Матрица стрелки

В математической области линейной алгебры матрица со стрелкой - это квадратная матрица, содержащая нули во всех элементах, кроме первой строки, первого столбца и главной диагонали, эти элементы могут быть любым числом. ^{[1] [2]} Другими словами, матрица имеет вид

${\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} \, \! * & * & * & * & * \\\, \! * & * & 0 & 0 & 0 \\\, \! * & 0 & * & 0 & 0 \\\, \! * & 0 & 0 & * & 0 \\\, \! * & 0 & 0 & 0 & * \ end {bmatrix}}.}$

Любая симметричная перестановка матрицы стрелок , где P - матрица перестановок , является (переставленной) матрицей стрелок . В некоторых алгоритмах поиска собственных значений и собственных векторов используются вещественные симметричные матрицы со стрелками . ^[3]${\ displaystyle P ^ {T} AP}$

Реальные симметричные матрицы со стрелками [ править ]

Пусть A - вещественная симметричная (переставленная) матрица со стрелками вида

${\ displaystyle A = \ left [{\ begin {array} {cc} D & z \\ z ^ {T} & \ alpha \ end {array}} \ right],}$

где - диагональная матрица порядка n-1 ,${\ Displaystyle D = \ mathop {\ mathrm {diag}} (d_ {1}, d_ {2}, \ ldots, d_ {n-1})}$

${\ displaystyle z = {\ begin {bmatrix} \ zeta _ {1} & \ zeta _ {2} & \ cdots & \ zeta _ {n-1} \ end {bmatrix}} ^ {T}}$вектор и скаляр. Позволять${\ displaystyle \ alpha}$

${\ Displaystyle A = V \ Lambda V ^ {T}}$

быть собственное разложение из А , где ${\displaystyle \Lambda =\mathop {\mathrm {diag} } (\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n})}$

представляет собой диагональную матрицу, диагональные элементы которой являются собственные значения из A , и${\displaystyle V={\begin{bmatrix}v_{1}&\cdots &v_{n}\end{bmatrix}}}$

ортонормированная матрица, столбцы которой являются соответствующими собственными векторами . Имеет место следующее:

• Если для некоторого I , то пары , где является я -й стандартным базисом вектора, является собственной парой А . Таким образом, все такие строки и столбцы можно удалить, оставив матрицу со всеми .${\displaystyle \zeta _{i}=0}$${\displaystyle (d_{i},e_{i})}$${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle \zeta _{i}\neq 0}$
• Теорема Коши о чередовании подразумевает, что отсортированные собственные значения A чередуют отсортированные элементы : если (этого можно достичь симметричной перестановкой строк и столбцов без потери общности), и если s сортируются соответственно, то .${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle d_{1}\geq d_{2}\geq \cdots \geq d_{n-1}}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle \lambda _{1}\geq d_{1}\geq \lambda _{2}\geq d_{2}\geq \cdots \geq \lambda _{n-1}\geq d_{n-1}\geq \lambda _{n}}$
• Если для некоторых , это неравенство означает , что является собственным значением A . Размер проблемы можно уменьшить путем уничтожения с вращением Гивенс в плоскости и производства , как указано выше.${\displaystyle d_{i}=d_{j}}$${\displaystyle i\neq j}$${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle \zeta _{j}}$${\displaystyle (i,j)}$

Симметричные матрицы-стрелки возникают при описании безызлучательных переходов в изолированных молекулах и осцилляторах, колебательно связанных с ферми-жидкостью . ^[4]

Собственные значения и собственные векторы [ править ]

Матрица симметричной стрелки неприводима, если для всех i и для всех . Собственные значения неприводимой вещественной симметричной матрицы со стрелками - это нули секулярного уравнения${\displaystyle \zeta _{i}\neq 0}$${\displaystyle d_{i}\neq d_{j}}$${\displaystyle i\neq j}$

${\displaystyle f(\lambda )=\alpha -\lambda -\sum _{i=1}^{n-1}{\frac {\zeta _{i}^{2}}{d_{i}-\lambda }}\equiv \alpha -\lambda -z^{T}(D-\lambda I)^{-1}z=0}$

которые можно, например, вычислить методом деления пополам . Соответствующие собственные векторы равны

${\displaystyle v_{i}={\frac {x_{i}}{\|x_{i}\|_{2}}},\quad x_{i}={\begin{bmatrix}\left(D-\lambda _{i}I\right)^{-1}z\\-1\end{bmatrix}},\quad i=1,\ldots ,n.}$

Прямое применение приведенной выше формулы может дать собственные векторы, которые численно недостаточно ортогональны. ^[1] Форвард алгоритм устойчивым который вычисляет каждое собственное значение и каждый компонент соответствующего собственного вектора к почти полной точности описан в. ^[2] Julia версия программного обеспечения доступна. ^[5]

Перевернутые [ править ]

Пусть A - неприводимая вещественная симметричная матрица со стрелками. Если для некоторого i обратная матрица представляет собой переставленную неприводимую вещественную симметричную матрицу со стрелкой:${\displaystyle d_{i}=0}$

${\displaystyle A^{-1}={\begin{bmatrix}D_{1}^{-1}&w_{1}&0&0\\w_{1}^{T}&b&w_{2}^{T}&1/\zeta _{i}\\0&w_{2}&D_{2}^{-1}&0\\0&1/\zeta _{i}&0&0\end{bmatrix}}}$

где

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}D_{1}&=\mathop {\mathrm {diag} } (d_{1},d_{2},\ldots ,d_{i-1}),\\D_{2}&=\mathop {\mathrm {diag} } (d_{i+1},d_{i+2},\ldots ,d_{n-1}),\\z_{1}&={\begin{bmatrix}\zeta _{1}&\zeta _{2}&\cdots &\zeta _{i-1}\end{bmatrix}}^{T},\\z_{2}&={\begin{bmatrix}\zeta _{i+1}&\zeta _{i+2}&\cdots &\zeta _{n-1}\end{bmatrix}}^{T},\\w_{1}&=-D_{1}^{-1}z_{1}{\frac {1}{\zeta _{i}}},\\w_{2}&=-D_{2}^{-1}z_{2}{\frac {1}{\zeta _{i}}},\\b&={\frac {1}{\zeta _{i}^{2}}}\left(-a+z_{1}^{T}D_{1}^{-1}z_{1}+z_{2}^{T}D_{2}^{-1}z_{2}\right).\end{alignedat}}}$

Если для всех i обратная величина является модификацией диагональной матрицы первого ранга ( матрица диагональ плюс ранг один или DPR1 ):${\displaystyle d_{i}\neq 0}$

${\displaystyle A^{-1}={\begin{bmatrix}D^{-1}&\\&0\end{bmatrix}}+\rho uu^{T},}$

где

${\displaystyle u={\begin{bmatrix}D^{-1}z\\-1\end{bmatrix}},\quad \rho ={\frac {1}{\alpha -z^{T}D^{-1}z}}.}$

Ссылки [ править ]