Трохоидный

Циклоиды (общий трохоида) , порожденные катящимся кругом

В геометрии , A трохоида (от греческого слова для колеса, «trochos») представляет собой рулетку , образованный круговой прокатки вдоль линии . Другими словами, это кривая, очерченная точкой, прикрепленной к окружности (где точка может быть внутри, внутри или вне круга), когда она катится по прямой линии. ^[1] Если точка находится на окружности, трохоида называется обыкновенной (также известной как циклоида ); если острие находится внутри круга, трохоида курчавая ; а если точка находится за пределами круга, трохоида вытянутая. Слово «трохоид» придумал Жиль де Роберваль . ^{[ необходима цитата ]}

Основное описание [ править ]

Вытянутый трохоид с b / a = 5/4

Кратковременный трохоид с b / a = 4/5

Поскольку круг радиуса a катится без скольжения по линии L, центр C движется параллельно L, а каждая другая точка P во вращающейся плоскости, жестко прикрепленная к кругу, следует по кривой, называемой трохоидой. Пусть CP = b . Параметрические уравнения трохоиды, для которой L - ось абсцисс:

${\ Displaystyle х = а \ тета -b \ грех \ тета \,}$

${\ Displaystyle у = ab \ соз \ тета \,}$

где θ - переменный угол, на который катится круг.

Кратковременный, общий, вытянутый [ править ]

Если P лежит внутри круга ( b < a ), на его окружности ( b = a ) или снаружи ( b > a ), трохоида описывается как сокращенная («сокращенная»), обычная или вытянутая («расширенная» ), соответственно. ^[2] Отрезанный трохоид можно проследить с помощью педали, когда велосипед с нормальной передачей вращается по прямой. ^[3] вытянутого трохоида прослеживается кончиком манипулятора , когда лодка приводится в движение с постоянной скоростью с помощью гребных колес; эта кривая содержит петли. Обычный трохоид, также называемый циклоидой , имеет бугорки в точках, где Pкасается L .

Общее описание [ править ]

Более общий подход позволил бы определить трохоиду как локус точки на орбите со скоростью постоянной вокруг оси , расположенной на ,${\ Displaystyle (х, у)}$ ${\ Displaystyle (х ', у')}$

${\displaystyle x=x'+r_{1}\cos(\omega _{1}t+\phi _{1}),\ y=y'+r_{1}\sin(\omega _{1}t+\phi _{1}),\ r_{1}>0,}$

какая ось перемещается в плоскости xy с постоянной скоростью либо по прямой,

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}x'=x_{0}+v_{2x}t,\ y'=y_{0}+v_{2y}t\\\therefore x=x_{0}+r_{1}\cos(\omega _{1}t+\phi _{1})+v_{2x}t,\ y=y_{0}+r_{1}\sin(\omega _{1}t+\phi _{1})+v_{2y}t,\\\end{array}}}$

или круговой путь (другая орбита) вокруг ( случай гипотрохоида / эпитрохоида ),${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}x'=x_{0}+r_{2}\cos(\omega _{2}t+\phi _{2}),\ y'=y_{0}+r_{2}\sin(\omega _{2}t+\phi _{2}),\ r_{2}\geq 0\\\therefore x=x_{0}+r_{1}\cos(\omega _{1}t+\phi _{1})+r_{2}\cos(\omega _{2}t+\phi _{2}),\ y=y_{0}+r_{1}\sin(\omega _{1}t+\phi _{1})+r_{2}\sin(\omega _{2}t+\phi _{2}),\\\end{array}}}$

Соотношение скоростей движения и то, перемещается ли движущаяся ось по прямой или по круговой траектории, определяет форму трохоиды. В случае прямого пути один полный оборот совпадает с одним периодом периодического (повторяющегося) геометрического места. В случае круговой траектории для движущейся оси, локус является периодическим только тогда , когда отношение этих угловых движений, является рациональным числом, скажем , где & являются взаимно простыми , и в этом случае, один период состоит из орбит вокруг движущегося ось и орбиты движущейся оси вокруг точки . Частные случаи эпициклоиды и гипоциклоиды${\displaystyle \omega _{1}/\omega _{2}}$${\displaystyle p/q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$, генерируемые путем отслеживания геометрического места точки на периметре окружности радиуса, когда она катится по периметру неподвижной окружности радиуса , имеют следующие свойства:${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}{\text{epicycloid: }}&\omega _{1}/\omega _{2}&=p/q=r_{2}/r_{1}=R/r_{1}+1,\ |p-q|{\text{ cusps}}\\{\text{hypocycloid: }}&\omega _{1}/\omega _{2}&=p/q=-r_{2}/r_{1}=-(R/r_{1}-1),\ |p-q|=|p|+|q|{\text{ cusps}}\end{array}}}$

где - радиус орбиты движущейся оси. Приведенное выше количество бугров также верно для любого эпитрохоида и гипотрохоида, при этом «бугорки» заменены либо «радиальными максимумами», либо «радиальными минимумами».${\displaystyle r_{2}}$

См. Также [ править ]

• Брахистохрона
• Циклогон
• Циклоида
• Эпитрохоид
• Гипотрохоид
• Список периодических функций
• Рулетка (кривая)
• Спирограф
• Трохоидальная волна

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Онлайн-эксперименты с трохоидом с использованием JSXGraph