В евклидовой геометрии , равноугольный многоугольник является многоугольником , вершина которого углы равны. Если длины сторон также равны (то есть, если он также равносторонний ), то это правильный многоугольник . Изогональные многоугольники - это равноугольные многоугольники, у которых чередуются две длины ребер.
Свойства [ править ]
Единственный равносторонний треугольник - это равносторонний треугольник . Прямоугольники , включая квадрат, - единственные равносторонние четырехугольники (четырехгранные фигуры). [1]
Для выпуклого равноугольного n -угольника каждый внутренний угол равен 180 (1-2 / n) °; это теорема о равноугольном многоугольнике .
Теорема Вивиани верна для равноугольных многоугольников: [2]
- Сумма расстояний от внутренней точки до сторон равноугольного многоугольника не зависит от местоположения точки и является инвариантом этого многоугольника.
Прямоугольник (равносторонний четырехугольник) с целыми длинами сторон может быть выложен единичными квадратами , а равносторонний шестиугольник с целыми длинами сторон может быть выложен единичными равносторонними треугольниками . Некоторые, но не все равносторонние додекагоны могут быть выложены комбинацией единичных квадратов и равносторонних треугольников; остальные могут быть выложены этими двумя формами вместе с ромбами с углами 30 и 150 градусов. [1]
Циклический многоугольник является равноугольным тогда и только тогда , когда альтернативные стороны равны (то есть, стороны 1, 3, 5, ..., равны и стороны 2, 4, ..., равны). Таким образом, если n нечетно, циклический многоугольник равноугольный тогда и только тогда, когда он правильный. [3]
Для простого p каждый целочисленный равноугольный p -угольник является правильным. Более того, каждый целочисленный равноугольный p k -угольник обладает p- кратной вращательной симметрией . [4]
Упорядоченный набор длин сторон дает равносторонний n -угольник тогда и только тогда, когда для полинома выполняется одно из двух эквивалентных условий, он равен нулю, при комплексном значении он делится на [5]
См. Также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ a b Болл, Дерек (2002), «Равноугольные многоугольники», The Mathematical Gazette , 86 (507): 396–407, JSTOR 3621131.
- ↑ Элиас Аббуд «О теореме Вивиани и ее расширениях», стр. 2, 11
- ^ Де Вильерс, Майкл, "Равносторонние циклические и равносторонние описанные многоугольники", Mathematical Gazette 95, март 2011, 102-107.
- ^ Маклин, К. Робин. «Мощный алгебраический инструмент для равносторонних многоугольников», Mathematical Gazette 88, ноябрь 2004 г., 513-514.
- ^ М. Bras-Аморос, М. Пуйоль: «Боковая Длина равносторонних многоугольников (как видно на кодирование теоретика)», Американский Математический Месячный , т. 122, п. 5. С. 476–478, май 2015 г. ISSN 0002-9890 .
- Уильямс, Р. Геометрическая основа естественной структуры: Справочник по дизайну . Нью-Йорк: Dover Publications , 1979. стр. 32
Внешние ссылки [ править ]
- Свойство равносторонних многоугольников: о чем оно? обсуждение теоремы Вивиани в Cut-the-knot .
- Вайсштейн, Эрик В. "Равноугольный многоугольник" . MathWorld .
