Контактная геометрия

Стандартная структура контактов на R ³ . Каждая точка в R ³ имеет плоскость, связанную с ней контактной структурой, в данном случае как ядро одной формы d z - y d x . Эти плоскости, кажется, закручиваются по оси y .

В математике , контактная геометрия является изучением геометрической структуры на гладких многообразий , заданных гиперплоскость распределения в касательном расслоении , удовлетворяющий условию называется «полная неинтегрируемость». Эквивалентно такое распределение может быть задано (по крайней мере, локально) как ядро дифференциальной одной формы, а условие неинтегрируемости преобразуется в условие максимальной невырожденности формы. Эти условия противоположны двум эквивалентным условиям « полной интегрируемости » гиперплоского распределения, т. Е. Того, что оно касается слоения коразмерности один на многообразии, эквивалентность которого является содержаниемТеорема Фробениуса .

Контактная геометрия во многих отношениях является нечетномерным аналогом симплектической геометрии , структурой на некоторых четномерных многообразиях. И контактная, и симплектическая геометрия мотивированы математическим формализмом классической механики , где можно рассматривать либо четномерное фазовое пространство механической системы, либо гиперповерхность постоянной энергии, которая, будучи коразмерностью один, имеет нечетную размерность.

Приложения [ править ]

Как и симплектическая геометрия, контактная геометрия имеет широкое применение в физике , например, в геометрической оптике , классической механике , термодинамике , геометрическом квантовании , интегрируемых системах и в теории управления . Контактная геометрия также имеет приложения к топологии малой размерности ; например, она была использована Kronheimer и Mrówka доказать P гипотезу собственности , по Михаэлю Хатчингсу определить инвариант гладких трехмерных многообразий, а Lenhard Ng для определения инвариантов узлов. Он также использовалсяЯкову Элиашбергу для получения топологической характеризации многообразий Штейна размерности не менее шести.

Контактные формы и структуры [ править ]

Контактная структура на многообразии нечетной размерности - это гладко меняющееся семейство подпространств коразмерности один каждого касательного пространства многообразия, удовлетворяющее условию неинтегрируемости. Семейство можно описать как часть связки следующим образом:

Учитывая п -мерного гладкого многообразия М , и точка р ∈ M , A контактного элементом из M с контактной точкой р является ( п - 1) -мерное линейным подпространством в касательном пространстве к М в р . ^[1]^[2] Контактный элемент может быть задан ядром линейной функции на касательном пространстве к M в точке p . Однако если подпространство задается ядром линейной функции ω, то оно также будет задаваться нулями функции λω, гдеλ ≠ 0 - любое ненулевое действительное число. Таким образом, все ядра {λω: λ ≠ 0} дают один и тот же контактный элемент. Отсюда следует, что пространство всех контактных элементов M можно отождествить с фактором кокасательного расслоения T * M (без нулевого сечения ), ^[1] а именно: ${\ displaystyle 0_ {M}}$

{\ displaystyle {\ text {PT}} ^ {*} M = ({\ text {T}} ^ {*} M- {0_ {M}}) / \! \ sim \ {\ text {где, для }} \ omega _ {i} \ in {\ text {T}} _ {p} ^ {*} M, \ \ \ omega _ {1} \ sim \ omega _ {2} \ \ iff \ \ exists \ \ lambda \ neq 0 \: \ \ omega _ {1} = \ lambda \ omega _ {2}.}

Контактная структура на нечетном мерном многообразии М , размерности 2 к + 1 , является гладким распределением контактных элементов, обозначаемых через £, который является общим в каждой точке. ^[1]^[2] Условие общности состоит в том, что ξ не интегрируется .

Предположим, что у нас есть гладкое распределение контактных элементов ξ, локально заданное дифференциальной 1-формой α; т.е. гладкий участок котангенсного пучка. Условие неинтегрируемости может быть явно задано как: ^[1]

\alpha \wedge ({\text{d}}\alpha )^{k}\neq 0\ {\text{where}}\ ({\text{d}}\alpha )^{k}=\underbrace {{\text{d}}\alpha \wedge \ldots \wedge {\text{d}}\alpha } _{k-{\text{times}}}.

Заметим, что если ξ задается дифференциальной 1-формой α, то такое же распределение локально задается формулой β = ƒ⋅α , где ƒ - ненулевая гладкая функция . Если ξ коориентируем, то α определено глобально.

Свойства [ править ]

Из теоремы Фробениуса об интегрируемости следует, что контактное поле ξ полностью неинтегрируемо . Это свойство контактного поля примерно противоположное быть полем , образованное касательными плоскостями к семейству неперекрывающейся гиперповерхности в М . В частности, вы не можете найти гиперповерхность в M , касательные пространства которой совпадают с ξ, даже локально. На самом деле не существует подмногообразия размерности больше k , касательные пространства которого лежат в ξ.

Связь с симплектическими структурами [ править ]

Следствием определения является то, что ограничение 2-формы ω = d α на гиперплоскость в ξ является невырожденной 2-формой. Эта конструкция обеспечивает любое контактное многообразие М с естественным симплектическим расслоением ранга один меньше , чем размерность М . Обратите внимание, что симплектическое векторное пространство всегда четномерно, а контактные многообразия должны быть нечетномерными.

Кокасательное расслоение T * N любого п - мерного многообразия N само многообразие (размерности 2 п ) и поддерживает естественно точное симплектическая структура ω = d λ. (Эту 1-форму λ иногда называют формой Лиувилля ). Есть несколько способов построить ассоциированное контактное многообразие: одно размерности 2 n - 1, другое размерности 2 n + 1.

Проективизация

Пусть М будет проективизацией кокасательного расслоения N : таким образом , М является расслоением над M , слой которого в точке х является пространством линий в T * N , или, что то же самое, пространство гиперплоскостей в T N . 1-форма λ не опускается к подлинному 1-формы на М . Тем не менее, она однородна степень 1, и поэтому она определяет 1-форму со значениями в линейном расслоении O (1), который является сопряженным к послойно тавтологической линии пучка М . Ядро этой 1-формы определяет распределение контактов.

Энергетические поверхности

Предположим, что H - гладкая функция на T * N , что E - регулярное значение для H , так что множество уровня является гладким подмногообразием коразмерности 1. Векторное поле Y называется векторным полем Эйлера (или Лиувилля), если оно трансверсально L и конформно симплектическими, а это означает , что производная Ли д Х относительно Y является кратным г Х в окрестности L . $L=\{(q,p)\in T^{*}N|H(q,p)=E\}$

Тогда ограничение на L является контактной формой на L . $i_{Y}d\lambda$

Эта конструкция берет свое начало в гамильтоновой механике , где H - гамильтониан механической системы с конфигурационным пространством N и фазовым пространством T * N , а E - значение энергии.

Единичный котангенсный пучок

Выберите риманову метрику на многообразии N и пусть H будет ассоциированной кинетической энергией. Тогда множество уровня H = 1/2 является единичным кокасательным расслоением к N , гладким многообразием размерности 2 n -1, расслаивающим над N слоями, являющимися сферами. Тогда форма Лиувилля, ограниченная на единичное кокасательное расслоение, является контактной структурой. Это соответствует частному случаю второй конструкции, где поток векторного поля Эйлера Y соответствует линейному масштабированию импульсов p, оставляя q неизменными. Векторное поле R , определяется равенства

λ ( R ) = 1 и d λ ( R , A ) = 0 для всех векторных полей A ,

называется векторным полем Риба , и оно порождает геодезический поток римановой метрики. Более точно, используя риманову метрику, можно отождествить каждую точку кокасательного расслоения к N с точкой касательного расслоения к N , и тогда значение R в этой точке (единичного) кокасательного расслоения будет соответствующим (единичным ) вектор , параллельный N .

Первая струйная связка

С другой стороны, можно построить коллектор контакта М размерности 2 п + 1, рассматривая первый реактивный пучок из действительных функций на N . Это расслоение изоморфно T * N × R, используя внешнюю производную функции. В координатах ( x , t ) M имеет контактную структуру

α = dt + λ.

Наоборот, для любого контактного многообразия M произведение M × R имеет естественную структуру симплектического многообразия. Если α - контактная форма на M , то

ω = d ( e ^t α)

является симплектической формой на M × R , где t обозначает переменную в R -направлении. Это новое многообразие называется симплектизация (иногда симплектизациями в литературе) контактное многообразие M .

Примеры [ править ]

В качестве яркого примера рассмотрим R ³ , наделенный координатами ( x , y , z ) и одну форму dz - y dx . Плоскость контакта ξ в точке ( x , y , z ) натянута на векторы X ₁ = ∂ _y и X ₂ = ∂ _x + y ∂ _z .

Заменив одиночные переменные x и y на многомерные x ₁ , ..., x _n , y ₁ , ..., y _n , можно обобщить этот пример на любой R ^{2 n +1} . По теореме Дарбу каждая контактная структура на многообразии локально выглядит как эта конкретная контактная структура на (2 n + 1) -мерном векторном пространстве.

Важный класс контактных многообразий составляют сасакиевы многообразия .

Лежандровые подмногообразия и узлы [ править ]

Наиболее интересными подпространствами контактного многообразия являются его лежандровые подмногообразия. Неинтегрируемость поля контактной гиперплоскости на (2 n + 1) -мерном многообразии означает, что никакое 2 n -мерное подмногообразие не имеет его в качестве касательного расслоения, даже локально. Однако в общем случае можно найти n-мерные (вложенные или погруженные) подмногообразия, касательные пространства которых лежат внутри контактного поля. Лежандровые подмногообразия аналогичны лагранжевым подмногообразиям симплектических многообразий. Имеется точное соотношение: подъем лежандрова подмногообразия в симплектизации контактного многообразия является лагранжевым подмногообразием. Простейшим примером лежандровых подмногообразий являются лежандровые узлывнутри контактного трёхмерного коллектора. Неэквивалентные лежандровые узлы могут быть эквивалентны гладким узлам; то есть есть узлы, которые являются гладко изотопными, где изотопия не может быть выбрана как путь лежандровых узлов.

Лежандровые подмногообразия - очень жесткие объекты; обычно существует бесконечно много лежандровых изотопических классов вложений, которые все гладко изотопны. Симплектическая теория поля предоставляет инварианты лежандровых подмногообразий, называемых относительными контактными гомологиями, которые иногда могут различать различные лежандрова подмногообразия, которые топологически идентичны (т. Е. Гладко изотопны).

Векторное поле Риба [ править ]

Если α - контактная форма для данной контактной структуры, векторное поле Риба R можно определить как единственный элемент (одномерного) ядра dα, такой что α ( R ) = 1. Если контактное многообразие возникает как гиперповерхность постоянной энергии внутри симплектического многообразия, то векторное поле Риба является ограничением на подмногообразие гамильтонова векторного поля, связанного с функцией энергии. (Ограничение дает векторное поле на контактной гиперповерхности, поскольку гамильтоново векторное поле сохраняет уровни энергии.)

Динамика поля Риба может быть использована для изучения структуры контактного многообразия или даже лежащего в его основе многообразия, используя методы гомологии Флора, такие как симплектическая теория поля и, в трех измерениях, вложенные контактные гомологии.. Различные контактные формы, ядра которых дают одинаковую контактную структуру, будут давать разные векторные поля Риба, динамика которых, как правило, очень различна. Различные разновидности контактных гомологий априори зависят от выбора контактной формы и строят алгебраические структуры замкнутых траекторий своих векторных полей Риба; однако эти алгебраические структуры оказываются независимыми от контактной формы, т. е. они являются инвариантами основной контактной структуры, так что, в конце концов, контактная форма может рассматриваться как вспомогательный выбор. В случае вложенных контактных гомологий получается инвариант лежащего в основе трехмерного многообразия, т. Е. Вложенные контактные гомологии не зависят от контактной структуры; это позволяет получить результаты, справедливые для любого векторного поля Риба на многообразии.

Поле Риб названо в честь Жоржа Риба .

Некоторые исторические замечания [ править ]

Корни контактной геометрии появляются в работах Христиана Гюйгенса , Исаака Барроу и Исаака Ньютона . Теория контактных преобразований (то есть преобразований, сохраняющих контактную структуру) была разработана Софусом Ли с двойными целями изучения дифференциальных уравнений (например, преобразование Лежандра или каноническое преобразование ) и описания «изменения элемента пространства», знакомого по проективной двойственности. .

См. Также [ править ]

Гомологии Флоера , некоторые разновидности которых дают инварианты контактных многообразий и их лежандровых подмногообразий
Квантованное преобразование контактов
Субриманова геометрия

Ссылки [ править ]

^ a b c d Арнольд В. И. (1989), "Приложение 4 Контактные структуры" , Математические методы классической механики , Springer, стр. 349-370, ISBN. 0-387-96890-3
^ а б Арнольд, VI (1989). «Контактная геометрия и распространение волн». Monographie de l'Enseignement Mathématique . Conférences de l'Union Mathématique Internationale. Université de Genève. ISSN 0425-0818 . Zbl 0694.53001 .

Введение в контактную геометрию [ править ]

Этнир, Дж. (2003). «Вводные лекции по контактной геометрии». Proc. Симпозиумы. Чистая математика . Труды симпозиумов по чистой математике. 71 : 81–107. arXiv : math / 0111118 . DOI : 10.1090 / pspum / 071/2024631 . ISBN 9780821835074. S2CID 6174175 .
Гейгес, Х. (2003). «Контактная геометрия». arXiv : math / 0307242 .
Гейгес, Хансйорг (2008). Введение в топологию контактов . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-139-46795-7.
Эбишер (1994). Симплектическая геометрия . Birkhäuser. ISBN 3-7643-5064-4.
Арнольд В.И. (1989). Математические методы классической механики . Springer-Verlag. ISBN 0-387-96890-3.

Приложения к дифференциальным уравнениям [ править ]

Арнольд В.И. (1988). Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений . Springer-Verlag. ISBN 0-387-96649-8.

Контактные трехмерные многообразия и лежандровы узлы [ править ]

Терстон, Уильям (1997). Трехмерная геометрия и топология . Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08304-5.

Информация по истории контактной геометрии [ править ]

Лутц, Р. (1988). "Quelques remarques Historiques et Perspectives sur la géométrie de contact". Конференция по дифференциальной геометрии и топологии (Сардиния, 1988) . Ренд. Фак. Sci. Univ. Кальяри. 58 доп. С. 361–393. Руководство по ремонту 1122864 .
Гейгес, Х. (2001). «Краткая история контактной геометрии и топологии». Экспо. Математика . 19 : 25–53. DOI : 10.1016 / S0723-0869 (01) 80014-1 .
Арнольд, Владимир И. (2012) [1990]. Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук: пионеры математического анализа и теории катастроф от эволюционирующих до квазикристаллов . Birkhäuser. ISBN 978-3-0348-9129-5.
Контактная тема геометрии на arxiv.org

Внешние ссылки [ править ]

Контактный коллектор на Manifold Atlas

[MMCM-1] Арнольд В. И. (1989), "Приложение 4 Контактные структуры" , Математические методы классической механики , Springer, стр. 349-370, ISBN. 0-387-96890-3

[CGWP-2] а б Арнольд, VI (1989). «Контактная геометрия и распространение волн». Monographie de l'Enseignement Mathématique . Conférences de l'Union Mathématique Internationale. Université de Genève. ISSN 0425-0818 . Zbl 0694.53001 .