Полярная кривая

Эллиптической кривой Е  : 4 У ² Z =  X ³  -  XZ ² в синий цвет, и его полярная кривая ( Е ): 4 Y ²  = 2,7 Х ²  - 2 XZ  - 0.9Z ² для точки Q  = (0,9, 0) в красном. Черные линии показывают , касательные к Е в точках пересечения Е и его первого полярного по отношению к Q встрече в Q .

В алгебраической геометрии , то первый полярный , или просто полярная из алгебраической плоской кривой С степени п по отношению к точке Q является алгебраической кривой степени п -1 , который содержит каждую точку С , тангенс линия проходит через Q . Он используется для исследования взаимосвязи между кривой и двойственной ей , например, при выводе формул Плюккера .

Определение [ править ]

Пусть C определен в однородных координатах как f ( x, y, z ) = 0, где f - однородный многочлен степени n , и пусть однородные координаты Q равны ( a ,  b ,  c ). Определите оператора

${\ displaystyle \ Delta _ {Q} = a {\ partial \ over \ partial x} + b {\ partial \ over \ partial y} + c {\ partial \ over \ partial z}.}$

Тогда Δ _Q F представляет собой однородный многочлен степени п -1 и Δ _Q ф ( х, у, г ) = 0 определяет кривую степени п -1 называется первая полярная из C с относительно Q .

Если P = ( p ,  q ,  r ) - неособая точка на кривой C, то уравнение касательной в P имеет вид

${\displaystyle x{\partial f \over \partial x}(p,q,r)+y{\partial f \over \partial y}(p,q,r)+z{\partial f \over \partial z}(p,q,r)=0.}$

В частности, Р находится на пересечении C и его первого полярного по отношению к Q тогда и только тогда , когда Q находится на касательной к С в Р . Для двойной точки C все частные производные f равны 0, поэтому первая полярная точка также содержит эти точки.

Класс кривой [ править ]

Класс из C может быть определен как число касательных , которые могут быть сделаны , чтобы C от точки не на C ( с учетом кратности и в том числе мнимых касательных). Каждая из этих касательных касается C в одной из точек пересечения C и первой поляры, и по теореме Безу их не более n ( n - 1). Это ставит верхнюю границу n ( n −1) на класс кривой степени n . Класс можно точно вычислить, посчитав количество и тип особых точек на C (см.Формула Плюккера ).

Высшие поляры [ править ]

Р-й Поляра С для натурального числа р определяется как Δ _Q ^р е ( х, у, г ) = 0. Это является кривая степени п - р . При р является п -1 р -й полярным является линия называется полярная линией из C относительно Q . Аналогичным образом , когда р является п -2 кривой называются полярным коническим из C .

Используя ряд Тейлора от нескольких переменных и однородность, f (λ a + μ p , λ b + μ q , λ c + μ r ) можно разложить двумя способами:

${\displaystyle \mu ^{n}f(p,q,r)+\lambda \mu ^{n-1}\Delta _{Q}f(p,q,r)+{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}\mu ^{n-2}\Delta _{Q}^{2}f(p,q,r)+\dots }$

и

${\displaystyle \lambda ^{n}f(a,b,c)+\mu \lambda ^{n-1}\Delta _{P}f(a,b,c)+{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\lambda ^{n-2}\Delta _{P}^{2}f(a,b,c)+\dots .}$

Сравнение коэффициентов при λ ^p μ ^{n - p} показывает, что

${\displaystyle {\frac {1}{p!}}\Delta _{Q}^{p}f(p,q,r)={\frac {1}{(n-p)!}}\Delta _{P}^{n-p}f(a,b,c).}$

В частности, р -м полярой С по отношению к Q представляет собой геометрическое место точек Р , так что ( п - р ) -й полярой С относительно Р проходит через Q . ^[1]

Поляки [ править ]

Если полярная линия С по отношению к точке Q представляет собой линию L , то Q называется быть полюсом из L . Данная линия имеет ( п -1) ² полюсов ( с учетом кратности и т.д.) , где п есть степень C . Чтобы это увидеть, выбрать две точки P и Q на L . Геометрическое место точек, полярные линии которых проходят через P, является первой полярной точкой P, и это кривая степени n - 1 . Аналогично геометрическое место точек, полярные линии которых проходят черезQ - первая полярная точка Q, и это также кривая степени n - 1 . Полярная линия точки называется L тогда и только тогда, когда она содержит как P , так и Q , поэтому полюса L являются точками пересечения двух первых полярных точек. По теореме Безу эти кривые имеют ( п -1) ² точек пересечения , и они являются полюсами L . ^[2]

Гессен [ править ]

Для заданной точки Q = ( ,  Ь ,  гр ), полярные конический представляет собой геометрическое место точек Р так , что Q находится на второе поляры P . Другими словами, уравнение полярной коники имеет вид

${\displaystyle \Delta _{(x,y,z)}^{2}f(a,b,c)=x^{2}{\partial ^{2}f \over \partial x^{2}}(a,b,c)+2xy{\partial ^{2}f \over \partial x\partial y}(a,b,c)+\dots =0.}$

Коника вырождена тогда и только тогда, когда определитель гессиана функции f ,

${\displaystyle H(f)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial z}}\\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial z}}\\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z\,\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z\,\partial y}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}\end{bmatrix}},}$

исчезает. Следовательно, уравнение | Н ( е ) | = 0 определяет кривые, геометрическое место точек, полярные коники являются вырожденными, степени 3 ( п - 2 ) называется Гессиан кривыми из C .

См. Также [ править ]

• Полярная гиперповерхность
• Полярный и полярный

Ссылки [ править ]

• Бассет, Альфред Барнард (1901). Элементарный трактат о кубических и четвертых кривых . Дейтон Белл и Ко, стр. 16 и далее.
• Лосось, Джордж (1879). Кривые на высших плоскостях . Ходжес, Фостер и Фиггис. стр. 49 и далее.
• Раздел 1.2 Фултона, Введение в теорию пересечений в алгебраической геометрии , CBMS, AMS, 1984.
• Иванов, А.Б. (2001) [1994], "Полярный" , Математическая энциклопедия , EMS Press
• Иванов, А.Б. (2001) [1994], "Гессен (алгебраическая кривая)" , Энциклопедия математики , EMS Press