Лемниската

Лемниската Бернулли и два ее очага

В алгебраической геометрии , A лемниската представляет собой любую из нескольких восьмерки или $\infty$ образных кривых . ^[1]^[2] Слово происходит от латинского «lēmniscātus», что означает «украшенный лентами», от греческого λημνίσκος, что означает «ленты», ^[2] или что, в качестве альтернативы, может относиться к шерсти, из которой были сделаны ленты . ^[1]

Кривые, которые были названы лемнискатой, включают три плоские кривые четвертой степени : гиппопеду или лемнискату Бута , лемнискату Бернулли и лемнискату Героно . Изучение лемнискат (и, в частности, гиппопеды) восходит к древнегреческой математике , но термин «лемниската» для кривых этого типа пришел из работы Якоба Бернулли в конце 17 века.

История и примеры [ править ]

Лемниската Бута [ править ]

Лемниската Бут

Рассмотрение кривых в форме восьмерки восходит к Проклу , греческому философу- неоплатонику и математику, жившему в V веке нашей эры. Прокл рассмотрел поперечные сечения из более тора плоскостью , параллельной оси тора. Как он заметил, для большинства таких сечений поперечное сечение состоит либо из одного, либо из двух овалов; однако, когда плоскость касается внутренней поверхности тора, поперечное сечение принимает форму восьмерки, которую Прокл назвал оковами для лошади (приспособлением для удержания двух ног лошади вместе) или «гиппопедом». на греческом. Название «лемниската Бута» для этой кривой восходит к ее исследованию математиком 19 века.Джеймс Бут . ^[1]

Лемнискату можно определить как алгебраическую кривую , нулевое множество полинома четвертой степени, когда параметр d отрицательный (или ноль для особого случая, когда лемниската становится парой касательных с внешней стороны окружностей). Для положительных значений d вместо этого получается овал Бута . ${\ displaystyle (х ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} -cx ^ {2} -dy ^ {2}}$

Лемниската Бернулли [ править ]

Лемниската Бернулли

В 1680 году Кассини изучил семейство кривых, теперь называемое овалом Кассини , определенное следующим образом: геометрическое место всех точек, произведение расстояний от которых до двух фиксированных точек, фокусов кривых , является константой. В очень определенных обстоятельствах (когда половинное расстояние между точками равно квадратному корню из константы) это приводит к появлению лемнискаты.

В 1694 году Иоганн Бернулли изучил случай лемнискаты овала Кассини, ныне известный как лемниската Бернулли (показанный выше), в связи с проблемой « изохрон », которая была поставлена ранее Лейбницем . Как и гиппопед, это алгебраическая кривая, нулевое множество многочлена . Брат Бернулли, Якоб Бернулли, также изучил ту же кривую в том же году и дал ей название - лемниската. ^[3] Его также можно определить геометрически как геометрическое место точек, произведение расстояний от двух фокусов которых равно квадрату половины межфокального расстояния. ^[4] Это особый случай гиппопеды (лемнискаты Бута) с $(x^{2}+y^{2})^{2}-2a^{2}(x^{2}-y^{2})$ $d=-c$ , и может быть сформирован как поперечное сечение тора, внутреннее отверстие и круглые поперечные сечения которого имеют одинаковый диаметр. ^[1] В lemniscatic эллиптических функций являются аналогами тригонометрических функций для лемнискаты Бернулли, а постоянные лемнискаты возникают при оценке длины дуги этой лемнискаты.

Лемниската Джероно [ править ]

Лемниската Героно: множество решений

x 4 - x 2 + y 2 = 0

^[5]

Другая лемниската, лемниската Героно или лемниската Гюйгенса, является нулевым множеством полинома четвертой степени . ^[6]^[7] Кривая Вивиани , трехмерная кривая, образованная пересечением сферы с цилиндром, также имеет форму восьмерки и имеет лемнискату Джероно в качестве плоской проекции. ^[8] $y^{2}-x^{2}(a^{2}-x^{2})$

Другое [ править ]

К другим алгебраическим кривым в форме восьмерки относятся:

В кривом дьяволе , кривой определяется уравнением квартика , в котором одна компоненты связности имеет восьмерку формы, ^[9] $y^{2}(y^{2}-a^{2})=x^{2}(x^{2}-b^{2})$
Кривая Ватта, кривая в форме восьмерки, образованная механической связью. Кривая Ватта является нулевым множеством полиномиального уравнения шестой степени и имеет лемнискату Бернулли как частный случай. $(x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-d^{2})^{2}+4a^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2}-b^{2})=0$

См. Также [ править ]

Аналемма , кривая в форме восьмерки, прослеживаемая по положению солнца на небе в полдень в течение года.
Символ бесконечности
Лемнискаты как обобщенные коники
Аттрактор Лоренца , трехмерная динамическая система, имеющая форму лемнискаты
Полиномиальная лемниската , набор уровня абсолютного значения комплексного многочлена

Ссылки [ править ]

^ a b c d Шаппахер, Норберт (1997), «Некоторые вехи лемнискатомии», Алгебраическая геометрия (Анкара, 1995) , Конспекты лекций по чистой и прикладной математике, 193 , Нью-Йорк: Деккер, стр. 257–290, MR 1483331.
^ a b Эриксон, Мартин Дж. (2011), «1.1 Лемниската», Beautiful Mathematics , MAA Spectrum, Математическая ассоциация Америки , стр. 1–3, ISBN 9780883855768.
^ Bos, HJM (1974), "лемниската Бернулли", для Дирка Струика , Бостон Stud. Филос. Sci., XV, Dordrecht: Reidel, стр. 3–14, ISBN 9789027703934, Руководство по ремонту 0774250.
^ Лангер, Джоэл С .; Сингер, Дэвид А. (2010), «Размышления о лемнискате Бернулли: сорок восемь граней математического камня», Миланский журнал математики , 78 (2): 643–682, doi : 10.1007 / s00032-010- 0124-5 , Руководство 2781856 , S2CID 1448521 .
^ Кёллер, Юрген. «Ахт-Курве» . www.mathemische-basteleien.de . Проверено 26 ноября 2017 .
^ Бассет, Альфред Барнард (1901), «Лемниската Героно», элементарный трактат о кубических и четвертых кривых , Дейтон, Белл, стр. 171–172.
^ Чандрасекхар, S (2003), Принципы Ньютона для обычного читателя , Oxford University Press, стр. 133, ISBN 9780198526759.
^ Коста, Луиза Росси; Маркетти, Елена (2005), «Математические и исторические исследования куполов и сводов», Вебер, Ральф; Аманн, Маттиас Альбрехт (ред.), Эстетика и архитектурная композиция: материалы Международного симпозиума по архитектуре в Дрездене 2004 , Маммендорф: Pro Literatur, стр. 73–80.
^ Дарлинг, Дэвид (2004), «кривая дьявола», Универсальная книга математики: от Абракадабры до парадоксов Зенона , John Wiley & Sons, стр. 91–92, ISBN 9780471667001.

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме лемнискаты .

«Лемнискаты» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[lemniscatomy-1] Шаппахер, Норберт (1997), «Некоторые вехи лемнискатомии», Алгебраическая геометрия (Анкара, 1995) , Конспекты лекций по чистой и прикладной математике, 193 , Нью-Йорк: Деккер, стр. 257–290, MR 1483331.

[erickson-2] Эриксон, Мартин Дж. (2011), «1.1 Лемниската», Beautiful Mathematics , MAA Spectrum, Математическая ассоциация Америки , стр. 1–3, ISBN 9780883855768.

[bos-3] Bos, HJM (1974), "лемниската Бернулли", для Дирка Струика , Бостон Stud. Филос. Sci., XV, Dordrecht: Reidel, стр. 3–14, ISBN 9789027703934, Руководство по ремонту 0774250.

[4] Лангер, Джоэл С .; Сингер, Дэвид А. (2010), «Размышления о лемнискате Бернулли: сорок восемь граней математического камня», Миланский журнал математики , 78 (2): 643–682, doi : 10.1007 / s00032-010- 0124-5 , Руководство 2781856 , S2CID 1448521 .

[5] Кёллер, Юрген. «Ахт-Курве» . www.mathemische-basteleien.de . Проверено 26 ноября 2017 .

[6] Бассет, Альфред Барнард (1901), «Лемниската Героно», элементарный трактат о кубических и четвертых кривых , Дейтон, Белл, стр. 171–172.

[7] Чандрасекхар, S (2003), Принципы Ньютона для обычного читателя , Oxford University Press, стр. 133, ISBN 9780198526759.

[8] Коста, Луиза Росси; Маркетти, Елена (2005), «Математические и исторические исследования куполов и сводов», Вебер, Ральф; Аманн, Маттиас Альбрехт (ред.), Эстетика и архитектурная композиция: материалы Международного симпозиума по архитектуре в Дрездене 2004 , Маммендорф: Pro Literatur, стр. 73–80.

[9] Дарлинг, Дэвид (2004), «кривая дьявола», Универсальная книга математики: от Абракадабры до парадоксов Зенона , John Wiley & Sons, стр. 91–92, ISBN 9780471667001.

[1]