В математике две функции имеют контакт порядка k, если в точке P они имеют одинаковое значение и k равных производных . Это отношение эквивалентности, классы эквивалентности которого обычно называют струями . Точку соприкосновения также называют двойным выступом . Контакт - понятие геометрическое; его можно алгебраически определить как оценку .
Говорят также о кривых и геометрических объектах, имеющих контакт k-го порядка в точке: это также называется соприкосновением (т. Е. Целованием), обобщающим свойство касания . (Здесь производные рассматриваются по длине дуги.) Оскулирующая кривая из данного семейства кривых - это кривая, которая имеет наивысший возможный порядок контакта с данной кривой в данной точке; например, касательная линия является соприкасающейся кривой из семейства линий и имеет контакт первого порядка с данной кривой; соприкасающаяся окружность является соприкасающейся кривой из семейства окружностей, и имеет контакт второго порядка (тот же касательный угол и кривизну) и т. д. [1]
Приложения [ править ]
Контактные формы - это особые дифференциальные формы степени 1 на нечетномерных многообразиях; см. контактную геометрию . Контактные преобразования - это связанные изменения координат, важные в классической механике . См. Также преобразование Лежандра .
Контакт между многообразием часто изучаются в теории сингулярности , где классифицируется тип контакта, они включают в себя A серии ( 0 : переход, 1 : тангенс, 2 : соприкасающееся, ...) и омбилические или D -ряды где есть высокая степень контакта со сферой.
Контакт между кривыми [ править ]
Говорят, что две кривые на плоскости, пересекающиеся в точке p , имеют:
- Контакт 0-го порядка, если кривые имеют простое пересечение (не касательное).
- Контакт 1-го порядка, если две кривые касаются друг друга .
- Контакт 2-го порядка, если кривизны кривых равны. Такие кривые называются соприкасающимися.
- Контакт 3-го порядка, если производные кривизны равны.
- Контакт 4-го порядка, если вторые производные кривизны равны.
Контакт между кривой и кругом [ править ]
Для каждой точки S ( t ) на гладкой плоской кривой S существует ровно одна соприкасающаяся окружность , радиус которой обратен κ ( t ), кривизне S в точке t . Если кривизна равна нулю (в точке перегиба кривой), соприкасающийся круг представляет собой прямую линию. Локус из центров всех соприкасающихся кругов (также называемый «центрами кривизны») является эволютным кривым.
Если производная кривизны κ '( t ) равна нулю, то соприкасающаяся окружность будет иметь контакт 3-го порядка, и говорят, что кривая имеет вершину . У эволюции будет острие в центре круга. Знак второй производной кривизны определяет, имеет ли кривая локальный минимум или максимум кривизны. Все замкнутые кривые будут иметь как минимум четыре вершины, два минимума и два максимума ( теорема о четырех вершинах ).
В общем, кривая не будет контактировать с окружностью четвертого порядка. Однако контакт 4-го порядка может происходить в общем случае в однопараметрическом семействе кривых, на кривой в семействе, где (при изменении параметра) две вершины (одна максимальная и одна минимальная) сходятся вместе и аннигилируют. В таких точках вторая производная кривизны будет равна нулю.
Би-касательные в эконометрике [ править ]
В эконометрике также можно рассматривать окружности, которые имеют двухточечный контакт с двумя точками S ( t 1 ), S ( t 2 ) на кривой. Такие окружности являются двух касательными . Центры всех двух касательных окружностей образуют множество симметрии . Медиальная ось является подмножеством множества симметрии. Эти наборы использовались в качестве метода описания форм биологических объектов Марио Энрике Симонсен, бразильским и английским эконометристом.
Ссылки [ править ]
- Перейти ↑ Rutter, JW (2000), Geometry of Curves , CRC Press, pp. 174–175, ISBN 9781584881667.
- Брюс, JW; П. Дж. Гиблин (1992). Кривые и особенности . Кембридж. ISBN 0-521-42999-4.
- Ян Р. Портеус (2001) Геометрическое дифференцирование , стр 152–7, Cambridge University Press ISBN 0-521-00264-8 .
