Векторная дифференциальная форма

В математике , А вектор-дифференциальная форма на многообразии M является дифференциальной формой на М со значениями в векторном пространстве V . В более общем смысле , это дифференциальная форма со значениями в некотором векторном расслоении Е над М . Обыкновенные дифференциальные формы можно рассматривать как дифференциальные формы с R- значениями.

Важным случаем векторнозначных дифференциальных форм являются алгеброзначные формы Ли . ( Форма подключения является примером такой формы.)

Определение [ править ]

Пусть M является гладким многообразием и E → M гладкое векторное расслоение над М . Обозначим пространство гладких сечений расслоения E через Γ ( E ). Е -значной дифференциальная форма степени р является гладким сечением пучка тензора продукта из Е с Л ^р ( Т ^*М ), то р -й внешней степенью из кокасательного расслоения на М. Пространство таких форм обозначается

{\ displaystyle \ Omega ^ {p} (M, E) = \ Gamma (E \ otimes \ Lambda ^ {p} T ^ {*} M).}

Поскольку Γ - сильный моноидальный функтор , ^[1] это также можно интерпретировать как

\Gamma (E\otimes \Lambda ^{p}T^{*}M)=\Gamma (E)\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Gamma (\Lambda ^{p}T^{*}M)=\Gamma (E)\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Omega ^{p}(M),

где последние два тензорных произведения являются тензорным произведением модулей над кольцом Ω ⁰ ( M ) гладких R -значных функций на M (см. седьмой пример здесь ). По соглашению, E - значной 0-форма только сечение расслоения Е . То есть,

\Omega ^{0}(M,E)=\Gamma (E).\,

Эквивалентно E -значная дифференциальная форма может быть определена как морфизм расслоения

TM\otimes \cdots \otimes TM\to E

который полностью кососимметричен .

Пусть V - фиксированное векторное пространство . V -значный дифференциальная форма степени р является дифференциальной формой степени р со значениями в тривиальном расслоении М × V . Пространство таких форм обозначается Ω ^p ( M , V ). Когда V = R, восстанавливается определение обыкновенной дифференциальной формы. Если V конечномерно, то можно показать, что естественный гомоморфизм

\Omega ^{p}(M)\otimes _{\mathbb {R} }V\to \Omega ^{p}(M,V),

где первое тензорное произведение векторных пространств над R , является изоморфизмом. ^[2]

Операции с векторными формами [ править ]

Откат [ править ]

Можно определить обратный ход векторнозначных форм с помощью гладких отображений, как и для обычных форм. Откат из Й -значной форму на N с помощью гладкого отображения ф: М → N является (φ * Е ) значная формы на М , где φ * Е является индуцированным расслоением из Е на ф.

Формула дана так же, как и в обычном случае. Для любой E -значной p-формы ω на N обратный образ φ * ω имеет вид

(\varphi ^{*}\omega )_{x}(v_{1},\cdots ,v_{p})=\omega _{\varphi (x)}(\mathrm {d} \varphi _{x}(v_{1}),\cdots ,\mathrm {d} \varphi _{x}(v_{p})).

Продукт клина [ править ]

Как и для обыкновенных дифференциальных форм, можно определить клиновидное произведение векторнозначных форм. Произведение клина E ₁ -значной p -формы и E ₂ -значной q -формы естественно является ( E ₁ ⊗ E ₂ ) -значной ( p + q ) -формой:

\wedge :\Omega ^{p}(M,E_{1})\times \Omega ^{q}(M,E_{2})\to \Omega ^{p+q}(M,E_{1}\otimes E_{2}).

Определение такое же, как и для обычных форм, за исключением того, что действительное умножение заменяется тензорным произведением :

(\omega \wedge \eta )(v_{1},\cdots ,v_{p+q})={\frac {1}{p!q!}}\sum _{\sigma \in S_{p+q}}\operatorname {sgn}(\sigma )\omega (v_{\sigma (1)},\cdots ,v_{\sigma (p)})\otimes \eta (v_{\sigma (p+1)},\cdots ,v_{\sigma (p+q)}).

В частности, произведение клина обычной ( R -значной) p -формы на E -значную q -форму естественно является E -значной ( p + q ) -формой (поскольку тензорное произведение E с тривиальным расслоением M × R является естественно изоморфна к Е ). Для ω ∈ Ω ^p ( M ) и η ∈ Ω ^q ( M , E ) справедливо обычное соотношение коммутативности:

\omega \wedge \eta =(-1)^{pq}\eta \wedge \omega .

В общем, произведение клина двух E -значных форм не является другой E -значной формой, а скорее ( E ⊗ E ) -значной формой. Однако, если E - расслоение алгебр (т.е. расслоение алгебр, а не просто векторные пространства), можно составить с умножением в E, чтобы получить E -значную форму. Если Е представляет собой пучок коммутативных , ассоциативных алгебры , то с этим модифицированным продуктом клина, множество всех Е - значным дифференциальные формами

\Omega (M,E)=\bigoplus _{p=0}^{\dim M}\Omega ^{p}(M,E)

становится градуированной коммутативной ассоциативной алгеброй. Если слои E не коммутативны, то Ω ( M , E ) не будет градуированно-коммутативным.

Внешняя производная [ править ]

Для любого векторного пространства V существует естественная внешняя производная на пространстве V -значных форм. Это просто обычный внешняя производная , действующая покомпонентны по отношению к какой - либо основе из V . Явно, если { e _α } является базисом для V, то дифференциал V -значной p -формы ω = ω ^αe _α имеет вид

d\omega =(d\omega ^{\alpha })e_{\alpha }.\,

Внешняя производная на V -значных формах полностью описывается обычными соотношениями:

{\begin{aligned}&d(\omega +\eta )=d\omega +d\eta \\&d(\omega \wedge \eta )=d\omega \wedge \eta +(-1)^{p}\,\omega \wedge d\eta \qquad (p=\deg \omega )\\&d(d\omega )=0.\end{aligned}}

В более общем смысле, приведенные выше замечания относятся к E -значным формам, где E - любое плоское векторное расслоение над M (т. Е. Векторное расслоение, функции переходов которого постоянны). Внешняя производная определяется как указано выше , на любой локальной тривиализации из Е .

Если E не является плоским, то не существует естественного понятия внешней производной, действующей на E -значные формы. Необходим выбор соединения на E . Связность на E - это линейный дифференциальный оператор, переводящий сечения E в E -значную форму:

\nabla :\Omega ^{0}(M,E)\to \Omega ^{1}(M,E).

Если E наделено связностью ∇, то существует единственная ковариантная внешняя производная

d_{\nabla }:\Omega ^{p}(M,E)\to \Omega ^{p+1}(M,E)

расширение ∇. Ковариантная внешняя производная характеризуется линейностью и уравнением

d_{\nabla }(\omega \wedge \eta )=d_{\nabla }\omega \wedge \eta +(-1)^{p}\,\omega \wedge d\eta

где ω - E -значная p- форма, а η - обычная q -форма. Вообще говоря, нет необходимости, чтобы d _∇² = 0. Фактически, это происходит тогда и только тогда, когда соединение является плоским (т.е. имеет исчезающую кривизну ).

Базовые или тензорные формы на основных связках [ править ]

Пусть E → M гладкое векторное расслоение ранга к над М , и пусть π : F ( E ) → M быть ( связанный ) кадр пучок из Е , который является главным GL _к ( R ) расслоение над M . Откат из Е по П канонически изоморфно F ( E ) × _р R ^к с помощью обратной [ U , V ] → U (v ), где ρ - стандартное представление. Таким образом, откат от П о качестве Е -значная форму на М определяет , R ^к -значная форму на F ( E ). Несложно проверить, что эта возвращенная форма эквивариантна справа относительно естественного действия GL _k ( R ) на F ( E ) × R ^k и обращается в нуль на вертикальных векторах (касательных векторах к F ( E ), лежащих в ядре d π ). Такие векторнозначные формы на F ( E) достаточно важны, чтобы оправдать особую терминологию: они называются базовыми или тензорными формами на F ( E ).

Пусть π : P → M - (гладкое) главное G- расслоение, и пусть V - фиксированное векторное пространство вместе с представлением ρ : G → GL ( V ). Базовая или тензориальная форма на Р типа р является V - значным образует ω на P , который является эквивариантным и горизонтальным в том смысле , что

$(R_{g})^{*}\omega =\rho (g^{-1})\omega \,$ для всех g ∈ G и
$\omega (v_{1},\ldots ,v_{p})=0$ всякий раз, когда хотя бы один из v _i является вертикальным (т. е. d π ( v _i ) = 0).

Здесь Р _г обозначает правое действие G на P для некоторого г ∈ G . Обратите внимание, что для 0-форм второе условие выполняется бессмысленно .

Пример: если ρ - присоединенное представление группы G на алгебре Ли, то форма связности ω удовлетворяет первому условию (но не второму). Соответствующая форма кривизны Ω удовлетворяет обоим; следовательно, Ω - тензорная форма присоединенного типа. «Разница» двух форм связи - тензорная форма.

Учитывая , Р и р , как указано выше, можно построить ассоциированное векторное расслоение E = P × _р V . Тензорные Q -формы на P находятся в естественном взаимно однозначном соответствии с одной- Е -значная Q -форм на M . Как и в случае главного расслоения F ( E ) выше, для данной q -формы на M со значениями в E определим φ на P послойно, например, в точке u , ${\overline {\phi }}$

\phi =u^{-1}\pi ^{*}{\overline {\phi }}

где u рассматривается как линейный изоморфизм . φ - тензорная форма типа ρ. Наоборот, для тензорной формы φ типа ρ та же формула определяет E -значную форму на M (ср. Гомоморфизм Черна – Вейля ). В частности, существует естественный изоморфизм векторных пространств $V{\overset {\simeq }{\to }}E_{\pi (u)}=(\pi ^{*}E)_{u},v\mapsto [u,v]$ ${\overline {\phi }}$

\Gamma (M,E)\simeq \{f:P\to V|f(ug)=\rho (g)^{-1}f(u)\},\,{\overline {f}}\leftrightarrow f

.

Пример: Пусть Е касательное расслоение М . Тогда тождественное расслоение на карту ID _E : E → E является E - значным одну формы на М . Тавтологическая один-форма является уникальной-формой на раме пучке Е , который соответствует идентификатору _E . Обозначается θ, это тензорная форма стандартного типа.

Теперь предположим, что существует связь на Р так , что существует внешняя ковариантное дифференцирование D на (различные) вектор-форм на Р . Благодаря указанному выше соответствию D также действует на E -значные формы: определим ∇ как

\nabla {\overline {\phi }}={\overline {D\phi }}.

В частности, для нулевых форм,

\nabla :\Gamma (M,E)\to \Gamma (M,T^{*}M\otimes E)

.

Это точно ковариантная производная для соединения на векторном расслоении E . ^[3]

Примеры [ править ]

Модулярные формы Зигеля возникают как векторнозначные дифференциальные формы на модулярных многообразиях Зигеля . ^[4]

Заметки [ править ]

^ "Глобальные сечения тензорного произведения векторных расслоений на гладком многообразии" . math.stackexchange.com . Проверено 27 октября 2014 года .
^ Доказательство: это можно проверить для p = 0, превратив базис для V в набор постоянных функций для V , что позволяет построить обратный к указанному выше гомоморфизму. Общий случай можно доказать, отметив, что
$\Omega ^{p}(M,V)=\Omega ^{0}(M,V)\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Omega ^{p}(M),$
и что, поскольку является подкольцом Ω ⁰ ( M ) через постоянные функции, $\mathbb {R}$
$\Omega ^{0}(M,V)\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Omega ^{p}(M)=(V\otimes _{\mathbb {R} }\Omega ^{0}(M))\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Omega ^{p}(M)=V\otimes _{\mathbb {R} }(\Omega ^{0}(M)\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Omega ^{p}(M))=V\otimes _{\mathbb {R} }\Omega ^{p}(M).$
^ Доказательство:для любой скалярной тензорной нулевой формы f и любой тензорной нулевой формы φ типа ρ и Df = df, поскольку f спускается до функции на M ; ср. эта лемма 2 . $D(f\phi )=Df\otimes \phi +fD\phi$
^ Хулек, Клаус; Шанкаран, ГК (2002). "Геометрия модульных многообразий Зигеля". Углубленные исследования чистой математики . 35 : 89–156.

Ссылки [ править ]

Shoshichi Kobayashi и Katsumi Nomizu (1963) Основы дифференциальной геометрии , Vol. 1, Wiley Interscience .

[gamma_monoidal-1] "Глобальные сечения тензорного произведения векторных расслоений на гладком многообразии" . math.stackexchange.com . Проверено 27 октября 2014 года .

[2] Доказательство: это можно проверить для p = 0, превратив базис для V в набор постоянных функций для V , что позволяет построить обратный к указанному выше гомоморфизму. Общий случай можно доказать, отметив, что
$\Omega ^{p}(M,V)=\Omega ^{0}(M,V)\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Omega ^{p}(M),$
и что, поскольку является подкольцом Ω ⁰ ( M ) через постоянные функции, $\mathbb {R}$
$\Omega ^{0}(M,V)\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Omega ^{p}(M)=(V\otimes _{\mathbb {R} }\Omega ^{0}(M))\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Omega ^{p}(M)=V\otimes _{\mathbb {R} }(\Omega ^{0}(M)\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Omega ^{p}(M))=V\otimes _{\mathbb {R} }\Omega ^{p}(M).$

[3] Доказательство:для любой скалярной тензорной нулевой формы f и любой тензорной нулевой формы φ типа ρ и Df = df, поскольку f спускается до функции на M ; ср. эта лемма 2 . $D(f\phi )=Df\otimes \phi +fD\phi$

[4] Хулек, Клаус; Шанкаран, ГК (2002). "Геометрия модульных многообразий Зигеля". Углубленные исследования чистой математики . 35 : 89–156.

[1]