : 10,4064 / фм-61-1-51-56 . ISSN  0016-2736 . Проверено 10 февраля 2021 года .
• Горхэм, Энтони, " Последовательная сходимость в топологических пространствах ", (2016)
• Грюнхаге, Гэри; Майкл, Эрнест; Танака, Йошио (1984). «Пространства, определяемые счетными покрытиями» . Тихоокеанский математический журнал . 113 (2): 303–332. DOI : 10,2140 / pjm.1984.113.303 . ISSN  0030-8730 .
• Майкл, EA (1972). "Пятиместный частный квест" . Общая топология и ее приложения . 2 (2): 91–138. DOI : 10.1016 / 0016-660X (72) 90040-2 . ISSN  0016-660X .
• Шоу, Линь; Чуан, Лю; Мумин, Дай (1997). «Образы на локально разделимых метрических пространствах». Acta Mathematica Sinica . 13 (1): 1–8. DOI : 10.1007 / BF02560519 . ISSN  1439-8516 . S2CID  122383748 .
• Стинрод, NE (1967). «Удобная категория топологических пространств» . Мичиганский математический журнал . 14 (2): 133–152. DOI : 10.1307 / MMJ / 1028999711 . Проверено 10 февраля 2021 года .
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .
• Виланский, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114 .