Симплектическое многообразие
В дифференциальной геометрии , предмете математики , симплектическое многообразие — это гладкое многообразие , снабженное замкнутой невырожденной дифференциальной 2-формой , называемой симплектической формой . Изучение симплектических многообразий называется симплектической геометрией или симплектической топологией . Симплектические многообразия естественным образом возникают в абстрактных формулировках классической механики и аналитической механики как кокасательные расслоения многообразий. Например, в гамильтоновой формулировке В классической механике, которая обеспечивает одну из основных мотиваций поля, множество всех возможных конфигураций системы моделируется как многообразие, и кокасательное расслоение этого многообразия описывает фазовое пространство системы.
Симплектические многообразия возникают из классической механики ; в частности, они являются обобщением фазового пространства замкнутой системы. [1] Точно так же, как уравнения Гамильтона позволяют вывести эволюцию системы во времени из системы дифференциальных уравнений , симплектическая форма должна позволить получить векторное поле , описывающее поток системы, из дифференциального dH Функция Гамильтона H . [2] Итак, нам требуется линейное отображение TM → T ∗ M из касательного многообразия TM вкокасательное многообразие T ∗ M или, что то же самое, элемент T ∗ M ⊗ T ∗ M . Обозначив ω сечение T ∗ M ⊗T ∗ M , требование невырожденности ω гарантирует , что для каждого дифференциала dH существует единственное соответствующее векторное поле V H такое, что dH = ω ( V H , · ). Поскольку желательно, чтобы гамильтониан был постоянным вдоль линий тока, нужно иметь dH ( V H ) = ω ( V H , V H ) = 0 , что означает, что ω является знакопеременной и, следовательно, 2-формой. Наконец, предъявляется требование, чтобы ω не менялась под линиями тока, т. е. чтобы производная Ли ω вдоль V H обращалась в нуль. Применяя формулу Картана , это равно (вот внутреннее произведение ):
так что, повторяя это рассуждение для различных гладких функций , таких, что соответствующие охватывают касательное пространство в каждой точке, в которой применяется рассуждение, мы видим, что требование обращаемости в нуль производной Ли вдоль потоков соответствующих произвольным гладким эквивалентно требованию что ω должен быть замкнут .
