Эллиптическая система координат

Эллиптическая система координат

В геометрии , то эллиптическая система координат представляет собой двумерную ортогональные системы координат , в которой координатные линии являются конфокальной эллипсы и гиперболы . Два фокуса и обычно считаются фиксированными на оси -оси декартовой системы координат и соответственно на ней .${\ displaystyle F_ {1}}$${\ displaystyle F_ {2}}$${\ displaystyle -a}$${\ displaystyle + a}$${\ displaystyle x}$

Основное определение [ править ]

Наиболее распространенное определение эллиптических координат :${\ Displaystyle (\ му, \ ню)}$

${\ Displaystyle х = а \ \ сш \ му \ \ соз \ ню}$

${\ Displaystyle у = а \ \ зп \ му \ \ грех \ ню}$

где - неотрицательное действительное число и${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ nu \ in [0,2 \ pi].}$

На комплексной плоскости эквивалентное отношение

${\ Displaystyle х + iy = а \ \ сш (\ му + я \ ню)}$

Эти определения соответствуют эллипсам и гиперболам. Тригонометрическое тождество

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {y^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1}$

показывает, что кривые постоянной формы имеют форму эллипса , тогда как гиперболическое тригонометрическое тождество${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {y^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1}$

показывает, что кривые постоянной формы гиперболы .${\displaystyle \nu }$

Коэффициенты масштабирования [ править ]

В ортогональной системе координат длины базисных векторов известны как масштабные коэффициенты. Масштабные коэффициенты для эллиптических координат равны${\displaystyle (\mu ,\nu )}$

${\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}=a{\sqrt {\cosh ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu }}.}$

Используя тождества с двойным аргументом для гиперболических функций и тригонометрических функций , масштабные коэффициенты могут быть эквивалентно выражены как

${\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {{\frac {1}{2}}(\cosh 2\mu -\cos 2\nu )}}.}$

Следовательно, бесконечно малый элемент площади равен

${\displaystyle dA=h_{\mu }h_{\nu }d\mu d\nu =a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu d\nu =a^{2}\left(\cosh ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu \right)d\mu d\nu ={\frac {a^{2}}{2}}\left(\cosh 2\mu -\cos 2\nu \right)d\mu d\nu }$

а лапласиан читает

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)={\frac {1}{a^{2}\left(\cosh ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)={\frac {2}{a^{2}\left(\cosh 2\mu -\cos 2\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right).}$

Другие дифференциальные операторы, такие как и, могут быть выражены в координатах путем подстановки масштабных коэффициентов в общие формулы, найденные в ортогональных координатах .${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$${\displaystyle (\mu ,\nu )}$

Альтернативное определение [ править ]

Иногда используется альтернативный и геометрически интуитивно понятный набор эллиптических координат , где и . Следовательно, кривые константы - эллипсы, а кривые константы - гиперболы. Координата должна принадлежать интервалу [-1, 1], тогда как координата должна быть больше или равна единице.${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$${\displaystyle \sigma =\cosh \mu }$${\displaystyle \tau =\cos \nu }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \sigma }$

Координаты имеют простое отношение к расстояниям до фокусов и . Для любой точки на плоскости сумма расстояний до фокусов равна , а их разность равна . Таким образом, расстояние до равно , а расстояние до равно . (Напомним, что и расположены в и , соответственно.) ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$${\displaystyle F_{1}}$${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle d_{1}+d_{2}}$${\displaystyle 2a\sigma }$ ${\displaystyle d_{1}-d_{2}}$${\displaystyle 2a\tau }$${\displaystyle F_{1}}$${\displaystyle a(\sigma +\tau )}$${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle a(\sigma -\tau )}$${\displaystyle F_{1}}$${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle x=-a}$${\displaystyle x=+a}$

Недостатком этих координат является то, что точки с декартовыми координатами (x, y) и (x, -y) имеют одинаковые координаты , поэтому преобразование в декартовы координаты - это не функция, а многофункциональная функция .${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$

${\displaystyle x=a\left.\sigma \right.\tau }$

${\displaystyle y^{2}=a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right).}$

Альтернативные масштабные коэффициенты [ править ]

Масштабные коэффициенты для альтернативных эллиптических координат равны ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$

${\displaystyle h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sigma ^{2}-1}}}}$

${\displaystyle h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}.}$

Следовательно, элемент бесконечно малой площади становится

${\displaystyle dA=a^{2}{\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}d\sigma d\tau }$

а лапласиан равен

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)}}\left[{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right].}$

Другие дифференциальные операторы, такие как и, могут быть выражены в координатах путем подстановки масштабных коэффициентов в общие формулы, найденные в ортогональных координатах .${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$

Экстраполяция в более высокие измерения [ править ]

Эллиптические координаты составляют основу нескольких наборов трехмерных ортогональных координат . В эллиптические цилиндрические координаты получают путем проецирования в -направлении. В вытянутых сфероидальных координатах производятся путем поворота эллиптических координат про ось, то есть, оси , соединяющую фокусы, в то время как сплюснутые сфероидальные координаты производятся путем поворота эллиптических координат про ось, т.е. оси разделения фокусы.${\displaystyle z}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

Приложения [ править ]

Классические приложения эллиптических координат - это решение уравнений в частных производных , например, уравнения Лапласа или уравнения Гельмгольца , для которых эллиптические координаты являются естественным описанием системы, что позволяет разделить переменные в уравнениях в частных производных . Некоторые традиционные примеры - решение таких систем, как электроны, вращающиеся вокруг молекулы, или планетные орбиты, которые имеют эллиптическую форму.

Также могут быть полезны геометрические свойства эллиптических координат. Типичный пример может включать интегрирование по всем парам векторов и эту сумму до фиксированного вектора , где подынтегральное выражение является функцией длин вектора и . (В таком случае можно было бы расположить между двумя фокусами и выровнять по оси -оси, т . Е ..) Для конкретности , и могут представлять импульсы частицы и продукты ее разложения, соответственно, а подынтегральное выражение может включать кинетическую энергии продуктов (которые пропорциональны квадрату длин импульсов).${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle \mathbf {q} }$${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {p} +\mathbf {q} }$${\displaystyle \left|\mathbf {p} \right|}$${\displaystyle \left|\mathbf {q} \right|}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbf {r} =2a\mathbf {\hat {x}} }$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle \mathbf {q} }$

См. Также [ править ]

• Криволинейные координаты
• Обобщенные координаты

Ссылки [ править ]

• "Эллиптические координаты" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Korn GA и Korn TM . (1961) Математический справочник для ученых и инженеров , McGraw-Hill.
• Вайсштейн, Эрик В. "Эллиптические цилиндрические координаты". Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/EllipticCylindricalCoordinates.html