Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Не путать с Vertex (геометрия) .
Для использования в других целях, см Вершина (значения) .
Эллипс (красный) и его эволюция (синий). Точки - это вершины кривой, каждая из которых соответствует вершине на эволюции.

В геометрии плоских кривых , А вершина является точкой , где первая производная кривизны равен нулю. [1] Это обычно локальный максимум или минимум кривизны, [2] и некоторые авторы определяют вершину как более конкретно локальную крайнюю точку кривизны. [3] Однако могут возникать и другие особые случаи, например, когда вторая производная также равна нулю или когда кривизна постоянна. С другой стороны, для пространственных кривых вершина - это точка, в которой кручение обращается в нуль.

Примеры [ править ]

Гипербола имеет две вершины, по одной на каждой ветви; они являются ближайшими из любых двух точек, лежащих на противоположных ветвях гиперболы, и лежат на главной оси. На параболе единственная вершина лежит на оси симметрии и находится в квадратичной форме:

его можно найти, заполнив квадрат или дифференцируя . [2] На эллипсе две из четырех вершин лежат на большой оси, а две - на малой оси. [4]

Для круга , имеющего постоянную кривизну, каждая точка является вершиной.

Куспиды и оскал [ править ]

Вершины - это точки, в которых кривая имеет 4-точечный контакт с соприкасающимся кругом в этой точке. [5] [6] Напротив, общие точки на кривой обычно имеют только 3-точечный контакт со своей соприкасающейся окружностью. Эволютная кривой будет в общем иметь точку возврата , когда кривая имеет вершину; [6] другие, более вырожденные и нестабильные особенности могут возникать в вершинах более высокого порядка, в которых соприкасающаяся окружность имеет контакт более высокого порядка, чем четыре. [5] Хотя одна общая кривая не будет иметь вершин более высокого порядка, они обычно встречаются в однопараметрическом семействе кривых на кривой в семействе, для которой две обычные вершины сливаются, образуя более высокую вершину, а затем аннигилируют.

Набор симметрии кривой имеет конечные точки на выступах, соответствующих вершинам, а средняя ось , подмножество набора симметрии , также имеет свои конечные точки в куспидах.

Другие свойства [ править ]

Согласно классической теореме о четырех вершинах , каждая простая замкнутая плоская гладкая кривая должна иметь не менее четырех вершин. [7] Более общий факт состоит в том, что каждая простая кривая замкнутого пространства, лежащая на границе выпуклого тела или даже ограничивающая локально выпуклый диск, должна иметь четыре вершины. [8] Каждая кривая постоянной ширины должна иметь не менее шести вершин. [9]

Если плоская кривая двусторонне симметрична , она будет иметь вершину в точке или точках, где ось симметрии пересекает кривую. Таким образом, понятие вершины кривой тесно связано с понятием оптической вершины , точки, в которой оптическая ось пересекает поверхность линзы .

Заметки [ править ]

  1. ^ Agoston (2005) , стр. 570; Гибсон (2001) , стр. 126.
  2. ^ a b Гибсон (2001) , стр. 127.
  3. ↑ Fuchs & Tabachnikov (2007) , стр. 141.
  4. ^ Agoston (2005) , стр. 570; Гибсон (2001) , стр. 127.
  5. ^ a b Гибсон (2001) , стр. 126.
  6. ^ a b Fuchs & Tabachnikov (2007) , стр. 142.
  7. ^ Agoston (2005) , теорема 9.3.9, стр. 570; Гибсон (2001) , раздел 9.3, «Теорема о четырех вершинах», стр. 133–136; Fuchs & Tabachnikov (2007) , теорема 10.3, с. 149.
  8. ↑ Седых (1994) ; Гоми (2015)
  9. ^ Мартинес-Мор (1996) ; Крейзер, Тейшейра и Балестро (2018)

Ссылки [ править ]

  • Агостон, Макс К. (2005), Компьютерная графика и геометрическое моделирование: математика , Springer, ISBN 9781852338176.
  • Крейзер, Маркос; Тейшейра, Ральф; Balestro, Витор (2018), "Закрытые циклоиды в нормированной плоскости", Ежемесячник für Mathematik , 185 (1): 43-60, Arxiv : +1608,01651 , DOI : 10.1007 / s00605-017-1030-5 , МР  3745700.
  • Fuchs, DB ; Табачников, Серж (2007), Математический омнибус: тридцать лекций по классической математике , Американское математическое общество, ISBN 9780821843161
  • Гоми, Мохаммад (2015), Граничное кручение и выпуклые концы локально выпуклых поверхностей , arXiv : 1501.07626 , Bibcode : 2015arXiv150107626G
  • Гибсон, CG (2001), Элементарная геометрия дифференцируемых кривых: Введение для студентов , Cambridge University Press, ISBN 9780521011075.
  • Мартинес-Мор, Ив (1996), "Замечание о теореме теннисного мяча", American Mathematical Monthly , 103 (4): 338-340, DOI : 10,2307 / 2975192 , JSTOR  2975192 , MR  1383672.
  • Седых, В. Д. (1994), "Четыре вершины выпуклой пространственной кривой", Изв. Лондонская математика. Soc. , 26 (2): 177–180