В геометрии , A нефроид (от греческого ὁ νεφρός ха почки ) является специфическим плоским кривым которого «имя означает почку -образных» (сравните нефрологии ). Хотя термин нефроид использовался для описания других кривых, он был применен к кривой в этой статье Проктором в 1878 г. [1]
образование нефроида по катящемуся кругу
Нефроида является алгебраической кривой по степени 6. Он может быть сформирован путем прокатки круг с радиусом на внешней стороне фиксированного круга с радиусом . Следовательно, нефроид - это эпициклоида .
Уравнения
Нефроид: определение
Если маленький круг имеет радиус , неподвижный круг имеет середину и радиус , угол качения малого круга равен и указать начальная точка (см. диаграмму), то получается
Доказательство параметрического представления легко выполняется с использованием комплексных чисел и их представления в виде комплексной плоскости . Движение малого круга можно разделить на два вращения. В комплексной плоскости вращение точки вокруг точки (начало) под углом может быть выполнено умножением точки (комплексное число) на . Следовательно
вращение вокруг точки по углу является ,
вращение вокруг точки по углу является .
Точка нефроида создается вращением точки от и последующее вращение с :
В доказательствах этих утверждений используются подходящие формулы для кривых ( длина дуги , площадь и радиус кривизны ) и параметрическое представление, приведенное выше.
и их производные
доказательство длины дуги
.
доказательство для области
.
Доказательство радиуса кривизны
Нефроид как конверт из карандаша кругов
Нефроид как конверт из карандаша кругов
Пусть будет круг и точки диаметра , то огибающая пучка окружностей, середины которых лежат на и касаются является нефроидом с остриями.
доказательство
Позволять быть кругом с серединой и радиус . Диаметр может лежать на оси x (см. Диаграмму). Пучок окружностей имеет уравнения:
Состояние конверта
Легко проверить, что точка нефроида является решением системы и, следовательно, точка оболочки пучка окружностей.
Нефроид как конверт из карандаша линий
нефроид: касательные как хорды круга, принцип
нефроид: касательные как хорды круга
Подобно генерации кардиоиды в виде огибающей пучка линий, выполняется следующая процедура:
Нарисуйте круг, разделите его периметр на равные части с помощью точки (см. диаграмму) и пронумеруйте их последовательно.
Нарисуйте аккорды: . (то есть: вторая точка перемещается с трехкратной скоростью.)
Огибающая этих аккордов является нефроида.
доказательство
В следующем рассмотрении используются тригонометрические формулы для. Для простоты вычислений доказательство дано для нефроида с выступами на оси ординат.
уравнение касательной
для нефроида с параметрическим представлением
:
Отсюда определяется вектор нормали , сначала. Уравнение касательной является:
Для получается бугорок нефроида, где нет касательной. Для можно разделить на чтобы получить
уравнение хорды
к кругу с серединой и радиус : Уравнение хорды, содержащей две точки является:
Для хорда вырождается в точку. Для можно разделить на и получаем уравнение хорды:
Два угла определяются по-разному ( составляет половину угла качения, - параметр окружности, хорды которой определены), для получается такая же линия. Следовательно, любая хорда из круга выше касается нефроида и
нефроид - это оболочка хорд круга.
Нефроид как каустик одной половины круга
нефроид как каустик круга: принцип
нефроид как каустик одной половины круга
Соображения, сделанные в предыдущем разделе, служат доказательством того факта, что каустика одной половины круга является нефроидом.
Если в плоскопараллельной плоскости световые лучи встречаются с отражающей половиной круга (см. Диаграмму), то отраженные лучи касаются нефроида.
доказательство
Круг может иметь начало в качестве средней точки (как в предыдущем разделе), а его радиус равен . Круг имеет параметрическое представление
Касательная в точке окружности имеет нормальный вектор . Отраженный луч имеет вектор нормали (см. Диаграмму) и содержащий точку круга . Следовательно, отраженный луч является частью линии с уравнением
который касается нефроида из предыдущего раздела в точке
нефроид и его эволюционно- пурпурный: точка с соприкасающимся кругом и центром кривизны
Эволют
Эволютное кривой представляет собой геометрическое место центров кривизны. Подробно: Для кривой с радиусом кривизны эволюция имеет представление
с участием подходящим образом ориентированная единица нормальная.
Для нефроида получается:
Эволютная из нефроида является еще одним нефроида вдвое большим и поворачивается на 90 градусов (см схему).
доказательство
Нефроид, как показано на рисунке, имеет параметрическое представление
единичный вектор нормали, указывающий на центр кривизны
(см. раздел выше)
и радиус кривизны (см. раздел о метрических свойствах). Следовательно, эволюция имеет представление:
который представляет собой нефроид в два раза меньше и повернут на 90 градусов (см. диаграмму и раздел # Уравнения выше)
Инволют
Поскольку эволюция нефроида является другим нефроидом, эвольвента нефроида также является другим нефроидом. Исходный нефроид на изображении - это развертка меньшего нефроида.
инверсия (зеленый) нефроида (красный) по синему кругу