В дифференциальной геометрии , кривой соприкасающийся является плоским кривым из данного семейства , который имеет максимально возможный порядок контакта с другим кривым. То есть, если F - семейство гладких кривых , C - гладкая кривая (в общем случае не принадлежащая F ), а p - точка на C , то соприкасающаяся кривая из F в p - это кривая из F , проходящая через p и имеет столько же производных в точке p, сколько производных от Cнасколько возможно. [1] [2]
Термин происходит от латинского корня «целовать», « целовать» , потому что две кривые соприкасаются друг с другом более интимным образом, чем простое касание. [3]
Примеры [ править ]
Примеры соприкасающихся кривых разного порядка включают:
- Касательной к кривой С в точке р , соприкасающаяся кривая из семейства прямых линий . Линейные акции касательные ее первая производная ( наклон ) с C и , следовательно , имеет контакт первого порядка с C . [1] [2] [4]
- Соприкасающаяся окружность к С при р , соприкасающиеся кривой из семейства окружностей . Соприкасающаяся окружность акции оба его первые и вторые производные ( что эквивалентно, его наклон и кривизна ) с C . [1] [2] [4]
- Соприкасающиеся параболы с С на р , соприкасающиеся кривой из семейства парабол , имеют контакт третьего порядка с C . [2] [4]
- Соприкасающаяся конический с C на р , соприкасающиеся кривой из семейства конических сечений , имеет четвертый контакт порядка с C . [2] [4]
Обобщения [ править ]
Понятие оскуляции можно обобщить на пространства более высоких измерений и на объекты, которые не являются кривыми внутри этих пространств. Например, соприкасающаяся плоскость с пространственной кривой - это плоскость, которая контактирует с кривой второго порядка. Это максимально высокий порядок, который возможен в общем случае. [5]
Говорят, что в одном измерении аналитические кривые соприкасаются в точке, если они разделяют первые три члена своего разложения Тейлора относительно этой точки. Эту концепцию можно обобщить на супероскуляцию , в которой две кривые имеют больше общего , чем первые три члена их разложения Тейлора.
См. Также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ a b c Раттер, JW (2000), Геометрия кривых , CRC Press, стр. 174–175, ISBN 9781584881667.
- ^ a b c d e Уильямсон, Бенджамин (1912), Элементарный трактат по дифференциальному исчислению: содержащий теорию плоских кривых с многочисленными примерами , Longmans, Green, p. 309.
- ↑ Макс, Блэк (1954–1955), «Метафора», Труды Аристотелевского общества , Новая серия, 55 : 273–294. Перепечатано в Johnson, Mark, ed. (1981), Philosophical Perspectives on Metaphor , University of Minnesota Press, стр. 63–82, ISBN 9780816657971. Стр. 69 : «Оскулирующие кривые целуются недолго и быстро возвращаются к более прозаическому математическому контакту».
- ^ a b c d Тейлор, Джеймс Морфорд (1898), Элементы дифференциального и интегрального исчисления: с примерами и приложениями , Ginn & Company, стр. 109–110.
- ^ Kreyszig, Эрвин (1991), Дифференциальная геометрия , Торонто университет Математическая Экспозиции, 11 , Courier Dover Publications, стр. 32-33, ISBN 9780486667218.
