Дифференциальная форма со значениями в алгебре Ли

В дифференциальной геометрии форма со значениями в алгебре Ли — это дифференциальная форма со значениями в алгебре Ли . Такие формы имеют важные приложения в теории связностей на главном расслоении , а также в теории связностей Картана .

Дифференциальная k -форма со значениями в алгебре Ли на многообразии , является гладким сечением расслоения , где алгебра Ли , является кокасательным расслоением и Λ k ^{обозначает} k - ^ювнешнюю степень . ${\ Displaystyle М}$ ${\ displaystyle ({\ mathfrak {g}} \ times M) \ otimes \ клин ^ {k} T ^ {*} M}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {г}}}$ ${\ Displaystyle Т ^ {*} М}$ ${\ Displaystyle М}$

Поскольку каждая алгебра Ли имеет билинейную операцию со скобками Ли , произведение клина двух форм со значениями в алгебре Ли может быть составлено с операцией со скобками, чтобы получить другую форму со значениями в алгебре Ли. Для -значной p -формы и -значной q -формы их произведение клина задается выражением ${\ Displaystyle {\ mathfrak {г}}}$ ${\ Displaystyle \ омега}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {г}}}$ ${\ Displaystyle \ эта}$ ${\ Displaystyle [\ омега \ клин \ эта]}$

где v _i - касательные векторы. Обозначение предназначено для обозначения обеих задействованных операций. Например, если и являются алгебраическизначными формами Ли, то ${\ Displaystyle \ омега}$ ${\ Displaystyle \ эта}$

Операция также может быть определена как билинейная операция по удовлетворению ${\ Displaystyle [\ омега \ клин \ эта]}$ ${\ Displaystyle \ Омега (М, {\ mathfrak {g}})}$

для всех и . ${\ Displaystyle г, ч \ в {\ mathfrak {г}}}$ ${\ Displaystyle \ альфа, \ бета \ в \ Омега (М, \ mathbb {R})}$