Комплексная матрица Адамара

Комплексная матрица Адамара любая комплексная матрица , удовлетворяющая двум условиям:${\ Displaystyle N \ раз N}$ ${\ displaystyle H}$

• унимодулярность (модуль каждой записи равен единице): ${\ displaystyle | H_ {jk} | = 1 {\ quad {\ rm {for \ quad}}} j, k = 1,2, \ dots, N}$
• ортогональности : ,${\ displaystyle HH ^ {\ dagger} = NI}$

где обозначает эрмиты транспонирования из и является единичной матрицей. Эта концепция является обобщением матрицы Адамара . Обратите внимание, что любую комплексную матрицу Адамара можно превратить в унитарную матрицу , умножив ее на ; наоборот, любая унитарная матрица, все элементы которой имеют модуль, становится комплексной Адамара после умножения на .${\ displaystyle {\ dagger}}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {N}}}}$${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {N}}}}$${\ displaystyle {\ sqrt {N}}}$

Комплексные матрицы Адамара возникают при изучении операторных алгебр и теории квантовых вычислений . Вещественные матрицы Адамара и матрицы Адамара типа Бутсона образуют частные случаи комплексных матриц Адамара.

Комплексные матрицы Адамара существуют для любых натуральных (сравните реальный случай, в котором существование известно не для всех ). Например, матрицы Фурье (комплексно сопряженные матрицы ДПФ без нормирующего множителя),${\ displaystyle N}$${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle [F_ {N}] _ {jk}: = \ exp [(2 \ pi я (j-1) (k-1) / N] {\ quad {\ rm {for \ quad}}} j , k = 1,2, \ точки, N}$

принадлежат к этому классу.

Эквивалентность [ править ]

Две комплексные матрицы Адамара называются эквивалентными, записываются , если существуют диагональные унитарные матрицы и матрицы перестановок такие, что${\ Displaystyle H_ {1} \ simeq H_ {2}}$ ${\ displaystyle D_ {1}, D_ {2}}$ ${\ displaystyle P_ {1}, P_ {2}}$

${\displaystyle H_{1}=D_{1}P_{1}H_{2}P_{2}D_{2}.}$

Любая комплексная матрица Адамара эквивалентна дефазированной матрице Адамара, в которой все элементы в первой строке и первом столбце равны единице.

Для и все комплексные матрицы Адамара эквивалентны матрице Фурье . Ведь существует непрерывное однопараметрическое семейство неэквивалентных комплексных матриц Адамара,${\displaystyle N=2,3}$${\displaystyle 5}$${\displaystyle F_{N}}$${\displaystyle N=4}$

${\displaystyle F_{4}^{(1)}(a):={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&ie^{ia}&-1&-ie^{ia}\\1&-1&1&-1\\1&-ie^{ia}&-1&ie^{ia}\end{bmatrix}}{\quad {\rm {with\quad }}}a\in [0,\pi ).}$

Для следующих семейств комплексных матриц Адамара известны:${\displaystyle N=6}$

• одно двухпараметрическое семейство, которое включает ,${\displaystyle F_{6}}$
• единое однопараметрическое семейство ,${\displaystyle D_{6}(t)}$
• однопараметрическая орбита , включающая циркулянтную матрицу Адамара ,${\displaystyle B_{6}(\theta )}$${\displaystyle C_{6}}$
• двухпараметрическая орбита, включая два предыдущих примера ,${\displaystyle X_{6}(\alpha )}$
• однопараметрическая орбита симметричных матриц,${\displaystyle M_{6}(x)}$
• двухпараметрическая орбита, включая предыдущий пример ,${\displaystyle K_{6}(x,y)}$
• трехпараметрическая орбита, включающая все предыдущие примеры ,${\displaystyle K_{6}(x,y,z)}$
• дальнейшая конструкция с четырьмя степенями свободы , дающая другие примеры, чем ,${\displaystyle G_{6}}$${\displaystyle K_{6}(x,y,z)}$
• одна точка - одна из матриц Butson типа Адамара, .${\displaystyle S_{6}\in H(3,6)}$

Однако неизвестно, является ли этот список полным, но предполагается, что это исчерпывающий (но не обязательно неизбыточный) список всех комплексных матриц Адамара порядка 6.${\displaystyle K_{6}(x,y,z),G_{6},S_{6}}$

Ссылки [ править ]

• У. Хаагеруп, Ортогональные максимальные абелевы * -подалгебры матриц размера n × n и циклические корни n, Операторные алгебры и квантовая теория поля (Рим), 1996 (Кембридж, Массачусетс: International Press), стр. 296–322.
• П. Дита, Некоторые результаты по параметризации комплексных матриц Адамара, J. ​​Phys. A: Математика. Gen 37, 5355-5374 (2004).
• F. Szollosi, Двухпараметрическое семейство сложных матриц Адамара порядка 6, индуцированных гипоциклоидами, препринт, arXiv: 0811.3930v2 [math.OA]
• W. Tadej и K. yczkowski , Краткое руководство по комплексным матрицам Адамара. Открытые системы и информация. Дин. 13 133–177 (2006)

Внешние ссылки [ править ]

• Для получения точного списка известных комплексных матриц Адамара и нескольких примеров матриц Адамара размера 7-16 см. Каталог комплексных матриц Адамара.${\displaystyle N=6}$