Детерминант

В математике , то определитель представляет собой скалярное значение , что является функцией из записей в квадратной матрице . Это позволяет охарактеризовать некоторые свойства матрицы и линейной карты, представленной матрицей. В частности, определитель отличен от нуля тогда и только тогда, когда матрица обратима , а линейное отображение, представленное матрицей, является изоморфизмом . Определитель произведения матриц - это произведение их определителей (предыдущее свойство является следствием этого). Определитель матрицы A обозначается det ( A ) , detA , или | А | .

В случае матрицы 2 × 2 определитель можно определить как

${\ displaystyle {\ begin {align} | A | = {\ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix}} = ad-bc. \ end {align}}}$

Аналогично, для матрицы A 3 × 3 ее определитель равен

${\ displaystyle {\ begin {align} | A | = {\ begin {vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \ end {vmatrix}} & = a \, {\ begin {vmatrix} e & f \\ h & i \ end { vmatrix}} - b \, {\ begin {vmatrix} d & f \\ g & i \ end {vmatrix}} + c \, {\ begin {vmatrix} d & e \\ g & h \ end {vmatrix}} \\ [3pt] & = aei + bfg + cdh-ceg-bdi-afh. \ конец {выровнено}}}$

Каждый определитель 2 × 2 матрицы в этом уравнении называется минор матрицы A . Эту процедуру можно расширить, чтобы дать рекурсивное определение определителя матрицы размера n × n , известное как разложение Лапласа .

Детерминанты встречаются повсюду в математике. Например, матрица часто используется для представления коэффициентов в системе линейных уравнений , а определители могут использоваться для решения этих уравнений ( правило Крамера ), хотя другие методы решения гораздо более эффективны в вычислительном отношении. Определители используются для определения характеристического полинома матрицы, корни которой являются собственными значениями . В геометрии , подписанный п - мерный объем из п - мерного параллелепипеда выражается определителем. Это используется в исчислении свнешние дифференциальные формы и определитель Якоби , в частности, для замен переменных в кратных интегралах .

Матрицы 2 × 2 [ править ]

Определитель матрицы 2 × 2 определяется как${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}}}$

${\displaystyle \operatorname {det} {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc.}$

Определитель обозначается либо det, либо вертикальными полосами вокруг матрицы. Например,

${\displaystyle {\begin{vmatrix}3&7\\1&{-4}\end{vmatrix}}=3\cdot (-4)-7\cdot 1=-19.}$

Эта формула для определителя матриц 2 × 2 имеет несколько особенностей, которые продолжают действовать для определителей матриц большего размера. Эти:

• Определитель единичной матрицы равен 1.${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$
• Определитель меняет знак, если поменять местами два столбца:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}b&a\\d&c\end{vmatrix}}=bc-ad=-(ad-bc)=-{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}.}$

• Определитель не меняется, если один столбец добавляется к другому столбцу:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&a+b\\c&c+d\end{vmatrix}}=a(c+d)-(a+b)c=ac+ad-ac-bc=ad-bc.}$

• Если какой-либо столбец умножается на некоторое число (т.е. все записи в этом столбце умножаются на это число), определитель также умножается на это число:${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\begin{vmatrix}r\cdot a&b\\r\cdot c&d\end{vmatrix}}=rad-brc=r(ad-bc)=r\cdot {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}.}$

Геометрическое значение [ править ]

Если матричные элементы являются действительными числами, то матрица может быть использовано для представления два линейных карт : один , который отображает стандартные базисные векторы в строки А , и один , который отображает их в столбцы A . В любом случае изображения базисных векторов образуют параллелограмм, который представляет изображение единичного квадрата под отображением. Параллелограмм, определяемый строками указанной выше матрицы, - это параллелограмм с вершинами в точках (0, 0) , ( a , b ) , ( a + c , b + d ) , И ( с , d ) , какпоказано на прилагаемом рисунке.

Абсолютное значение объявления - Ьс есть площадь параллелограмма, и , таким образом , представляет собой масштабный коэффициент , с помощью которого участки трансформированного A . (Параллелограмм, образованный столбцами A , в общем случае представляет собой другой параллелограмм, но поскольку определитель симметричен относительно строк и столбцов, площадь будет такой же.)

Абсолютное значение определителя вместе со знаком становится ориентированной областью параллелограмма. Ориентированная область такая же, как и обычная область , за исключением того, что она отрицательна, когда угол от первого ко второму вектору, определяющему параллелограмм, поворачивается по часовой стрелке (что противоположно направлению, которое можно получить для единичной матрицы ).

Чтобы показать, что ad - bc является областью со знаком, можно рассмотреть матрицу, содержащую два вектора u ≡ ( a , b ) и v ≡ ( c , d ), представляющие стороны параллелограмма. Подписанная область может быть выражена как | u | | v | sin  θ для угла θ между векторами, который является просто основанием, умноженным на высоту, длину одного вектора, умноженную на перпендикулярный компонент другого. Из-за синуса это уже подписанная область, но ее можно выразить более удобно, используякосинус дополнительного угла к перпендикулярному вектору, например u ^⊥ = (- b , a ) , так что | u ^⊥ | | v | cos  θ ′ , который может быть определен по образцу скалярного произведения равным ad - bc :

${\displaystyle {\text{Signed area}}=|{\boldsymbol {u}}|\,|{\boldsymbol {v}}|\,\sin \,\theta =\left|{\boldsymbol {u}}^{\perp }\right|\,\left|{\boldsymbol {v}}\right|\,\cos \,\theta '={\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}}=ad-bc.}$

Таким образом , определитель дает коэффициент масштабирования и ориентацию , индуцированное отображение , представленному А . Когда определитель равен единице, линейное отображение, определяемое матрицей, является равноплощадным и сохраняет ориентацию.

С этими идеями связан объект, известный как бивектор . В 2D, это может быть интерпретировано как ориентированный сегмент плоскости , образованным представляя два вектора , каждые с началом (0, 0) , и координатами ( , б ) и ( гр , д ) . Величина бивектора (обозначается ( a , b ) ∧ ( c , d ) ) - это площадь со знаком , которая также является определителем ad - bc . ^[1]

Если вещественная матрица A размера n × n записана в терминах ее векторов-столбцов , то${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{c|c|c|c}\mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{2}&\cdots &\mathbf {a} _{n}\end{array}}\right]}$

${\displaystyle A{\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}=\mathbf {a} _{1},\quad A{\begin{pmatrix}0\\1\\\vdots \\0\end{pmatrix}}=\mathbf {a} _{2},\quad \ldots ,\quad A{\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\1\end{pmatrix}}=\mathbf {a} _{n}.}$

Это означает, что отображает единичный n -куб в n -мерный параллелоэдр, определяемый векторами области${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{n},}$${\displaystyle P=\left\{c_{1}\mathbf {a} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {a} _{n}\mid 0\leq c_{i}\leq 1\ \forall i\right\}.}$

Определитель дает подписанный п - мерный объем этого параллелепипеда, и , следовательно , в более общем случае описывает в п - мерный объемный коэффициент масштабирования от линейного преобразования создаваемого A . ^[2] (Знак показывает, сохраняет ли преобразование ориентацию или меняет ее на противоположное .) В частности, если определитель равен нулю, то этот параллелогран имеет нулевой объем и не является полностью n -мерным, что указывает на то, что размерность изображения A равна меньше чем n . Это означает, что A производит линейное преобразование, которое ни${\displaystyle \det(A)=\pm {\text{vol}}(P),}$на ни один-к-одному , и поэтому не является обратимым.

Определение [ править ]

В дальнейшем A представляет собой квадратную матрицу с n строками и n столбцами, так что ее можно записать как

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\dots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\dots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\dots &a_{n,n}\end{bmatrix}}.}$

Записи и т. Д. Для многих целей являются действительными или комплексными числами. Как обсуждается ниже, определитель также определен для матриц, элементы которых являются элементами в более абстрактных алгебраических структурах, известных как коммутативные кольца .${\displaystyle a_{1,1}}$

Определитель A обозначается как det ( A ), или его можно обозначить непосредственно в терминах элементов матрицы, написав закрывающие черты вместо скобок:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\dots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\dots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\dots &a_{n,n}\end{vmatrix}}.}$

Существуют различные эквивалентные способы определения определителя квадратной матрицы A , то есть с одинаковым количеством строк и столбцов: определитель может быть определен с помощью формулы Лейбница , явной формулы, включающей суммы произведений определенных элементов матрицы. Определитель также можно охарактеризовать как уникальную функцию, зависящую от элементов матрицы, удовлетворяющих определенным свойствам. Этот подход также можно использовать для вычисления определителей путем упрощения рассматриваемых матриц.

Формула Лейбница [ править ]

Формула Лейбница для определителя матрицы 3 × 3 следующая:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}&=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)\\&=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh.\end{aligned}}}$

Правило саррюса мнемонический для этой формулы: сумма произведений три диагональных северо-запада на юго-востоке линии матричных элементов, минус сумма произведений три диагональных юго-запада на северо-востоке линии элементов , когда рядом с ней написаны копии первых двух столбцов матрицы, как на рисунке:

${\displaystyle {\begin{aligned}~~~~~~{\begin{vmatrix}a&b&c\\e&f&g\\h&i&j\end{vmatrix}}=\end{aligned}}}$${\displaystyle \qquad =\color {red}{afj+bgh+cei}\color {blue}{-hfc-iga-jeb}}$

Эта схема вычисления определителя матрицы 3 × 3 не переносится на более высокие измерения.

n × n матриц [ править ]

Определитель матрицы произвольного размера может быть определен формулой Лейбница или формулой Лапласа .

Формула Лейбница для определителя матрицы A размера n × n имеет вид

${\displaystyle \det(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\left(\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma _{i}}\right).}$

Здесь сумма вычисляется по всем перестановкам σ множества {1, 2, ..., n }. Перестановка - это функция, которая переупорядочивает этот набор целых чисел. Значение в i- й позиции после переупорядочения σ обозначается σ _i . Например, для n = 3 исходная последовательность 1, 2, 3 может быть переупорядочена в σ = [2, 3, 1] , с σ ₁ = 2 , σ ₂ = 3 и σ ₃ = 1 . Множество всех таких перестановок (также известное как симметрическая группана n элементах) обозначается S _n . Для каждой перестановки сга , SGN ( σ ) обозначает подпись из сга , значение , которое равно +1 , когда переупорядочивание данных через а может быть достигнута путем последовательной перестановки две записей четного числа раз, и -1 , всякий раз , когда это может быть достигнуто путем нечетное количество таких развязок.

В любом из слагаемых член${\displaystyle n!}$

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma _{i}}}$

- обозначение произведения записей в позициях ( i , σ _i ) , где i изменяется от 1 до n :

${\displaystyle a_{1,\sigma _{1}}\cdot a_{2,\sigma _{2}}\cdots a_{n,\sigma _{n}}.}$

Например, определитель матрицы A 3 × 3 ( n = 3 ) равен

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma _{i}}\\={}&\operatorname {sgn}([1,2,3])\prod _{i=1}^{n}a_{i,[1,2,3]_{i}}+\operatorname {sgn}([1,3,2])\prod _{i=1}^{n}a_{i,[1,3,2]_{i}}+\operatorname {sgn}([2,1,3])\prod _{i=1}^{n}a_{i,[2,1,3]_{i}}+{}\\&\operatorname {sgn}([2,3,1])\prod _{i=1}^{n}a_{i,[2,3,1]_{i}}+\operatorname {sgn}([3,1,2])\prod _{i=1}^{n}a_{i,[3,1,2]_{i}}+\operatorname {sgn}([3,2,1])\prod _{i=1}^{n}a_{i,[3,2,1]_{i}}\\={}&\prod _{i=1}^{n}a_{i,[1,2,3]_{i}}-\prod _{i=1}^{n}a_{i,[1,3,2]_{i}}-\prod _{i=1}^{n}a_{i,[2,1,3]_{i}}+\prod _{i=1}^{n}a_{i,[2,3,1]_{i}}+\prod _{i=1}^{n}a_{i,[3,1,2]_{i}}-\prod _{i=1}^{n}a_{i,[3,2,1]_{i}}\\[2pt]={}&a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3}-a_{1,1}a_{2,3}a_{3,2}-a_{1,2}a_{2,1}a_{3,3}+a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1}+a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2}-a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1}.\end{aligned}}}$

Символ Леви-Чивита [ править ]

Иногда полезно расширить формулу Лейбница до суммирования, в котором происходят не только перестановки, но и все последовательности из n индексов в диапазоне 1, ..., n , гарантируя, что вклад последовательности будет равен нулю, если он не обозначает перестановка. Таким образом, полностью антисимметричный символ Леви-Чивиты расширяет сигнатуру перестановки, устанавливая для любой перестановки σ числа n , и когда не существует такой перестановки σ , что для (или, что эквивалентно, когда некоторые пары индексов равны). Тогда определитель для матрицы размера n × n может быть выражен с помощью n${\displaystyle \varepsilon _{i_{1},\cdots ,i_{n}}}$${\displaystyle \varepsilon _{\sigma (1),\cdots ,\sigma (n)}=\operatorname {sgn} (\sigma )}$${\displaystyle \varepsilon _{i_{1},\cdots ,i_{n}}=0}$${\displaystyle \sigma (j)=i_{j}}$${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$-кратное суммирование как

${\displaystyle \det(A)=\sum _{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n}=1}^{n}\varepsilon _{i_{1}\cdots i_{n}}a_{1,i_{1}}\cdots a_{n,i_{n}},}$

или используя два символа epsilon как

${\displaystyle \det(A)={\frac {1}{n!}}\sum \varepsilon _{i_{1}\cdots i_{n}}\varepsilon _{j_{1}\cdots j_{n}}a_{i_{1}j_{1}}\cdots a_{i_{n}j_{n}},}$

где теперь каждый i _r и каждый j _r должны быть суммированы по 1, ..., n .

Тем не менее, за счет использования тензорной записи и подавление символа суммирования (суммирование конференц - Эйнштейна), можно получить гораздо более компактное выражение определителя системы второго порядка по размерам, ;${\displaystyle n=3}$${\displaystyle a_{n}^{m}}$

${\displaystyle \det(a_{n}^{m})e_{rst}=e_{ijk}a_{r}^{i}a_{s}^{j}a_{t}^{k}}$

где и представляют собой «электронные системы», которые принимают значения 0, +1 и -1 с учетом количества перестановок и . Точнее, равно 0, когда есть повторяющийся индекс в ; +1, когда присутствует четное количество перестановок ; −1, когда присутствует нечетное количество перестановок . Количество индексов, присутствующих в электронных системах, равно и, следовательно, может быть обобщено таким образом. ^[3]${\displaystyle e_{rst}}$${\displaystyle e_{ijk}}$${\displaystyle ijk}$${\displaystyle rst}$${\displaystyle e_{ijk}}$${\displaystyle ijk}$${\displaystyle ijk}$${\displaystyle ijk}$${\displaystyle n}$

Свойства определителя [ править ]

Характеристика детерминанта [ править ]

Детерминант можно охарактеризовать следующими тремя ключевыми свойствами. Чтобы сформулировать это, удобно рассматривать -матрицу A как составленную из ее столбцов, обозначенных таким образом как${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle A={\big (}a_{1},\dots ,a_{n}{\big )},}$

где векторы-столбцы (для каждого i ) состоят из элементов матрицы в i -м столбце.${\displaystyle a_{i}}$

2. ${\displaystyle \det \left(I\right)=1}$, где - единичная матрица .${\displaystyle I}$
4. Определитель является полилинейным : если j- й столбец матрицы записан как линейная комбинация двух векторов-столбцов v и w и числа r , то определитель A можно выразить как аналогичную линейную комбинацию:${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a_{j}=r\cdot v+w}$

   ${\displaystyle {\begin{aligned}|A|&={\big |}a_{1},\dots ,a_{j-1},r\cdot v+w,a_{j+1},\dots ,a_{n}|\\&=r\cdot |a_{1},\dots ,v,\dots a_{n}|+|a_{1},\dots ,w,\dots ,a_{n}|\end{aligned}}}$

6. Определитель является чередующимся : если два столбца матрицы идентичны, его определитель равен 0:

   ${\displaystyle |a_{1},\dots ,v,\dots ,v,\dots ,a_{n}|=0.}$

Если определитель определяется с использованием формулы Лейбница, как указано выше, эти три свойства могут быть доказаны прямым исследованием этой формулы. Некоторые авторы также подходят к определителю напрямую, используя эти три свойства: можно показать, что существует ровно одна функция, которая присваивает любой -матрице A число, удовлетворяющее этим трем свойствам. ^[4] Это также показывает, что этот более абстрактный подход к определителю дает то же определение, что и тот, который использует формулу Лейбница.${\displaystyle n\times n}$

Чтобы увидеть это, достаточно расширить определитель по полилинейности по столбцам до (огромной) линейной комбинации определителей матриц, в которой каждый столбец является стандартным базисным вектором. Эти детерминанты равны либо 0 (по свойству 9), либо ± 1 (по свойствам 1 и 12 ниже), поэтому линейная комбинация дает выражение выше в терминах символа Леви-Чивиты. Хотя эта характеристика менее техническая на вид, она не может полностью заменить формулу Лейбница при определении определителя, поскольку без нее существование соответствующей функции неясно. ^{[ необходима цитата ]}

Немедленные последствия [ править ]

Эти правила имеют еще несколько последствий:

1. Определитель является однородной функцией , т. Е.

   ${\displaystyle \det(cA)=c^{n}\det(A)}$(для матрицы ).${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A}$

2. При замене любой пары столбцов матрицы ее определитель умножается на -1. Это следует из того, что определитель является полилинейным и переменным (свойства 2 и 3 выше):

   ${\displaystyle |a_{1},\dots ,a_{j},\dots a_{i},\dots ,a_{n}|=-|a_{1},\dots ,a_{i},\dots ,a_{j},\dots ,a_{n}|.}$

3. Эта формула может применяться итеративно, когда несколько столбцов меняются местами. Например

   ${\displaystyle |a_{3},a_{1},a_{2},a_{4}\dots ,a_{n}|=-|a_{1},a_{3},a_{2},a_{4},\dots ,a_{n}|=|a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},\dots ,a_{n}|.}$

В более общем смысле, любая перестановка столбцов умножает определитель на знак перестановки.

1. Если какой-то столбец может быть выражен как линейная комбинация других столбцов (т. Е. Столбцы матрицы образуют линейно зависимый набор), определитель равен 0. В качестве особого случая это включает: если какой-либо столбец таков, что все его записи равны нулю, то определитель этой матрицы равен 0.
2. Добавление скалярного кратного одного столбца к другому столбцу не меняет значения определителя. Это является следствием полилинейности и является альтернативой: из-за полилинейности определитель изменяется на кратное определителю матрицы с двумя равными столбцами, определитель которого равен 0, поскольку определитель является чередующимся.
3. Если - треугольная матрица , т. Е. Всякий раз или, альтернативно, всякий раз , когда , то ее определитель равен произведению диагональных элементов:${\displaystyle A}$${\displaystyle a_{ij}=0}$${\displaystyle i>j}$${\displaystyle i<j}$

   ${\displaystyle \det(A)=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}=\prod _{i=1}^{n}a_{ii}.}$

В самом деле, такую ​​матрицу можно уменьшить, соответствующим образом добавив несколько столбцов с меньшим количеством ненулевых элементов к столбцам с большим количеством элементов в диагональную матрицу (без изменения определителя). Для такой матрицы использование линейности в каждом столбце сводится к единичной матрице, и в этом случае указанная формула выполняется с помощью самого первого характеристического свойства определителей.

В качестве альтернативы, эту формулу также можно вывести из формулы Лейбница, поскольку единственная перестановка, которая дает ненулевой вклад, - это тождественная перестановка.${\displaystyle \sigma }$

Пример [ править ]

Эти характерные свойства и их последствия, перечисленные выше, теоретически очень важны. Их также можно использовать для вычисления определителей для конкретных матриц. Фактически, метод исключения Гаусса может применяться для приведения любой матрицы к верхнетреугольной форме, и шаги в этом алгоритме влияют на определитель контролируемым образом. Следующий пример иллюстрирует этот процесс. Определитель

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}-2&2&-3\\-1&1&3\\2&0&-1\end{bmatrix}}}$

можно вычислить с использованием следующих матриц:

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}-2&2&-3\\0&0&4.5\\2&0&-1\end{bmatrix}},\quad C={\begin{bmatrix}-2&2&-3\\0&0&4.5\\0&2&-4\end{bmatrix}},\quad D={\begin{bmatrix}-2&2&-3\\0&2&-4\\0&0&4.5\end{bmatrix}}.}$

Здесь B получается из A добавлением −1 / 2 × первой строки ко второй, так что det ( A ) = det ( B ) . C получается из B добавлением первой строки к третьей, так что det ( C ) = det ( B ) . Наконец, D получается из C заменой второй и третьей строк, так что det ( D ) = −det ( C ) . Определитель (верхней) треугольной матрицы D - это произведение ее элементов на главной диагонали :(−2) · 2 · 4,5 = −18 . Следовательно, det ( A ) = −det ( D ) = +18 .

Транспонировать [ править ]

Определитель транспонированной из равен определителя A :${\displaystyle A}$

${\displaystyle \det \left(A^{\textsf {T}}\right)=\det(A)}$.

Это означает, что свойства столбцов в свойствах A, B и C, перечисленных выше, имеют свои аналоги в терминах строк. Например, если рассматривать матрицу размера n × n как состоящую из n строк, определитель является n- линейной функцией.

Мультипликативность и матричные группы [ править ]

Для квадратных матриц и одинакового размера, определитель произведения матриц равен произведению их определителей:${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle \det(AB)=\det(A)\det(B)}$

Таким образом, определитель - это мультипликативное отображение . Это свойство является следствием приведенной выше характеристики определителя как единственной n- линейной переменной функции столбцов со значением 1 на единичной матрице, поскольку функция M _n ( K ) → K, которая отображает M ↦ det ( AM ) можно легко увидеть, что он n -линейный, чередующийся в столбцах M и принимает значение det ( A ) в единице. Формула может быть обобщена на (квадратные) произведения прямоугольных матриц, давая формулу Коши – Бине, что также обеспечивает независимое доказательство мультипликативности.

Определитель det ( A ) матрицы A отличен от нуля тогда и только тогда, когда A обратима, или, еще одно эквивалентное утверждение, если его ранг равен размеру матрицы. Если это так, то определитель обратной матрицы определяется выражением

${\displaystyle \det \left(A^{-1}\right)={\frac {1}{\det(A)}}=[\det(A)]^{-1}}$

В частности, этим свойством по-прежнему обладают произведения и инверсии матриц с определителем. Таким образом, набор таких матриц (фиксированного размера n ) образует группу, известную как специальная линейная группа . В более общем смысле, слово «специальные» обозначает подгруппу другой группы матриц детерминантной группы. Примеры включают специальную ортогональную группу (которая, если n равно 2 или 3, состоит из всех матриц вращения ), и специальную унитарную группу .

Расширение Лапласа и сопряженная матрица [ править ]

Разложение Лапласа выражает определитель матрицы в терминах определителей матриц меньшего размера, известных как ее миноры . Минор M _{i , j} определяется как определитель ( n -1) × ( n -1) -матрицы, которая получается из A путем удаления i- й строки и j- го столбца. Выражение (−1) ^{i + j} M _{i , j} известно как кофактор . Для каждого i выполняется равенство

${\displaystyle \det(A)=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij},}$

которое называется разложением Лапласа по i- й строке . Аналогично, разложение Лапласа по j- му столбцу - это равенство

${\displaystyle \det(A)=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij}.}$

Например, разложение Лапласа по первой строке ( ) дает следующую формулу:${\displaystyle i=1}$

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}=a{\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}}-b{\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}}+c{\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}}}$

Раскручивание определителей этих -матриц возвращает формулу Лейбница, упомянутую выше. ${\displaystyle 2\times 2}$

Расширение Лапласа может использоваться итеративно для вычисления определителей, но это эффективно только для небольших матриц и разреженных матриц , поскольку для общих матриц это требует вычисления экспоненциального числа определителей, даже если позаботиться о том, чтобы вычислить каждый второстепенный только один раз.

Адъюгированная матрица [ править ]

Союзная матрица прил ( ) является транспонированной матрицы кофакторов, то есть,

${\displaystyle (\operatorname {adj} (A))_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ji}.}$

Для каждой матрицы имеется ^[5]

${\displaystyle (\det A)I=A\operatorname {adj} A=(\operatorname {adj} A)\,A.}$

Таким образом, сопряженная матрица может быть использована для выражения инверсии невырожденной матрицы :

${\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\det A}}\operatorname {adj} A.}$

Дополнение Шура [ править ]

Блочная матрица имеет разложение по Гауссу в терминах дополнения Шура :

${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{p}&BD^{-1}\\0&I_{q}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A-BD^{-1}C&0\\0&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{p}&0\\D^{-1}C&I_{q}\end{bmatrix}}.}$

Первая и последняя матрицы на правой стороне имеют детерминант единицу, поэтому мы имеем

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\det(D)\det \left(A-BD^{-1}C\right).}$

Это является определяющей идентичностью Шуру с - BD ^-1 С является дополнением Шуру D в M .

Теорема Сильвестра о детерминанте [ править ]

Теорема Сильвестра о детерминанте утверждает, что для A - матрицы m × n и B - матрицы n × m (так что A и B имеют размеры, позволяющие их умножать в любом порядке, образуя квадратную матрицу):

${\displaystyle \det \left(I_{\mathit {m}}+AB\right)=\det \left(I_{\mathit {n}}+BA\right),}$

где I _m и I _n - единичные матрицы размера m × m и n × n соответственно.

Из этого общего результата следует несколько следствий.

Сумма [ править ]

Определитель суммы двух квадратных матриц одного и того же размера в общем случае не выражается через определителей А и в B . Однако для положительных полуопределенных матриц , и одинакового размера, для со следствием ^{[7] [8]}${\displaystyle A+B}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \det(A+B+C)+\det(C)\geq \det(A+C)+\det(B+C)}$${\displaystyle A,B,C\geq 0}$${\displaystyle \det(A+B)\geq \det(A)+\det(B).}$

Свойства определителя по отношению к другим понятиям [ править ]

Связь с собственными значениями и трассировкой [ править ]

Пусть A - произвольная матрица комплексных чисел размера n × n с собственными значениями . (Здесь подразумевается, что собственное значение с алгебраической кратностью μ встречается в этом списке μ раз.) Тогда определитель A является произведением всех собственных значений,${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}}$

${\displaystyle \det(A)=\prod _{i=1}^{n}\lambda _{i}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}.}$

Произведение всех ненулевых собственных значений называется псевдодетерминантом .

И наоборот, определители могут использоваться для нахождения собственных значений матрицы A : они являются решениями характеристического уравнения

${\displaystyle \det(A-\lambda I)=0~,}$

где I - единичная матрица той же размерности, что и A, а λ - (скалярное) число, которое решает уравнение (существует не более n решений, где n - размерность A ).

Эрмитова матрица является положительно определенной , если все ее собственные значения положительны. Критерий Сильвестра утверждает, что это эквивалентно определителям подматриц

${\displaystyle A_{k}:={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\dots &a_{1,k}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\dots &a_{2,k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{k,1}&a_{k,2}&\dots &a_{k,k}\end{bmatrix}}.}$

положительный для всех k от 1 до n .

Следа Tr ( ), по определению , сумма диагональных элементов матрицы А , а также равна сумме собственных значений. Таким образом, для комплексных матриц A ,

${\displaystyle \det(\exp(A))=\exp(\operatorname {tr} (A))}$

или, для вещественных матриц A ,

${\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\log(\det(\exp(A))).}$

Здесь ехр ( ) обозначает матрицу экспоненциальное из А , так как каждое собственное значение λ из A соответствует собственному значению ехр ( λ ) ехр ( ). В частности, с учетом любого логарифм от А , то есть, любая матрица Л , удовлетворяющая

${\displaystyle \exp(L)=A}$

определитель A определяется выражением

${\displaystyle \det(A)=\exp(\operatorname {tr} (L)).}$

Например, для n = 2 , n = 3 и n = 4 , соответственно,

${\displaystyle {\begin{aligned}\det(A)&={\frac {1}{2}}\left(\left(\operatorname {tr} (A)\right)^{2}-\operatorname {tr} \left(A^{2}\right)\right),\\\det(A)&={\frac {1}{6}}\left(\left(\operatorname {tr} (A)\right)^{3}-3\operatorname {tr} (A)~\operatorname {tr} \left(A^{2}\right)+2\operatorname {tr} \left(A^{3}\right)\right),\\\det(A)&={\frac {1}{24}}\left(\left(\operatorname {tr} (A)\right)^{4}-6\operatorname {tr} \left(A^{2}\right)\left(\operatorname {tr} (A)\right)^{2}+3\left(\operatorname {tr} \left(A^{2}\right)\right)^{2}+8\operatorname {tr} \left(A^{3}\right)~\operatorname {tr} (A)-6\operatorname {tr} \left(A^{4}\right)\right).\end{aligned}}}$

ср. Теорема Кэли-Гамильтона . Такие выражения выводятся из комбинаторных аргументов, тождеств Ньютона или алгоритма Фаддеева – Леверье . То есть для общего n , det A = (−1) ⁿ c _0, постоянный член со знаком характеристического многочлена , определяемый рекурсивно из

${\displaystyle c_{n}=1;~~~c_{n-m}=-{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{m}c_{n-m+k}\operatorname {tr} \left(A^{k}\right)~~(1\leq m\leq n)~.}$

В общем случае это также можно получить из ^[9]

${\displaystyle \det(A)=\sum _{\begin{array}{c}k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n}\geq 0\\k_{1}+2k_{2}+\cdots +nk_{n}=n\end{array}}\prod _{l=1}^{n}{\frac {(-1)^{k_{l}+1}}{l^{k_{l}}k_{l}!}}\operatorname {tr} \left(A^{l}\right)^{k_{l}},}$

где сумма берется по множеству всех целых чисел k _l ≥ 0, удовлетворяющих уравнению

${\displaystyle \sum _{l=1}^{n}lk_{l}=n.}$

Формулу можно выразить через полный экспоненциальный многочлен Белла от n аргументов s _l = - ( l - 1)! tr ( A ^l ) как

${\displaystyle \det(A)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}B_{n}(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n}).}$

Эта формула также может быть использована для нахождения определителя матрицы A ^I _J с многомерными индексами I = (i ₁ , i ₂ , ..., i _r ) и J = (j ₁ , j ₂ , ..., j _г ) . Произведение и след таких матриц естественным образом определяются как

${\displaystyle (AB)_{J}^{I}=\sum _{K}A_{K}^{I}B_{J}^{K},\operatorname {tr} (A)=\sum _{I}A_{I}^{I}.}$

Важное тождество произвольной размерности n может быть получено из разложения логарифма в ряд Меркатора, когда разложение сходится. Если каждое собственное значение A меньше 1 по модулю,

${\displaystyle \det(I+A)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\left(-\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{j}}{j}}\operatorname {tr} \left(A^{j}\right)\right)^{k}\,,}$

где I - единичная матрица. В более общем смысле, если

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\left(-\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{j}s^{j}}{j}}\operatorname {tr} \left(A^{j}\right)\right)^{k}\,,}$

раскладывается как формальный степенной ряд по s, тогда все коэффициенты s ^m для m > n равны нулю, а оставшийся многочлен равен det ( I + sA ) .

Верхняя и нижняя границы [ править ]

Для положительно определенной матрицы A оператор следа дает следующие точные нижние и верхние границы на лог-детерминант

${\displaystyle \operatorname {tr} \left(I-A^{-1}\right)\leq \log \det(A)\leq \operatorname {tr} (A-I)}$

равенство тогда и только тогда , когда = I . Это соотношение может быть получено с помощью формулы KL-дивергенции между двумя многомерными нормальными распределениями.

Также,

${\displaystyle {\frac {n}{\operatorname {tr} \left(A^{-1}\right)}}\leq \det(A)^{\frac {1}{n}}\leq {\frac {1}{n}}\operatorname {tr} (A)\leq {\sqrt {{\frac {1}{n}}\operatorname {tr} \left(A^{2}\right)}}.}$

Эти неравенства можно доказать, приведя матрицу A к диагональному виду. Как таковые, они представляют хорошо известный факт, что гармоническое среднее меньше среднего геометрического , которое меньше среднего арифметического , которое, в свою очередь, меньше среднего квадрата .

Правило Крамера [ править ]

Для матричного уравнения , учитывая, что A имеет ненулевой определитель, решение дается правилом Крамера :${\displaystyle Ax=b}$

${\displaystyle x_{i}={\frac {\det(A_{i})}{\det(A)}}\qquad i=1,2,3,\ldots ,n}$

где A _i - матрица, образованная заменой i- го столбца матрицы A вектором-столбцом b . Это сразу следует за расширением столбца определителя, т. Е.

${\displaystyle \det(A_{i})=\det {\begin{bmatrix}a_{1}&\ldots &b&\ldots &a_{n}\end{bmatrix}}=\sum _{j=1}^{n}x_{j}\det {\begin{bmatrix}a_{1}&\ldots &a_{i-1}&a_{j}&a_{i+1}&\ldots &a_{n}\end{bmatrix}}=x_{i}\det(A)}$

где векторы являются столбцы A . Правило также подразумевается тождеством${\displaystyle a_{j}}$

${\displaystyle A\,\operatorname {adj} (A)=\operatorname {adj} (A)\,A=\det(A)\,I_{n}.}$

Недавно было показано, что правило Крамера может быть реализовано за время O ( n ³ ) ^[10], что сопоставимо с более распространенными методами решения систем линейных уравнений, такими как LU , QR или разложение по сингулярным числам .

Матрицы блоков [ править ]

Предположим, что A , B , C и D - матрицы размерности n × n , n × m , m × n и m × m соответственно. потом

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}A&0\\C&D\end{pmatrix}}=\det(A)\det(D)=\det {\begin{pmatrix}A&B\\0&D\end{pmatrix}}.}$

Это можно увидеть из формулы Лейбница для определителей или из разложения типа (для первого случая)

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A&0\\C&D\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A&0\\C&I_{m}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{n}&0\\0&D\end{pmatrix}}.}$

Когда является обратимым , один имеет

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=\det(A)\det \left(D-CA^{-1}B\right).}$

как можно увидеть, воспользовавшись разложением

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A&0\\C&I_{m}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{n}&A^{-1}B\\0&D-CA^{-1}B\end{pmatrix}}.}$

Когда D обратимо, аналогичное тождество с факторизацией может быть получено аналогичным образом ^[11], то есть${\displaystyle \det(D)}$

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=\det(D)\det \left(A-BD^{-1}C\right).}$

Когда блоки представляют собой квадратные матрицы одного порядка, дальнейшие формулы остаются в силе. Например, если C и D коммутируют (т.е. CD = DC ), то имеет место следующая формула, сравнимая с определителем матрицы 2 × 2 : ^[12]

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=\det(AD-BC).}$

Как правило, если все пары матриц n × n блочной матрицы np × np коммутируют, то определитель блочной матрицы равен определителю матрицы, полученной путем вычисления определителя блочной матрицы, считая ее элементы как элементы матрицы р × р матрица. ^[13] Как показывает предыдущая формула, для p = 2 этот критерий достаточен, но не обязателен.

Когда A = D и B = C , блоки представляют собой квадратные матрицы того же порядка, и выполняется следующая формула (даже если A и B не коммутируют)

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}A&B\\B&A\end{pmatrix}}=\det(A-B)\det(A+B).}$

Когда D - матрица 1 × 1, B - вектор-столбец, а C - вектор-строка, тогда

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=\left(D-CA^{-1}B\right)\det(A)\,.}$

Позвольте быть скалярным комплексным числом. Если блочная матрица является квадратной, ее характеристический многочлен может быть разложен на множители${\displaystyle s}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}A-sI&B\\C&D-sI\end{pmatrix}}&=\det(A-sI)\det \left(D-{\frac {C\operatorname {adj} (A-sI)B}{\det(A-sI)}}-sI\right)\quad {\text{if}}\quad s\notin \operatorname {eig} (A)\\&=\det(A-sI)^{1-n-m}\det \left(\det(A-sI)D-C\operatorname {adj} (A-sI)B-\det(A-sI)sI\right)\end{aligned}}}$

Производная [ править ]

Можно увидеть, например, используя формулу Лейбница , что определитель вещественных (или, аналогично, для комплексных) квадратных матриц является полиномиальной функцией от R ^{n × n} до R , и поэтому он везде дифференцируем . Его производная может быть выражена с помощью формулы Якоби : ^[14]

${\displaystyle {\frac {d\det(A)}{d\alpha }}=\operatorname {tr} \left(\operatorname {adj} (A){\frac {dA}{d\alpha }}\right).}$

где прил ( ) обозначает adjugate из A . В частности, если A обратимо, мы имеем

${\displaystyle {\frac {d\det(A)}{d\alpha }}=\det(A)\operatorname {tr} \left(A^{-1}{\frac {dA}{d\alpha }}\right).}$

Выражаясь в терминах записей A , это

${\displaystyle {\frac {\partial \det(A)}{\partial A_{ij}}}=\operatorname {adj} (A)_{ji}=\det(A)\left(A^{-1}\right)_{ji}.}$

Еще одна эквивалентная формулировка:

${\displaystyle \det(A+\epsilon X)-\det(A)=\operatorname {tr} (\operatorname {adj} (A)X)\epsilon +O\left(\epsilon ^{2}\right)=\det(A)\operatorname {tr} \left(A^{-1}X\right)\epsilon +O\left(\epsilon ^{2}\right)}$,

используя большое обозначение O . Частный случай , когда единичная матрица дает${\displaystyle A=I}$

${\displaystyle \det(I+\epsilon X)=1+\operatorname {tr} (X)\epsilon +O\left(\epsilon ^{2}\right).}$

Это тождество используется при описании касательного пространства некоторых матричных групп Ли .

Если матрица A записана как где a , b , c - векторы-столбцы длины 3, то градиент по одному из трех векторов может быть записан как перекрестное произведение двух других:${\displaystyle A={\begin{bmatrix}\mathbf {a} &\mathbf {b} &\mathbf {c} \end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{\mathbf {a} }\det(A)&=\mathbf {b} \times \mathbf {c} \\\nabla _{\mathbf {b} }\det(A)&=\mathbf {c} \times \mathbf {a} \\\nabla _{\mathbf {c} }\det(A)&=\mathbf {a} \times \mathbf {b} .\end{aligned}}}$

Абстрактные алгебраические аспекты [ редактировать ]

Определитель эндоморфизма [ править ]

Приведенные выше тождества относительно определителя произведений и обратных матриц подразумевают, что аналогичные матрицы имеют один и тот же определитель: две матрицы A и B подобны, если существует обратимая матрица X такая, что A = X ⁻¹ BX . Действительно, многократное применение указанных выше тождеств дает

${\displaystyle \det(A)=\det(X)^{-1}\det(B)\det(X)=\det(B)\det(X)^{-1}\det(X)=\det(B).}$

Поэтому определитель также называют инвариантом подобия . Определитель линейного преобразования

${\displaystyle T:V\rightarrow V}$

для некоторого конечномерны векторного пространства V определяются как определитель матрицы , описывающего его по отношению к произвольному выбору основы в V . К инвариантности подобия, этот определитель не зависит от выбора базиса для V и , следовательно , зависит только от эндоморфизма Т .

Внешняя алгебра [ править ]

Определитель линейного преобразования T  : V → V из п - мерного векторного пространства V может быть сформулирован в бескоординатном образом, рассматривая п - й внешней мощности Л ^п V из V . T индуцирует линейное отображение

${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda ^{n}T:\Lambda ^{n}V&\rightarrow \Lambda ^{n}V\\v_{1}\wedge v_{2}\wedge \dots \wedge v_{n}&\mapsto Tv_{1}\wedge Tv_{2}\wedge \dots \wedge Tv_{n}.\end{aligned}}}$

Поскольку Λ ⁿ V одномерно, отображение Λ ⁿ T задается умножением на некоторый скаляр. Этот скаляр совпадает с определителем T , то есть

${\displaystyle \left(\Lambda ^{n}T\right)\left(v_{1}\wedge \dots \wedge v_{n}\right)=\det(T)\cdot v_{1}\wedge \dots \wedge v_{n}.}$

Это определение согласуется с более конкретным определением, зависящим от координат. В частности, для квадратной матрицы A , столбцы которой равны , ее определитель удовлетворяет , где - стандартный базис . Это следует из приведенной выше характеристики определителя. Например, переключение двух столбцов меняет знак определителя; аналогично, перестановка векторов во внешнем произведении v ₁ ∧ v ₂ ∧ v ₃ ∧ ... ∧ v _n на v ₂ ∧ v ₁ ∧ v ₃ ∧ ... ∧ v _n${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{n}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{1}\wedge \dots \wedge \mathbf {a} _{n}=\det(A)\cdot \mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n}}$${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}\}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, скажем, тоже меняет знак.

По этой причине наивысшую ненулевую внешнюю степень Λ ⁿ ( V ) иногда также называют определителем V и аналогичным образом для более сложных объектов, таких как векторные расслоения или цепные комплексы векторных пространств. Миноры матрицы также могут быть преобразованы в эту настройку, рассматривая младшие альтернированные формы Λ ^k V с k < n .

Квадратные матрицы над коммутативными кольцами и абстрактные свойства [ править ]

Определитель также можно охарактеризовать как единственную функцию

${\displaystyle D:M_{n}(K)\to K}$

из набора всех матриц размера n × n с элементами в поле K в это поле, удовлетворяющее следующим трем свойствам: во-первых, D является n- линейной функцией: учитывая, что все, кроме одного столбца A, фиксированы, определитель линейен в оставшихся столбец, то есть

${\displaystyle D(v_{1},\dots ,v_{i-1},av_{i}+bw,v_{i+1},\dots ,v_{n})=aD(v_{1},\dots ,v_{i-1},v_{i},v_{i+1},\dots ,v_{n})+bD(v_{1},\dots ,v_{i-1},w,v_{i+1},\dots ,v_{n})}$

для любых векторов-столбцов v ₁ , ..., v _n и w и любых скаляров (элементов K ) a и b . Во-вторых, D - это переменная функция: для любой матрицы A с двумя идентичными столбцами D ( A ) = 0 . Наконец, D ( I _n ) = 1 , где I _n - единичная матрица.

Этот факт также означает, что для любой другой n- линейной знакопеременной функции F : M _n ( K ) → K выполняется

${\displaystyle F(M)=F(I)D(M).}$

Это определение также может быть расширено , где К является коммутативным кольцом R , причем в этом случае матрица обратима тогда и только тогда , когда ее определитель является обратимым элементом в R . Например, матрица A с элементами в Z , целыми числами, является обратимой (в том смысле, что существует обратная матрица с целыми элементами), если определитель равен +1 или -1. Такая матрица называется унимодулярной .

Определитель определяет отображение

${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(R)\rightarrow R^{\times },}$

между группой обратимого п × п матриц с элементами из R и мультипликативной группы единиц в R . Поскольку оно учитывает умножение в обеих группах, это отображение является групповым гомоморфизмом . Во-вторых, для гомоморфизма колец f : R → S существует отображение GL _n (f) : GL _n ( R ) → GL _n ( S ), заданное заменой всех элементов в R их образами при f. Определитель учитывает эти отображения, т. Е. Для матрицы A = ( a _{i , j} ) с элементами в R тождество

${\displaystyle f(\det((a_{i,j})))=\det((f(a_{i,j})))}$

держит. Другими словами, следующая диаграмма коммутирует:

Например, определитель комплексно сопряженной комплексной матрицы (который также является определителем ее сопряженного транспонирования) является комплексно сопряженным ее определителем, а для целочисленных матриц: приведение по модулю  m определителя такой матрицы равно к определителю матрицы, приведенной по модулю  m (последний определитель вычисляется с использованием модульной арифметики ). На языке теории категорий определитель - это естественное преобразование между двумя функторами GL _n и (⋅) ^× (см. Также Естественное преобразование § Определитель ). ^[15]Добавляя еще один уровень абстракции, это фиксируется утверждением, что определитель является морфизмом алгебраических групп , от общей линейной группы к мультипликативной группе ,

${\displaystyle \det :\operatorname {GL} _{n}\rightarrow \mathbb {G} _{m}.}$

Обобщения и связанные с ними понятия [ править ]

Бесконечные матрицы [ править ]

Для матриц с бесконечным числом строк и столбцов приведенные выше определения определителя не переносятся напрямую. Например, в формуле Лейбница должна быть вычислена бесконечная сумма (все члены которой являются бесконечными произведениями). Функциональный анализ предоставляет различные расширения определителя для таких бесконечномерных ситуаций, которые, однако, работают только для определенных типов операторов.

Определитель Фредгольма определяет определитель для операторов , известных как операторы класса следа с помощью соответствующего обобщения формулы

${\displaystyle \det(I+A)=\exp(\operatorname {tr} (\log(I+A))).}$

Еще одно бесконечномерное понятие определителя - это функциональный определитель .

Операторы в алгебрах фон Неймана [ править ]

Для операторов в конечном множителе можно определить положительный вещественный определитель, называемый определителем Фугледе-Кадисона, используя канонический след. Фактически, каждому следу на алгебре фон Неймана соответствует понятие определителя Фугледе-Кадисона.

Связанные понятия для некоммутативных колец [ править ]

Для матриц над некоммутативными кольцами, полилинейностью и чередующимся свойством несовместимы для п ≥ 2 , ^[16] , так что нет хорошего определения детерминанта в этой установке.

Для квадратных матриц с элементами в некоммутативном кольце существуют различные трудности с определением определителей, аналогично определению для коммутативных колец. Смысл может быть придан формуле Лейбница при условии, что указан порядок продукта, и аналогично для других определений определителя, но некоммутативность тогда приводит к потере многих фундаментальных свойств определителя, таких как мультипликативное свойство или что определитель не изменяется при перестановке матрицы. Более некоммутативные колец, нет никакого разумного понятия полилинейной формы (существования ненулевой билинейной формы ^{[ уточнить ]} с регулярным элементом из R в качестве значения по некоторым парам аргументов следует , чтоR коммутативен). Тем не менее были сформулированы различные понятия некоммутативного определителя, которые сохраняют некоторые свойства определителей, в частности квазидетерминанты и определитель Дьедонне . Для некоторых классов матриц с некоммутативными элементами можно определить определитель и доказать теоремы линейной алгебры, которые очень похожи на их коммутативные аналоги. Примеры включают q- определитель на квантовых группах, определитель Капелли на матрицах Капелли и березиниан на суперматрицах . Матрицы Манина образуют класс, наиболее близкий к матрицам с коммутативными элементами.

Дальнейшие варианты [ править ]

Детерминанты матриц в надкольцах (то есть, Z ₂ - градуированные кольца ) известны как Berezinians или superdeterminants. ^[17]

Постоянная матрица определяются как детерминант, за исключением того, что факторы , SGN ( σ ) происходит в правиле Лейбница опущены. В immanant обобщается как путем введения символа из симметрической группы S _п в правиле Лейбница.

Расчет [ править ]

Детерминанты в основном используются как теоретический инструмент. Они редко вычисляются явно в числовой линейной алгебре , где для таких приложений, как проверка обратимости и поиск собственных значений, определитель в значительной степени заменен другими методами. ^{[18] Однако} вычислительная геометрия часто использует вычисления, связанные с определителями. ^[19]

Наивные методы реализации алгоритма вычисления определителя включают использование формулы Лейбница или формулы Лапласа . Однако оба этих подхода крайне неэффективны для больших матриц, поскольку количество требуемых операций растет очень быстро: оно порядка n ! ( n факториал ) для матрицы M размера n × n . Например, формула Лейбница требует вычисления n ! продукты. Поэтому для расчета детерминантов были разработаны более сложные методы.

Методы разложения [ править ]

Для данной матрицы A некоторые методы вычисляют ее определитель, записывая A как произведение матриц, определители которых вычислить легче. Такие методы называются методами декомпозиции. Примеры включают LU-разложение , QR-разложение или разложение Холецкого (для положительно определенных матриц ). Эти методы имеют порядок O ( n ³ ), что является значительным улучшением по сравнению с O ( n !)

Разложение LU выражает A через нижнюю треугольную матрицу L , верхнюю треугольную матрицу U и матрицу перестановок P :

${\displaystyle A=PLU.}$

Определители L и U можно быстро вычислить, поскольку они являются произведениями соответствующих диагональных элементов. Определитель P - это просто знак соответствующей перестановки (который равен +1 для четного числа перестановок и -1 для нечетного числа перестановок). Тогда определитель A равен${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle \det(A)=\varepsilon \det(L)\cdot \det(U).}$

(См. Детерминантные тождества .) Более того, разложение можно выбрать так, чтобы L была унитреугольной матрицей и, следовательно, имела определитель 1, и в этом случае формула дополнительно упрощается до

${\displaystyle \det(A)=\varepsilon \det(U).}$

Дальнейшие методы [ править ]

Если определитель A и обратный к A уже были вычислены, лемма о детерминанте матрицы позволяет быстро вычислить определитель A + uv ^T , где u и v - векторы-столбцы.

Поскольку определение определителя не требует деления, возникает вопрос: существуют ли быстрые алгоритмы, не нуждающиеся в делениях? Это особенно интересно для матриц над кольцами. Действительно, существуют алгоритмы с временем выполнения, пропорциональным n ⁴ . Алгоритм Махаджана, Виная и Берковица основан на закрытых упорядоченных прогулках (сокращенно - шут ). ^[20] Он вычисляет больше продуктов, чем требует определение детерминанта, но некоторые из этих продуктов аннулируются, и сумма этих продуктов может быть вычислена более эффективно. Окончательный алгоритм очень похож на повторяющееся произведение треугольных матриц.

Если две матрицы порядка n могут быть перемножены за время M ( n ), где M ( n ) ≥ n ^a для некоторого a > 2 , то определитель может быть вычислен за время O ( M ( n )). ^[21] Это означает, например, что существует алгоритм O ( n ^2.376 ), основанный на алгоритме Копперсмита – Винограда .

Чарльз Доджсон (то есть Льюис Кэрролл из «Приключений Алисы в стране чудес» ) изобрел метод вычисления детерминантов, названный конденсацией Доджсона . К сожалению, этот интересный метод не всегда работает в первозданном виде.

Алгоритмы также можно оценивать в соответствии с их битовой сложностью , т. Е. Сколько битов точности необходимо для хранения промежуточных значений, встречающихся в вычислении. Например, метод исключения Гаусса (или разложения LU) имеет порядок O ( n ³ ), но длина в битах промежуточных значений может стать экспоненциально длинной. ^[22] Bareiss алгоритм , с другой стороны, это метод с точным разделением на основе идентичности Сильвестра также порядка п ³ , но немного сложности примерно бит размер исходных записей в матрице раз п . ^[23]

История [ править ]

Исторически детерминанты использовались задолго до матриц: детерминант изначально определялся как свойство системы линейных уравнений . Определитель «определяет», есть ли у системы единственное решение (что происходит именно в том случае, если определитель не равен нулю). В этом смысле детерминанты были впервые использованы в китайском учебнике математики «Девять глав математического искусства» (九章 算術, китайские ученые, примерно в III веке до нашей эры). В Европе детерминанты 2 × 2 рассматривал Кардано в конце XVI века, а более крупные - Лейбниц . ^{[24] [25] [26] [27]}

В Японии Секи Такакадзу приписывают открытие результирующей и детерминантной (сначала в 1683 г., полная версия - не позднее 1710 г.). В Европе Крамер (1750) дополнил теорию, рассматривая предмет в связи с наборами уравнений. Закон повторяемости впервые был провозглашен Безу (1764 г.).

Именно Вандермонде (1771 г.) первым признал детерминанты независимыми функциями. ^[24] Лаплас (1772 г.) ^{[28] [29]} дал общий метод разложения определителя в терминах его дополнительных миноров : Вандермонд уже привел частный случай. Сразу после этого Лагранж (1773) рассмотрел детерминанты второго и третьего порядка и применил его к вопросам теории исключения ; он доказал много частных случаев общих тождеств.