Матричное дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение представляет собой математическое уравнение для неизвестной функции одной или нескольких переменных , которая связывает значения самой функции и ее производных различных порядков. Матричное дифференциальное уравнение содержит более чем одну функцию сложены в векторной форме с матрицей , касающейся функций их производных.

Например, матричное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

${\ displaystyle \ mathbf {\ dot {x}} (t) = \ mathbf {A} (t) \ mathbf {x} (t)}$

где - вектор функций базовой переменной , - вектор первых производных этих функций и - матрица коэффициентов. ${\ Displaystyle \ mathbf {х} (т)}$${\ Displaystyle п \ раз 1}$${\ displaystyle t}$${\ Displaystyle \ mathbf {\ точка {х}} (т)}$${\ Displaystyle \ mathbf {A} (т)}$${\ Displaystyle п \ раз п}$

В случае, когда является константой и имеет n линейно независимых собственных векторов , это дифференциальное уравнение имеет следующее общее решение:${\ displaystyle \ mathbf {A}}$

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=c_{1}e^{\lambda _{1}t}\mathbf {u} _{1}+c_{2}e^{\lambda _{2}t}\mathbf {u} _{2}+\cdots +c_{n}e^{\lambda _{n}t}\mathbf {u} _{n}~,}$

где λ ₁ , λ ₂ , ..., λ _п являются собственные из A ; U ₁ , U ₂ , ..., у _п есть соответствующие собственные векторы из А ; а c ₁ , c ₂ ,…, c _n - константы.

В более общем смысле, если коммутирует со своим интегралом, то общее решение дифференциального уравнения имеет вид${\displaystyle \mathbf {A} (t)}$${\displaystyle \int _{a}^{t}\mathbf {A} (s)ds}$

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=e^{\int _{a}^{t}\mathbf {A} (s)ds}\mathbf {c} ~,}$

где - постоянный вектор. ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle \mathbf {c} }$${\displaystyle n\times 1}$

Используя теорему Кэли – Гамильтона и матрицы типа Вандермонда , это формальное матричное экспоненциальное решение может быть приведено к простой форме. ^[1] Ниже это решение показано в терминах алгоритма Путцера. ^[2]

Устойчивость и устойчивое состояние матричной системы [ править ]

Матричное уравнение

${\displaystyle \mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {Ax} (t)+\mathbf {b} }$

с n × 1 параметрическим постоянным вектором b является стабильным тогда и только тогда, когда все собственные значения постоянной матрицы A имеют отрицательную действительную часть.

Установившееся состояние x *, к которому оно сходится, если оно стабильно, находится путем задания

${\displaystyle \mathbf {\dot {x}} ^{*}(t)=\mathbf {0} ~,}$

таким образом давая

${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}=-\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {b} ~,}$

предполагая, что A обратима.

Таким образом, исходное уравнение может быть записано в однородной форме в терминах отклонений от установившегося состояния:

${\displaystyle \mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {A} [\mathbf {x} (t)-\mathbf {x} ^{*}]~.}$

Эквивалентный способ выразить это так: x * является частным решением неоднородного уравнения, в то время как все решения имеют вид

${\displaystyle \mathbf {x} _{h}+\mathbf {x} ^{*}~,}$

с решением однородного уравнения ( b = 0 ).${\displaystyle \mathbf {x} _{h}}$

Устойчивость случая с двумя переменными состояниями [ править ]

В п = 2 случая (с двумя переменными состояния), условия устойчивости , что два собственных значений матрицы перехода A каждый имеет отрицательную действительную часть эквивалентны условиям , что след от А быть отрицательным , и ее определитель будет положительным.

Решение в матричной форме [ править ]

Формальное решение имеет матричный экспоненциальный вид${\displaystyle \mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {A} [\mathbf {x} (t)-\mathbf {x} ^{*}]}$

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {x} ^{*}+e^{\mathbf {A} t}[\mathbf {x} (0)-\mathbf {x} ^{*}]~,}$

оценивается с использованием любого из множества методов.

Алгоритм Путцера для вычисления e ^{A t} [ править ]

Учитывая матрицу A с собственными значениями , ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n}}$

${\displaystyle e^{\mathbf {A} t}=\sum _{j=0}^{n-1}r_{j+1}{\left(t\right)}\mathbf {P} _{j}}$

где

${\displaystyle \mathbf {P} _{0}=\mathbf {I} }$

${\displaystyle \mathbf {P} _{j}=\prod _{k=1}^{j}\left(\mathbf {A} -\lambda _{k}\mathbf {I} \right)=\mathbf {P} _{j-1}\left(\mathbf {A} -\lambda _{j}\mathbf {I} \right),\qquad j=1,2,\dots ,n-1}$

${\displaystyle {\dot {r}}_{1}=\lambda _{1}r_{1}}$

${\displaystyle r_{1}{\left(0\right)}=1}$

${\displaystyle {\dot {r}}_{j}=\lambda _{j}r_{j}+r_{j-1},\qquad j=2,3,\dots ,n}$

${\displaystyle r_{j}{\left(0\right)}=0,\qquad j=2,3,\dots ,n}$

Уравнения для представляют собой простые неоднородные ОДУ первого порядка.${\displaystyle r_{i}(t)}$

Обратите внимание, что алгоритм не требует, чтобы матрица A была диагонализуемой, и обходит сложность обычно используемых канонических форм Жордана .

Деконструированный пример матричного обыкновенного дифференциального уравнения [ править ]

Однородное матричное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с двумя функциями x ( t ) и y ( t ), вынимаемое из матричной формы, имеет следующий вид:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=a_{1}x+b_{1}y,\quad {\frac {dy}{dt}}=a_{2}x+b_{2}y}$

где , , , и могут быть любые произвольные скаляры.${\displaystyle a_{1}}$${\displaystyle a_{2}}$${\displaystyle b_{1}}$${\displaystyle b_{2}}$

Матричные ОДУ более высокого порядка могут иметь гораздо более сложную форму.

Решение деконструированных матричных обыкновенных дифференциальных уравнений [ править ]

Процесс решения вышеуказанных уравнений и нахождения требуемых функций этого конкретного порядка и формы состоит из 3 основных шагов. Краткое описание каждого из этих шагов приведено ниже:

• Нахождение собственных значений
• Нахождение собственных векторов
• Поиск нужных функций

Последний, третий шаг в решении подобных обыкновенных дифференциальных уравнений обычно выполняется путем вставки значений, вычисленных на двух предыдущих шагах, в специализированное уравнение общей формы, упомянутое далее в этой статье.

Решенный пример матричного ODE [ править ]

Чтобы решить матричное ОДУ в соответствии с тремя шагами, подробно описанными выше, с использованием простых матриц в процессе, давайте найдем, скажем, функцию x и функцию y в терминах единственной независимой переменной t в следующем однородном линейном дифференциальном уравнении первого порядка,

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=3x-4y,\quad {\frac {dy}{dt}}=4x-7y~.}$

Чтобы решить эту конкретную систему обыкновенных дифференциальных уравнений , в какой-то момент процесса решения нам понадобится набор из двух начальных значений (соответствующих двум переменным состояния в начальной точке). В этом случае возьмем x (0) = y (0) = 1 .

Первый шаг [ править ]

Первый шаг, уже упоминалось выше, является нахождение собственных значений из А в

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&-4\\4&-7\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}~.}$

Производное обозначение х ' и т.д. видно в одном из векторов выше, известные как обозначение Лагранжа, (введенного впервые Джозеф Луи Лагранжа . Это эквивалентно производной обозначения ого / дт , используемые в предыдущем уравнении, известном как обозначение Лейбница , почитая имя Готфрида Лейбница .)

После того, как коэффициенты двух переменных записаны в матричной форме A, показанной выше, можно оценить собственные значения . С этой целью один находит определитель из матрицы , которая формируется , когда единичная матрица , , умноженные на некоторой константе Х , вычитаются из приведенных выше матриц коэффициентов с получением характеристического полинома от него,${\displaystyle I_{n}}$

${\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}3&-4\\4&-7\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right)~,}$

и найдите его нули.

Применяя дальнейшее упрощение и основные правила сложения матриц, получаем

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}3-\lambda &-4\\4&-7-\lambda \end{bmatrix}}~.}$

Применяя правила нахождения определителя единственной матрицы 2 × 2, получаем следующее элементарное квадратное уравнение ,

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}3-\lambda &-4\\4&-7-\lambda \end{bmatrix}}=0}$

${\displaystyle -21-3\lambda +7\lambda +\lambda ^{2}+16=0\,\!}$

который может быть уменьшен, чтобы получить более простую версию вышеупомянутого,

${\displaystyle \lambda ^{2}+4\lambda -5=0~.}$

Теперь нахождение двух корней и данного квадратного уравнения с помощью метода факторизации дает${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \lambda _{2}}$

${\displaystyle \lambda ^{2}+5\lambda -\lambda -5=0}$

${\displaystyle \lambda (\lambda +5)-1(\lambda +5)=0}$

${\displaystyle (\lambda -1)(\lambda +5)=0}$

${\displaystyle \lambda =1,-5~.}$

Значения и , рассчитанные выше требуемые собственные значения из A . В некоторых случаях, например, в других матричных ОДУ, собственные значения могут быть сложными , и в этом случае следующий этап процесса решения, а также окончательная форма и решение могут резко измениться.${\displaystyle \lambda _{1}=1}$${\displaystyle \lambda _{2}=-5}$

Второй шаг [ править ]

Как упоминалось выше, этот этап включает в себя нахождение собственных векторов из А из информации , предоставленной первоначально.

Для каждого вычисленного собственного значения у нас есть индивидуальный собственный вектор . Для первого собственного значения , а именно : ${\displaystyle \lambda _{1}=1}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&-4\\4&-7\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\alpha \\\beta \end{bmatrix}}=1{\begin{bmatrix}\alpha \\\beta \end{bmatrix}}.}$

Упрощение приведенного выше выражения путем применения основных правил умножения матриц дает

${\displaystyle 3\alpha -4\beta =\alpha }$

${\displaystyle \alpha =2\beta ~.}$

Все эти вычисления были проделаны только для получения последнего выражения, которое в нашем случае α = 2 β . Теперь, взяв какое-то произвольное значение, предположительно небольшое незначительное значение, с которым намного проще работать, для α или β (в большинстве случаев это не имеет большого значения), мы подставляем его в α = 2 β . В результате получается простой вектор, который является необходимым собственным вектором для этого конкретного собственного значения. В нашем случае мы выбираем α = 2 , что, в свою очередь, определяет, что β = 1, и, используя стандартные векторные обозначения , наш вектор выглядит как

${\displaystyle \mathbf {\hat {v}} _{1}={\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}}.}$

Выполняя ту же операцию, используя второе вычисленное собственное значение , то есть мы получаем наш второй собственный вектор. Процесс разработки этого вектора не показан, но конечный результат ${\displaystyle \lambda =-5}$

${\displaystyle \mathbf {\hat {v}} _{2}={\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}.}$

Третий шаг [ править ]

Этот последний шаг фактически находит требуемые функции, которые «спрятаны» за производными, данными нам изначально. Есть две функции, потому что наши дифференциальные уравнения имеют дело с двумя переменными.

Уравнение, которое включает в себя всю информацию, которую мы ранее нашли, имеет следующую форму:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=Ae^{\lambda _{1}t}\mathbf {\hat {v}} _{1}+Be^{\lambda _{2}t}\mathbf {\hat {v}} _{2}.}$

Подстановка значений собственных значений и собственных векторов дает

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=Ae^{t}{\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}}+Be^{-5t}{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}.}$

Применяя дальнейшее упрощение,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}Ae^{t}\\Be^{-5t}\end{bmatrix}}.}$

Далее, упрощая и записывая уравнения для функций x и y по отдельности,

${\displaystyle x=2Ae^{t}+Be^{-5t}}$

${\displaystyle y=Ae^{t}+2Be^{-5t}.}$

Вышеупомянутые уравнения, по сути, являются искомыми общими функциями, но они имеют общий вид (с неопределенными значениями A и B ), в то время как мы действительно хотим найти их точные формы и решения. Итак, теперь мы рассматриваем заданные начальные условия задачи (задача, включающая заданные начальные условия, является так называемой задачей начального значения ). Предположим, нам дан , который играет роль отправной точки для нашего обыкновенного дифференциального уравнения; Применение этих условий определяет константы, A и B . Как видно из условий, при t = 0${\displaystyle x(0)=y(0)=1}$${\displaystyle x(0)=y(0)=1}$, левые части приведенных выше уравнений равны 1. Таким образом, мы можем построить следующую систему линейных уравнений ,

${\displaystyle 1=2A+B}$

${\displaystyle 1=A+2B~.}$

Решая эти уравнения, мы обнаруживаем, что обе константы A и B равны 1/3. Поэтому подстановка этих значений в общий вид этих двух функций указывает их точные формы,

${\displaystyle x={\frac {2}{3}}e^{t}+{\frac {1}{3}}e^{-5t}}$

${\displaystyle y={\frac {1}{3}}e^{t}+{\frac {2}{3}}e^{-5t}~,}$

две искомые функции.

См. Также [ править ]

• Неоднородные уравнения
• Матричное разностное уравнение
• Закон охлаждения Ньютона
• Последовательность Фибоначчи
• Разностные уравнения
• Волновое уравнение
• Автономная система (математика)

Ссылки [ править ]