Двойная кривая

Кривые, двойственные друг другу; см. свойства ниже .

В проективной геометрии , A двойной кривой данной плоской кривой C представляет собой кривую в двойном проективной плоскости , состоящей из множества линий касательной к C . Существует карта от кривой до ее двойника, отправляющая каждую точку в точку, двойственную к ее касательной. Если С является алгебраическим то и его сопряженным и степень двойственным известна как класс исходных кривым. Уравнение двойственного С , приведено в координатах линии , известно как тангенциальное уравнение из C .

Построение дуальной кривой является геометрической основой преобразования Лежандра в контексте гамильтоновой механики . ^[1]

Уравнения [ править ]

Пусть f ( x , y , z ) = 0 - уравнение кривой в однородных координатах . Пусть Xx + Yy + Zz = 0 - уравнение линии, где ( X , Y , Z ) обозначаются координатами линии . Условие касательности прямой к кривой может быть выражено в виде F ( X , Y , Z ) = 0, который является касательным уравнением кривой.

Пусть ( p , q , r ) - точка на кривой, тогда уравнение касательной в этой точке задается формулой

${\displaystyle x{\frac {\partial f}{\partial x}}(p,q,r)+y{\frac {\partial f}{\partial y}}(p,q,r)+z{\frac {\partial f}{\partial z}}(p,q,r)=0.}$

Таким образом, Xx + Yy + Zz = 0 касается кривой, если

${\displaystyle {\begin{aligned}X&=\lambda {\frac {\partial f}{\partial x}}(p,q,r),\\Y&=\lambda {\frac {\partial f}{\partial y}}(p,q,r),\\Z&=\lambda {\frac {\partial f}{\partial z}}(p,q,r).\end{aligned}}}$

Исключение p , q , r и λ из этих уравнений вместе с Xp + Yq + Zr = 0 дает уравнение в X , Y и Z двойственной кривой.

Например, пусть C - коника ax ² + by ² + cz ² = 0 . Тогда двойственное находим путем исключения p , q , r и λ из уравнений

${\displaystyle {\begin{aligned}X&=2\lambda ap,\\Y&=2\lambda bq,\\Z&=2\lambda cr,\end{aligned}}\qquad Xp+Yq+Zr=0.}$

Первые три уравнения легко решаются относительно p , q , r , и подстановка в последнее уравнение дает

${\displaystyle {\frac {X^{2}}{2\lambda a}}+{\frac {Y^{2}}{2\lambda b}}+{\frac {Z^{2}}{2\lambda c}}=0.}$

Вычеркивая 2 λ из знаменателей, уравнение двойственности имеет вид

${\displaystyle {\frac {X^{2}}{a}}+{\frac {Y^{2}}{b}}+{\frac {Z^{2}}{c}}=0.}$

Для параметрически определенной кривой ее двойственная кривая определяется следующими параметрическими уравнениями :

${\displaystyle {\begin{aligned}X&={\frac {y'}{yx'-xy'}}\\Y&={\frac {x'}{xy'-yx'}}\end{aligned}}}$

Двойная точка перегиба даст острие, а две точки, имеющие одну и ту же касательную линию, дадут точку самопересечения на дуальной.

Степень [ править ]

Если X - плоская алгебраическая кривая, то степень двойственной - это количество точек, пересекающихся с линией в двойственной плоскости. Поскольку линия в двойственной плоскости соответствует точке на плоскости, степень двойственной - это количество касательных к X, которые могут быть проведены через данную точку. Точки, в которых эти касательные касаются кривой, являются точками пересечения кривой и полярной кривой относительно данной точки. Если степень кривой равна d, то степень полярности равна d - 1, и поэтому количество касательных, которые могут быть проведены через данную точку, не превышает d ( d - 1) .

Двойственная линия (кривая степени 1) является исключением из этого правила и считается точкой в ​​двойственном пространстве (а именно исходной прямой). Двойник одной точки считается набором прямых, проходящих через точку; это образует линию в двойном пространстве, которая соответствует исходной точке.

Если X гладко, т.е. нет особых точек, то двойственное к X имеет максимальную степень d ( d - 1) . Если X - коника, это означает, что его двойник также является коникой. Это также можно увидеть геометрически: отображение коники в двойственную ей взаимно однозначно (поскольку никакая прямая не касается двух точек коники, так как это требует степени 4), а касательная линия изменяется плавно (как кривая является выпуклым, поэтому наклон касательной изменяется монотонно: изломы дуальной кривой требуют точки перегиба исходной кривой, что требует степени 3).

Для кривых с особыми точками эти точки также будут лежать на пересечении кривой и ее полюса, и это уменьшает количество возможных касательных. Степень двойственного, заданная в терминах d, а также числа и типов особых точек X, является одной из формул Плюккера .

Полярная обратная [ править ]

Дуал может быть визуализирован как геометрическое место на плоскости в форме полярного реципрока . Это определено со ссылкой на неподвижной конической Q , как геометрическое место полюсов касательных кривой C . ^[2] Коническая Q почти всегда принимаются за круг и в этом случае полярные обратный является обратным от педали из C .

Свойства дуальной кривой [ править ]

Свойства исходной кривой соответствуют двойственным свойствам на двойственной кривой. На изображении справа красная кривая имеет три особенности - узел в центре и два выступа внизу справа и внизу слева. Черная кривая не имеет сингулярностей, но имеет четыре выделенных точки: две самые верхние точки имеют одну и ту же касательную (горизонтальную линию), а на верхней кривой есть две точки перегиба. Две самые верхние точки соответствуют узлу (двойной точке), так как они обе имеют одну и ту же касательную линию, следовательно, соответствуют одной и той же точке на двойной кривой, а точки перегиба соответствуют куспидам, сначала соответствующим касательным линиям. едем в одну сторону, потом в другую (наклон увеличивается, затем уменьшается).

Напротив, на гладкой выпуклой кривой угол касательной изменяется монотонно, и получающаяся двойная кривая также является гладкой и выпуклой.

Кроме того, обе кривые обладают отражательной симметрией, соответствующей тому факту, что симметрии проективного пространства соответствуют симметриям двойственного пространства, и что двойственность кривых этим сохраняется, поэтому двойственные кривые имеют одну и ту же группу симметрии. В этом случае обе симметрии реализуются как отражение слева направо; это артефакт того, как были идентифицированы пространство и двойственное пространство - в общем, это симметрии разных пространств.

Обобщения [ править ]

Высшие измерения [ править ]

Точно так же, обобщая на более высокие измерения, учитывая гиперповерхность , касательное пространство в каждой точке дает семейство гиперплоскостей и, таким образом, определяет двойственную гиперповерхность в двойственном пространстве. Для любого замкнутого подмногообразия X в проективном пространстве, множество всех гиперплоскостей , касательные к некоторой точке X является замкнутым подмногообразием двойственного проективного пространства, называемое двойственным многообразием в X .

Примеры

• Если X - гиперповерхность, заданная однородным многочленом F ( x ₀ , ..., x _n ) , то двойственное многообразие X является образом X посредством отображения градиента

${\displaystyle x=(x_{0},\ldots ,x_{n})\mapsto \left({\frac {\partial F}{\partial x_{0}}}(x),\ldots ,{\frac {\partial F}{\partial x_{n}}}(x)\right)}$

который попадает в двойственное проективное пространство.

• Двойственное многообразие точки ( a ₀ : ..., a _n ) - это гиперплоскость

${\displaystyle a_{0}x_{0}+\ldots +a_{n}x_{n}=0.}$

Двойной многоугольник [ править ]

Конструкция двойственной кривой работает, даже если кривая кусочно линейна (или кусочно дифференцируема , но полученное отображение вырождено (если есть линейные компоненты) или плохо определено (если есть особые точки).

В случае многоугольника все точки на каждом ребре имеют одну и ту же касательную линию и, таким образом, отображаются в одну и ту же вершину двойственного объекта, в то время как касательная линия вершины не определена и может быть интерпретирована как все прямые, проходящие через через него с углом между двумя краями. Это согласуется как с проективной двойственностью (линии соответствуют точкам, а точки - с линиями), так и с пределом гладких кривых без линейного компонента: когда кривая уплощается к краю, ее касательные линии отображаются в все более близкие точки; когда кривая сужается к вершине, ее касательные расходятся дальше друг от друга.

См. Также [ править ]

• Двойной многоугольник
• Преобразование Хафа
• Карта Гаусса

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Арнольд, Владимир Игоревич (1988), Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений , Springer, ISBN 3-540-96649-8
• Хилтон, Гарольд (1920), "Глава IV: тангенциальное уравнение и полярное взаимодействие", Плоские алгебраические кривые , Оксфорд
• Фултон, Уильям (1998), теория пересечения , Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-62046-4
• Уокер, Р.Дж. (1950), Алгебраические кривые , Принстон
• Brieskorn, E .; Кноррер, Х. (1986), Плоские алгебраические кривые , Биркхойзер, ISBN 978-3-7643-1769-0