Классическая геометрическая теорема о четырех вершинах утверждает, что функция кривизны простой замкнутой гладкой плоской кривой имеет по крайней мере четыре локальных экстремума (в частности, по крайней мере два локальных максимума и по крайней мере два локальных минимума). Название теоремы происходит от соглашения о назывании крайней точки функции кривизны вершиной . Эта теорема имеет множество обобщений, в том числе версию для пространственных кривых, в которой вершина определяется как точка кручения, обращающегося в нуль .
Примеры
Эллипс имеет ровно четыре вершины: два локальных максимума кривизны , где она пересекается с главной осью эллипса, а также два локальных минимумов кривизны , где она пересекает ось малой. В круге каждая точка является одновременно локальным максимумом и локальным минимумом кривизны, поэтому вершин бесконечно много.
Каждая кривая постоянной ширины имеет не менее шести вершин. [1]
История
Теорема о четырех вершинах была впервые доказана для выпуклых кривых (т. Е. Кривых со строго положительной кривизной) в 1909 году Шьямадасом Мухопадхьяей . [2] Его доказательство использует тот факт, что точка на кривой является экстремумом функции кривизны тогда и только тогда, когда соприкасающаяся окружность в этой точке имеет контакт 4-го порядка с кривой; Обычно соприкасающийся круг имеет контакт с кривой только 3-го порядка. Теорема о четырех вершинах была доказана для более общих кривых Адольфом Кнезером в 1912 году с использованием проективного аргумента. [3]
Доказательство
В течение многих лет доказательство теоремы о четырех вершинах оставалось трудным, но Оссерман (1985) дал простое и концептуальное доказательство , основанное на идее минимальной охватывающей окружности . [4] Это круг, содержащий заданную кривую и имеющий наименьший возможный радиус. Если кривая включает дугу окружности, у нее бесконечно много вершин. В противном случае кривая и окружность должны касаться по крайней мере двух точек, потому что окружность, касающаяся кривой в меньшем количестве точек, может быть уменьшена в размере, но все еще будет охватывать ее. При каждом касании кривизна кривой больше, чем кривизна окружности, иначе кривая продолжалась бы от касания вне окружности, а не внутри. Однако между каждой парой касаний кривизна должна уменьшаться до меньшей, чем кривизна окружности, например, в точке, полученной перемещением окружности до тех пор, пока она не перестанет содержать какую-либо часть кривой между двумя точками касания и с учетом последней точка контакта между переведенной окружностью и кривой. Следовательно, существует локальный минимум кривизны между каждой парой касаний, дающий две из четырех вершин. Между каждой парой локальных минимумов (не обязательно в точках касания) должен быть локальный максимум кривизны, дающий две другие вершины. [4] [5]
Converse
Обратное к теореме о четырех вершинах утверждает, что любая непрерывная вещественная функция круга, имеющая по крайней мере два локальных максимума и два локальных минимума, является функцией кривизны простой замкнутой плоской кривой. Обратное было доказано для строго положительных функций в 1971 году Германом Глюком как частный случай общей теоремы о предварительном задании кривизны n-сфер . [6] Полная обратная теореме о четырех вершинах была доказана Бьёрном Дальбергом незадолго до его смерти в январе 1998 года и опубликована посмертно. [7] Доказательство Дальберга использует аргумент извилистого числа, который в некотором смысле напоминает стандартное топологическое доказательство фундаментальной теоремы алгебры . [8]
Приложение к механике
Одно из следствий теоремы состоит в том, что однородный плоский диск, катящийся по горизонтальной поверхности под действием силы тяжести, имеет как минимум 4 точки равновесия. Дискретная версия этого состоит в том, что не может быть моностатического многоугольника . Однако в трех измерениях действительно существуют моностатические многогранники, а также существует выпуклый однородный объект с ровно двумя точками баланса (одна стабильная, а другая нестабильная) - Гембек .
Дискретные вариации
Существует несколько дискретных версий теоремы о четырех вершинах, как для выпуклых, так и для невыпуклых многоугольников. [9] Вот некоторые из них:
- (Билински) Последовательность углов выпуклого равностороннего многоугольника не менее чем с четырьмя вершинами имеет не менее четырех экстремумов .
- Последовательность длин сторон выпуклого равноугольного многоугольника с не менее чем четырьмя сторонами имеет не менее четырех экстремумов .
- (Мусин) Окружность, описанная вокруг трех последовательных вершин многоугольника с не менее чем четырьмя вершинами, называется экстремальной, если она содержит все оставшиеся вершины многоугольника или не имеет ни одной из них внутри. Такой выпуклый многоугольник является общим, если у него нет четырех вершин на одной окружности. Тогда каждый выпуклый многоугольник общего положения с не менее чем четырьмя вершинами имеет не менее четырех экстремальных окружностей.
- ( Лежандр - Коши ) Два выпуклых n -угольника с равной соответствующей длиной стороны имеют либо ноль, либо не менее 4 смен знака в циклической последовательности соответствующих разностей углов.
- ( А.Д. Александров ) Два выпуклых n -угольника с параллельными соответствующими сторонами и равной площадью имеют либо ноль, либо не менее 4 смен знака в циклической последовательности разностей соответствующих длин сторон.
Некоторые из этих вариантов сильнее других, и все они влекут (обычную) теорему о четырех вершинах с помощью предельного аргумента.
Обобщения на пространственную кривую
Стереографическая проекция из сферы на плоскость сохраняет критические точки геодезической кривизны . Таким образом, простые замкнутые сферические кривые имеют четыре вершины. Кроме того, на сфере вершины кривой соответствуют точкам, в которых ее кручение обращается в нуль. Итак, для пространственных кривых вершина определяется как точка исчезающего кручения. В 1994 г. В. Д. Седых [10] показал, что каждая простая кривая замкнутого пространства, лежащая на границе выпуклого тела, имеет четыре вершины. В 2017 году Мохаммад Гоми [11] обобщил теорему Седых на все кривые, ограничивающие локально выпуклый круг.
Смотрите также
- Последнее геометрическое утверждение Якоби
- Теорема о теннисном мяче
Рекомендации
- ^ Мартинес-Мор, Ив (1996). «Заметка по теореме о теннисном мячике» Американский математический ежемесячник . 103 (4): 338–340. DOI : 10.2307 / 2975192 . JSTOR 2975192 . Руководство по ремонту 1383672 .; Крейзер, Маркос; Тейшейра, Ральф; Балестро, Витор (2018). «Замкнутые циклоиды на нормированной плоскости». Monatshefte für Mathematik . 185 (1): 43–60. arXiv : 1608.01651 . DOI : 10.1007 / s00605-017-1030-5 . Руководство по ремонту 3745700 .
- ^ Мухопадхяя, С. (1909). «Новые методы в геометрии плоской дуги». Бык. Calcutta Math. Soc . 1 : 21–27.
- ^ Кнезер, Адольф (1912). "Bemerkungen uber die Anzahl der Extrema der Krümmung auf geschlossenen Kurven und über verwandte Fragen in einer nicht euklidischen Geometrie". Festschrift Генрих Вебер . Teubner. С. 170–180.
- ^ а б Бергер, Марсель (2010). «V.8. Теорема о четырех вершинах и обратная ей; приложение к физике». Открытая геометрия . Гейдельберг: Springer. С. 271–278. DOI : 10.1007 / 978-3-540-70997-8 . ISBN 978-3-540-70996-1. Руководство по ремонту 2724440 ..
- ^ Оссерман, Роберт (1985). «Теорема о четырех или более вершинах». Американский математический ежемесячник . 92 (5): 332–337. DOI : 10.2307 / 2323126 . Руководство по ремонту 0790188 ..
- ^ Глюк, Герман (1971). «Обратное к теореме о четырех вершинах». L'Enseignement Mathématique . 17 : 295–309.
- ^ Дальберг, Бьорн (2005). «Обратное к теореме о четырех вершинах» . Proc. Амер. Математика. Soc . 133 (7): 2131–2135. DOI : 10.1090 / S0002-9939-05-07788-9 .
- ^ DeTurck, D .; Gluck, H .; Померлеано, Д. и Вик, Д.С. (2007). "Теорема о четырех вершинах и обратная ей" (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 54 (2): 9268. arXiv : math / 0609268 . Bibcode : 2006math ...... 9268D .
- ^ Пак И. Лекция по дискретному и Многогранная Геометрии архивация 2009-01-29 в Wayback Machine , раздел 21.
- ^ Седых, В.Д. (1994). «Четыре вершины выпуклой пространственной кривой». Бык. Лондонская математика. Soc . 26 (2): 177–180. DOI : 10.1112 / БЛМ / 26.2.177 .
- ^ Гоми, Мохаммад (2017). «Граничное кручение и выпуклые шапки локально выпуклых поверхностей» . Журнал дифференциальной геометрии . 105 (3): 427–486. arXiv : 1501.07626 . DOI : 10.4310 / JDG / 1488503004 . ISSN 0022-040X .
Внешние ссылки
- Теорема о четырех вершинах и ее обратная - пояснительная статья, в которой объясняется простое доказательство Робертом Оссерманом теоремы о четырех вершинах и доказательство обратного утверждения Дальбергом, предлагается краткий обзор расширений и обобщений и даются биографические очерки Мухопадхьяи, Кнезера и Дальберг.