Неправильное вращение

Пример многогранников с симметрией вращательного отражения
Группа	S ₄	S ₆	С ₈	С ₁₀	С ₁₂
Подгруппы	C ₂	C ₃ , S ₂ = C _i	С ₄ , С ₂	C ₅ , S ₂ = C _i	С ₆ , С ₄ , С ₃ , С ₂
Пример	скошенная двуугольная антипризма	треугольная антипризма	квадратная антипризма	пятиугольная антипризма	шестиугольная антипризма
Антипризмы с направленными краями обладают симметрией вращения. p -антипризмы для нечетного p содержат симметрию обращения , C _i .

В геометрии , неправильное вращение , ^[1] также называется вращение отражения , ^[2] rotoreflection, ^[1] роторный отражения , ^[3] или rotoinversion ^[4] является, в зависимости от контекста, А линейное преобразование или аффинное преобразование , которое является комбинация вращения вокруг оси и отражения в плоскости, перпендикулярной этой оси. ^[5]

Три измерения [ править ]

Подгруппы для групп Schoenflies от S ₂ до S ₂₀

В 3D эквивалентно это комбинация вращения и инверсии точки на оси. ^[1] Поэтому он также называется rotoinversion или роторный инверсии . Трехмерная симметрия, имеющая только одну фиксированную точку , обязательно является неправильным вращением. ^[3]

В обоих случаях операции меняются. Ротоотражение и ротоинверсия одинаковы, если они отличаются по углу поворота на 180 °, а точка инверсии находится в плоскости отражения.

Таким образом, неправильный поворот объекта приводит к повороту его зеркального изображения . Ось называется осью вращения-отражения . ^[6] Это называется n- кратным неправильным вращением, если угол поворота составляет 360 ° / n . ^[6] Существует несколько различных систем обозначения отдельных неправильных поворотов:

Обозначения Шенфлиса использует символ S _п (немецкий, Spiegel , для зеркала ) обозначают группа симметрии порождается п -кратной неправильного вращения. Например, операция симметрии S ₆ представляет собой комбинацию поворота на (360 ° / 6) = 60 ° и отражения в плоскости зеркала. (Это не следует путать с тем же обозначением для симметричных групп ). ^[6]
В обозначениях Германа – Могена символ n используется для n- кратного ротообращения ; т.е. поворот на угол 360 ° / n с инверсией. Обратите внимание, что 2 - это просто отражение и обычно обозначается m .
Обозначения Косетеров для S _2n является [2 п ⁺ , 2 ⁺ ].
Обозначения орбифолда является п ×, порядок 2 н .

Прямая подгруппа из S _2n , из индекса 2, представляет собой С _п , [ п ] ⁺ , или ( пп ), порядка п , будучи генератор rotoreflection применяется дважды.

S _{2 n} для нечетных n содержит инверсию , обозначенную C _i . Но для четного n S _{2 n} не содержит инверсии. В общем, если нечетное p является делителем n , то S _{2 n / p} является подгруппой в S _{2 n} . Например, S ₄ является подгруппой S ₁₂ .

Как косвенная изометрия [ править ]

В более широком смысле неправильное вращение можно определить как любую косвенную изометрию ; т.е. элемент E (3) \ E ⁺ (3): таким образом, он также может быть чистым отражением в плоскости или иметь плоскость скольжения . Непрямая изометрия - это аффинное преобразование с ортогональной матрицей , имеющее определитель -1.

Правильное вращение обычный поворот. В более широком смысле собственное вращение определяется как прямая изометрия ; т. е. элемент E ⁺ (3): он также может быть тождеством, вращением с переносом вдоль оси или чистым переносом. Прямая изометрия - это аффинное преобразование с ортогональной матрицей, имеющее определитель 1.

Либо в более узком, либо в более широком смысле сочетание двух неправильных вращений является правильным вращением, а сочетание неправильного и правильного вращения - неправильным вращением.

Физические системы [ править ]

При изучении симметрии физической системы при неправильном вращении (например, если система имеет плоскость зеркальной симметрии) важно различать векторы и псевдовекторы (а также скаляры и псевдоскаляры , и вообще между тензорами и псевдотензорами ) , поскольку последние преобразуются по-разному при правильном и неправильном поворотах (в трехмерном пространстве псевдовекторы инвариантны относительно инверсии).

См. Также [ править ]

Изометрия
Ортогональная группа

Ссылки [ править ]

^ a b c Моравец, Адам (2004), Ориентации и вращения: вычисления в кристаллографических текстурах , Springer, стр. 7, ISBN 9783540407348.
^ Мисслер, Гэри; Фишер, Пол; Тарр, Дональд (2014), Неорганическая химия (5-е изд.), Пирсон, стр. 78
^ а б Кинси, Л. Кристин ; Мур, Тереза Э. (2002), Симметрия, форма и поверхности: введение в математику через геометрию , Springer, стр. 267, ISBN 9781930190092.
^ Клейн, Филпоттс (2013). Материалы Земли . Издательство Кембриджского университета. С. 89–90. ISBN 9780521145213.
^ Саломон, Дэвид (1999), Компьютерная графика и геометрическое моделирование , Springer, стр. 84, ISBN 9780387986821.
^ a b c Бишоп, Дэвид М. (1993), Теория групп и химия , Courier Dover Publications, стр. 13, ISBN 9780486673554.

[Morawiec-1] Моравец, Адам (2004), Ориентации и вращения: вычисления в кристаллографических текстурах , Springer, стр. 7, ISBN 9783540407348.

[2] Мисслер, Гэри; Фишер, Пол; Тарр, Дональд (2014), Неорганическая химия (5-е изд.), Пирсон, стр. 78

[sss-3] а б Кинси, Л. Кристин ; Мур, Тереза Э. (2002), Симметрия, форма и поверхности: введение в математику через геометрию , Springer, стр. 267, ISBN 9781930190092.

[4] Клейн, Филпоттс (2013). Материалы Земли . Издательство Кембриджского университета. С. 89–90. ISBN 9780521145213.

[5] Саломон, Дэвид (1999), Компьютерная графика и геометрическое моделирование , Springer, стр. 84, ISBN 9780387986821.

[Bishop-6] Бишоп, Дэвид М. (1993), Теория групп и химия , Courier Dover Publications, стр. 13, ISBN 9780486673554.

[1]