В физике и математике , псевдотензор обычно величина, преобразуется как тензор при сохраняющей ориентации преобразования координат , например , собственное вращение , но дополнительно изменяет знак при ориентации реверсивного преобразования координат, например , в неправильное вращении , то есть преобразование выражается как собственное вращение с последующим отражением . Это обобщение псевдовектора . Чтобы оценить знак тензора или псевдотензора, он должен быть сокращен с некоторыми векторами, равными его количеству.ранг есть, принадлежит пространству, в котором производится вращение. При неправильном вращении псевдотензор и собственный тензор одного ранга будут иметь разные знаки, которые зависят от четности или нечетности ранга .
Есть второе значение псевдотензора (и аналогично псевдовектора ), ограниченного общей теорией относительности . Тензоры подчиняются строгим законам преобразования, но псевдотензоры не так ограничены. Следовательно, форма псевдотензора, как правило, будет изменяться при изменении системы отсчета . Уравнение, содержащее псевдотензоры, которое выполняется в одном кадре, не обязательно будет выполняться в другом кадре. Это ограничивает актуальность псевдотензоров, поскольку уравнения, в которых они появляются, не являются инвариантными по форме.
Определение
Два совершенно разных математических объекта в разных контекстах называются псевдотензором.
Первый контекст - это, по сути, тензор, умноженный на дополнительный знаковый множитель, так что псевдотензор меняет знак при отражениях, когда нормальный тензор этого не делает. Согласно одному определению, псевдотензор P типа ( p , q ) - это геометрический объект, компоненты которого в произвольном базисе нумеруются ( p + q ) индексами и подчиняются правилу преобразования
Здесь - компоненты псевдотензора в новом и старом базисе соответственно, - матрица перехода для контравариантных индексов,- матрица перехода для ковариантных индексов, а. Это правило преобразования отличается от правила для обыкновенного тензора только наличием множителя (-1) А .
Второй контекст, в котором используется слово «псевдотензор», - это общая теория относительности . В этой теории нельзя описать энергию и импульс гравитационного поля тензором энергии-импульса. Вместо этого вводятся объекты, которые ведут себя как тензоры только в отношении ограниченных преобразований координат. Строго говоря, такие объекты вовсе не тензоры. Знаменитый пример такого псевдотензора - псевдотензор Ландау – Лифшица .
Примеры
На неориентируемых многообразиях нельзя определить форму объема глобально из-за неориентируемости, но можно определить элемент объема , который формально является плотностью и может также называться формой псевдообъема из-за дополнительного знака твист (тензорное расслоение знаков). Элемент объема - это псевдотензорная плотность согласно первому определению.
Замена переменных в многомерном интеграции может быть достигнуто за счет включения фактора абсолютного значения детерминанта из матрицы Якоби . Использование абсолютного значения вводит изменение знака для неправильных преобразований координат, чтобы компенсировать соглашение о сохранении положительного элемента интегрирования (объема); как таковое подынтегральное выражение является примером псевдотензорной плотности согласно первому определению.
В символы Кристоффеля о качестве аффинной связности на многообразии можно рассматривать как поправочные члены в частных производных координат выражение векторного поля по отношению к координатам , чтобы сделать его ковариантная производная вектора поля. Хотя сама аффинная связь не зависит от выбора координат, ее символы Кристоффеля зависят, что делает их псевдотензорной величиной согласно второму определению.
Рекомендации
- Перейти ↑ Sharipov, RA (1996). Курс дифференциальной геометрии, Уфа: Башкирский государственный университет, Россия, с. 34, ур. 6.15. ISBN 5-7477-0129-0 , arXiv : math / 0412421v1
- ^ Лоуден, Дерек Ф. (1982). Введение в тензорное исчисление, относительность и космологию. Чичестер: John Wiley & Sons Ltd., стр. 29, ур. 13.1. ISBN 0-471-10082-X
- ↑ Борисенко, А.И., Тарапов, И.Е. (1968). Векторный и тензорный анализ с приложениями, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc., стр. 124, ур. 3.34. ISBN 0-486-63833-2