В геометрии , то множество симметрии представляет собой метод , представляющие локальные симметрии кривого, и может быть использовано в качестве способа для представления формы объектов, находя топологический скелет . Медиальная ось , подмножество множества симметрии представляет собой набор кривых , которые примерно проходящих по середине объекта.
В 2-х измерениях
Позволять быть открытым интервалом, и - параметризация гладкой плоской кривой.
Набор симметрии определяется как замыкание множества центров окружностей, касательных к кривой по крайней мере в двух различных точках ( бикасательные окружности).
Набор симметрии будет иметь концы, соответствующие вершинам кривой. Такие точки будут лежать на пороге в развертке . В таких точках кривая будет иметь 4-точечный контакт с окружностью.
В n измерениях
Для гладкого многообразия размерности в (явно нам нужно ). Множество симметрии многообразия - это замыкание центров гиперсфер, касающихся многообразия как минимум в двух различных местах.
Как бифуркационный набор
Позволять быть открытым односвязным доменом и . Позволять- параметризация гладкого участка многообразия. Мы можем определить параметрическое семейство функций на кривой, а именно
Это семейство называется семейством функций, возведенных в квадрат расстояния. Это потому, что для фиксированного значение это квадрат расстояния от к в
Таким образом, набор симметрии является бифуркационным набором семейства функций, возведенных в квадрат расстояния. Т.е. это набор такой, что имеет повторяющуюся особенность для некоторых
Под повторяющейся особенностью мы подразумеваем особенность матрицы якобиана. Поскольку у нас есть семейство функций, это эквивалентно.
Тогда набор симметрии - это набор такие, что существуют с участием , а также
вместе с предельными точками этого множества.
Рекомендации
- Дж. В. Брюс, П. Дж. Гиблин и К. Г. Гибсон, Наборы симметрии. Proc. Королевского общества Эдинбурга 101A (1985), 163-186.
- Дж. В. Брюс и П. Дж. Гиблин, Кривые и сингулярности, издательство Кембриджского университета (1993).