В математике , особенно в алгебре , неопределенная система - это система одновременных уравнений (например, линейных уравнений ), которая имеет более одного решения (иногда бесконечно много решений). [1] [2] В случае линейной системы можно сказать, что система недостаточно определена , и в этом случае наличие более чем одного решения будет означать бесконечное число решений (поскольку система может быть описана в терминах хотя бы одну свободную переменную [3] ), но это свойство не распространяется на нелинейные системы (например, систему с уравнением).
Неопределенная система по определению является непротиворечивой в том смысле, что она имеет хотя бы одно решение. [4] Для системы линейных уравнений количество уравнений в неопределенной системе может быть таким же, как количество неизвестных, меньше, чем количество неизвестных ( недоопределенная система ), или больше, чем количество неизвестных ( переопределенная система ). И наоборот, любой из этих трех случаев может быть неопределенным, а может и не быть.
Примеры
В следующих примерах неопределенных систем уравнений, соответственно, меньше уравнений, столько же уравнений, сколько и больше уравнений, чем неизвестных:
Условия, приводящие к неопределенности
В линейных системах, возникает неопределенность , тогда и только тогда , когда число независимых уравнений ( ранг из расширенной матрицы системы) меньше числа неизвестных , и такое же , как ранг матрицы коэффициентов . Ведь если существует по крайней мере столько же независимых уравнений, сколько неизвестных, это устранит любые участки перекрытия поверхностей уравнений в геометрическом пространстве неизвестных (кроме, возможно, одной точки), что, в свою очередь, исключает возможность иметь больше чем одно решение. С другой стороны, если ранг расширенной матрицы превышает (обязательно на единицу, если вообще) ранг матрицы коэффициентов, тогда уравнения будут совместно противоречить друг другу, что исключает возможность иметь какое-либо решение.
Нахождение множества решений неопределенной линейной системы
Пусть система уравнений записана в матричной форме как
где это матрица коэффициентов, это вектор неизвестных, и является вектор констант. В этом случае, если система неопределенная, то бесконечное множество решений - это множество всехвекторы, созданные [5]
где является псевдообратная матрица из а также есть ли вектор.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ "Окончательный глоссарий высшего математического жаргона - неопределенный" . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 2 декабря 2019 .
- ^ «Неопределенные и несовместимые системы: системы уравнений» . TheProblemSite.com . Проверено 2 декабря 2019 .
- ^ Густафсон, Грант Б. (2008). «Три возможности (линейной системы)» (PDF) . math.utah.edu . Проверено 2 декабря 2019 .
- ^ "Согласованные и несовместимые системы уравнений | Ресурсы Wyzant" . www.wyzant.com . Проверено 2 декабря 2019 .
- ^ Джеймс, М., «Обобщенное обратное», Mathematical Gazette 62, июнь 1978, 109–114.
дальнейшее чтение
- Лэй, Дэвид (2003). Линейная алгебра и ее приложения . Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-70970-8.