В математике , А формула Плюккерово , названный в честь Плюккер , является одним из семейства формул, такого типа , впервые разработана плюккерова в 1830 - х, которые связаны определенные числовые инварианты алгебраических кривых на соответствующие инварианты их двойных кривых . Инвариант, называемый родом , общий как для кривой, так и для двойственной к ней, связан с другими инвариантами аналогичными формулами. Эти формулы и тот факт, что каждый из инвариантов должен быть положительным целым числом, накладывают довольно жесткие ограничения на их возможные значения.
Инварианты Плюккера и основные уравнения
Кривая в этом контексте определяется невырожденным алгебраическим уравнением в комплексной проективной плоскости . Прямые на этой плоскости соответствуют точкам на дуальной проективной плоскости, а прямые, касающиеся данной алгебраической кривой C, соответствуют точкам на алгебраической кривой C *, называемой дуальной кривой . В переписке между проективной плоскости и ее двойной, точки на C соответствуют линии касательной C * , так что двойственное С * можно отождествить с C .
Первые два инварианты , охватываемые формулы плюккеровых являются степень д кривого С и степенью д * , классический называется классом из C . Геометрически d - это количество раз, когда данная линия пересекает C с правильным подсчетом кратностей. (Сюда входят комплексные точки и точки на бесконечности, поскольку кривые взяты как подмножества комплексной проективной плоскости.) Аналогично, d * - это количество касательных к C, которые являются прямыми, проходящими через данную точку на плоскости; так, например, коническое сечение имеет степень и класс 2. Если C не имеет особенностей , первое уравнение Плюккера утверждает, что
но это необходимо исправить для особых кривых.
Из двойных точек из C , пусть δ будет число , что обычные, т.е. которые имеют различные касательные (они также называются узлами ) или изолированные точки , и пусть κ будет число , которые являются бугорками , т.е. имеющим одну касательной (spinodes ). Если C имеет особенности более высокого порядка, то они считаются множественными двойными точками в соответствии с анализом природы сингулярности. Например, обычное тройное очко засчитывается как 3 двойных очка. Опять же, в эти подсчеты включаются сложные точки и точки на бесконечности. Исправленная форма первого уравнения Плюккера имеет вид
Аналогично, пусть δ * - количество обычных двойных точек, а κ * - количество точек возврата C * . Тогда второе уравнение Плюккера утверждает
Геометрическая интерпретация обычной двойной точки C * - это прямая, касающаяся кривой в двух точках ( двойное касание ), а геометрическая интерпретация острия C * - это точка перегиба (стационарная касательная).
Рассмотрим, например, случай гладкой кубики:
Приведенная выше формула показывает, что она имеет
перегибы. Если кубика вырождается и получает двойную точку, то 6 точек сходятся к особой точке и только 3 точки перегиба остаются вдоль особой кривой. Если кубика вырождается и получает касп, то остается только одно перегибание.
Обратите внимание, что первые два уравнения Плюккера имеют двойственные версии:
Приведенные до сих пор четыре уравнения фактически являются зависимыми, поэтому для получения оставшегося можно использовать любые три. Из них, учитывая любые три из шести инвариантов, d , d * , δ, δ * , κ, κ * , можно вычислить остальные три.
Наконец, род из C , классический известный как дефицит C , может быть определен как
Это равно двойному количеству
и является положительным целым числом.
Всего существует четыре независимых уравнения с 7 неизвестными, и с ними любые три из этих инвариантов могут использоваться для вычисления остальных четырех.
Неособые кривые
Важный частный случай - это когда кривая C неособа, или, что то же самое, δ и κ равны 0, поэтому оставшиеся инварианты можно вычислить только в терминах d . В этом случае результаты следующие:
Так, например, неособая плоская кривая четвертой степени относится к роду 3 и имеет 28 касательных к битам и 24 точки перегиба.
Типы кривых
Кривые подразделяются на типы в соответствии с их инвариантами Плюккера. Уравнения Плюккера вместе с ограничением, что все инварианты Плюккера должны быть натуральными числами, сильно ограничивают количество возможных типов для кривых данной степени. Кривые, которые являются проективно эквивалентными, имеют один и тот же тип, хотя кривые одного типа, как правило, не являются проективно эквивалентными. Кривые степени 2, конические сечения, имеют один тип: d = d * = 2, δ = δ * = κ = κ * = g = 0.
Для кривых степени 3 существует три возможных типа: [1]
Тип | d | г * | δ | δ * | κ | κ * | грамм |
---|---|---|---|---|---|---|---|
(я) | 3 | 6 | 0 | 0 | 0 | 9 | 1 |
(ii) | 3 | 4 | 1 | 0 | 0 | 3 | 0 |
(iii) | 3 | 3 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
Кривые типов (ii) и (iii) являются рациональными кубиками и называются узловыми и каспидальными соответственно. Кривые типа (i) - неособые кубики ( эллиптические кривые ).
Для кривых степени 4 существует 10 возможных типов, определяемых следующим образом: [2]
Тип | d | г * | δ | δ * | κ | κ * | грамм |
---|---|---|---|---|---|---|---|
(я) | 4 | 12 | 0 | 28 год | 0 | 24 | 3 |
(ii) | 4 | 10 | 1 | 16 | 0 | 18 | 2 |
(iii) | 4 | 9 | 0 | 10 | 1 | 16 | 2 |
(iv) | 4 | 8 | 2 | 8 | 0 | 12 | 1 |
(v) | 4 | 7 | 1 | 4 | 1 | 10 | 1 |
(vi) | 4 | 6 | 0 | 1 | 2 | 8 | 1 |
(vii) | 4 | 6 | 3 | 4 | 0 | 6 | 0 |
(viii) | 4 | 5 | 2 | 2 | 1 | 4 | 0 |
(ix) | 4 | 4 | 1 | 1 | 2 | 2 | 0 |
(Икс) | 4 | 3 | 0 | 1 | 3 | 0 | 0 |
Рекомендации
- ^ Хилтон, Гарольд (1920). Плоские алгебраические кривые . Оксфорд. п. 201 .
- ^ Хилтон стр. 264
- Шокуров, В.В. (2001) [1994], "Формулы Плюккера" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Лосось, Джордж (1879) Трактат о кривых высших плоскостей, стр. 64ff.