Вариационная характеризация собственных значений компактных эрмитовых операторов в гильбертовых пространствах
| Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники: «Теорема мин-макс» - новости · газеты · книги · ученый · JSTOR ( ноябрь 2011 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон ) |
В линейной алгебре и функциональный анализе , в теореме минимакса , или вариационной теореме или Куранта-Фишер-Вейль минимакса принципе , является результатом , который дает вариационную характеристику собственному от компактных эрмитовых операторов в гильбертовых пространствах . Его можно рассматривать как отправную точку для многих результатов аналогичного характера.
В этой статье сначала обсуждается конечномерный случай и его приложения, а затем рассматриваются компактные операторы в бесконечномерных гильбертовых пространствах. Мы увидим, что для компактных операторов доказательство основной теоремы по существу использует ту же идею из конечномерного аргумента.
В случае, когда оператор неэрмитов, теорема обеспечивает эквивалентную характеризацию связанных сингулярных значений . Теорема min-max может быть распространена на самосопряженные операторы , ограниченные снизу.
Пусть A - эрмитова матрица размера n × n . Как и во многих других вариационных результатах о собственных значениях, рассматривается фактор Рэлея – Ритца R A : C n \ {0} → R, определяемый формулой
где (⋅, ⋅) обозначает евклидов скалярное произведение на C n . Ясно, что фактор Рэлея собственного вектора - это связанное с ним собственное значение. Эквивалентно фактор Рэлея – Ритца можно заменить на
Для эрмитовых матриц диапазон значений непрерывной функции R A ( x ) или f ( x ) является компактным подмножеством [ a , b ] вещественной прямой. Максимум b и минимум a - это наибольшее и наименьшее собственное значение A соответственно. Теорема о минимуме и максимуме является уточнением этого факта.
Теорема о минимуме и максимуме [ править ]
Пусть A - эрмитова матрица размера n × n с собственными значениями λ 1 ≤ ... ≤ λ k ≤ ... ≤ λ n, тогда
и
особенно,
и эти границы достигаются, когда x является собственным вектором соответствующих собственных значений.
Также более простая формулировка максимального собственного значения λ n дается выражением:
Аналогично, минимальное собственное значение λ 1 определяется выражением:
Доказательство -
Поскольку матрица A эрмитова, она диагонализуема, и мы можем выбрать ортонормированный базис собственных векторов { u 1 , ..., u n }, то есть u i является собственным вектором для собственного значения λ i и таким, что ( u i , u i ) = 1 и ( u i , u j ) = 0 для всех i ≠ j .
Если U - подпространство размерности k, то его пересечение с подпространством span { u k , ..., u n } не равно нулю (просто проверяя размерности), и, следовательно, в этом пересечении существует вектор v ≠ 0, который мы можно писать как
и чей фактор Рэлея равен
(как и все для i = k, .., n) и, следовательно,
Поскольку это верно для всех U, мы можем заключить, что
Это одно неравенство. Чтобы установить другое неравенство, выберем конкретное k-мерное пространство V = span { u 1 , ..., u k } , для которого
потому что является наибольшим собственным значением в V. Следовательно, также
В случае, когда U - подпространство размерности n-k + 1 , мы действуем аналогичным образом: рассмотрим подпространство размерности k , span { u 1 , ..., u k }.
Его пересечение с подпространством U не равно нулю (просто проверяя размерности), и, следовательно, существует вектор v в этом пересечении, который мы можем записать как
и чей фактор Рэлея равен
и поэтому
Поскольку это верно для всех U, мы можем заключить, что
Опять же, это одна часть уравнения. Чтобы получить другое неравенство, отметим еще раз, что собственный вектор u из содержится в U = span { u k , ..., u n }, так что мы можем заключить равенство.
Контрпример в неэрмитовом случае [ править ]
Пусть N - нильпотентная матрица
Определите фактор Рэлея точно так же, как указано выше в эрмитовом случае. Тогда легко увидеть, что единственное собственное значение N равно нулю, а максимальное значение отношения Рэлея равно1/2. То есть максимальное значение коэффициента Рэлея больше максимального собственного значения.
Приложения [ править ]
Принцип минимума-максимума для сингулярных значений [ править ]
Эти особые значения { σ K } квадратной матрицы М являются квадратными корнями из собственных значений М * М (эквивалентно ММ * ). Непосредственным следствием [ ссылка ] из первого равенства теоремы о минимуме и максимуме является:
По аналогии,
Здесь обозначается k- я запись в возрастающей последовательности σ, так что .
Теорема Коши о переплетении [ править ]
Пусть A - симметричная матрица размера n × n . М × м матрица B , где т ≤ п , называется сжатием из А , если существует ортогональная проекция Р на подпространство размерности т таким образом, что РАР * = B . Теорема Коши о переплетении гласит:
- Теорема. Если собственные значения A являются & alpha ; 1 ≤ ... ≤ & alpha ; п , и те из B являются & beta ; 1 ≤ ... ≤ & beta ; J ≤ ... ≤ & beta ; т , то для всех J ≤ м ,
Это можно доказать с помощью принципа мин-макс. Пусть β i имеет соответствующий собственный вектор b i и S j - это j- мерное подпространство S j = span { b 1 , ..., b j }, тогда
Согласно первой части min-max, α j ≤ β j . С другой стороны, если мы определим S m - j +1 = span { b j , ..., b m }, то
где последнее неравенство дается второй частью min-max.
Когда n - m = 1 , мы имеем α j ≤ β j ≤ α j +1 , отсюда и название теоремы о переплетении .
Компактные операторы [ править ]
Пусть быть компактным , эрмитов оператор в гильбертовом пространстве H . Напомним, что спектр такого оператора (набор собственных значений) - это набор действительных чисел, единственная возможная точка кластера которых равна нулю. Таким образом, удобно записать положительные собственные значения оператора A в виде
где элементы повторяются с кратностью , как в матричном случае. (Чтобы подчеркнуть, что последовательность убывает, мы можем написать .) Когда H бесконечномерно, указанная выше последовательность собственных значений обязательно бесконечна. Теперь применим те же рассуждения, что и в матричном случае. Если S k ⊂ H - k- мерное подпространство, мы можем получить следующую теорему.
- Теорема (Мин-Макс). Пусть A - компактный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве H , положительные собственные значения которого перечислены в порядке убывания ... ≤ λ k ≤ ... ≤ λ 1 . Потом:
Аналогичная пара равенств верна для отрицательных собственных значений.
Доказательство -
Пусть S ' - замыкание линейной оболочки . Подпространство S ' имеет коразмерность k - 1. По тому же аргументу, что и в случае матрицы, S' ∩ S k непусто. Итак, существует x ∈ S ' ∩ S k с . Поскольку он является элементом S ' , такой x обязательно удовлетворяет
Следовательно, для всех S k
Но A компактно, поэтому функция f ( x ) = ( Ax , x ) слабо непрерывна. Более того, любое ограниченное множество в H слабо компактно. Это позволяет нам заменить нижнюю грань на минимум:
Так
Поскольку равенство достигается, когда ,
Это первая часть теоремы о минимуме и максимуме для компактных самосопряженных операторов.
Аналогично рассмотрим теперь ( k - 1) -мерное подпространство S k −1 , ортогональное дополнение которого обозначим через S k −1 ⊥ . Если S ' = span { u 1 ... u k },
Так
Из этого следует
где применялась компактность A. Индексирование вышеизложенного по набору k-1 -мерных подпространств дает
Выберем S k −1 = span { u 1 , ..., u k −1 }, и мы выведем
Самосопряженные операторы [ править ]
Теорема min-max также применима к (возможно, неограниченным) самосопряженным операторам. [1] [2] Напомним, что существенный спектр - это спектр без изолированных конечнократных собственных значений. Иногда у нас есть собственные значения ниже существенного спектра, и мы хотели бы аппроксимировать собственные значения и собственные функции.
- Теорема (Мин-Макс). Пусть A самосопряжен, и пусть - собственные значения A ниже существенного спектра. потом
.
Если у нас есть только N собственных значений и, следовательно, у нас закончились собственные значения, то мы позволяем (нижняя часть существенного спектра) для n> N , и приведенное выше утверждение выполняется после замены min-max на inf-sup.
- Теорема (Макс-Мин). Пусть A самосопряжен, и пусть - собственные значения A ниже существенного спектра. потом
.
Если у нас есть только N собственных значений и, следовательно, у нас закончились собственные значения, то мы позволяем (нижняя часть существенного спектра) для n> N , и приведенное выше утверждение выполняется после замены max-min на sup-inf.
Доказательства [1] [2] используют следующие результаты о самосопряженных операторах:
- Теорема. Пусть A самосопряжен. Тогда для тогда и только тогда . [1] : 77
- Теорема. Если A самосопряженный, то
и
. [1] : 77
См. Также [ править ]
- Принцип минимакса Куранта
- Неравенство макс – мин.
Ссылки [ править ]
- ^ a b c d Г. Тешль, Математические методы в квантовой механике (GSM 99) https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/schroe.pdf
- ^ а б Либ; Утрата (2001). Анализ . GSM. 14 (2-е изд.). Провиденс: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-2783-9.
- М. Рид и Б. Саймон, Методы современной математической физики IV: Анализ операторов , Academic Press, 1978.
|
- Банах
- Бесов
- Фреше
- Гильберта
- Hölder
- Ядерная
- Орлич
- Шварц
- Соболев
- топологический вектор
| - ствол
- полный
- дуальный ( алгебраический / топологический )
- локально выпуклый
- рефлексивный
- отделяемый
|
|
- Хан-Банах
- закрытый график
- принцип равномерной ограниченности
- Фиксированная точка Какутани
- Крейн – Мильман
- мин Макс
- Гельфанд – Наймарк
- Банах – Алаоглу
|
- прилегающий
- ограниченный
- компактный
- Гильберта-Шмидта
- нормальный
- ядерный
- класс трассировки
- неограниченный
- унитарный
|
- Банахова алгебра
- C * -алгебра
- спектр C * -алгебры
- операторная алгебра
- групповая алгебра локально компактной группы
- алгебра фон Неймана
|
- проблема инвариантного подпространства
- Гипотеза Малера
|
- Харди космос
- спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений
- тепловое ядро
- теорема об индексе
- вариационное исчисление
- функциональное исчисление
- интегральный оператор
- Многочлен Джонса
- топологическая квантовая теория поля
- некоммутативная геометрия
- Гипотеза Римана
- распределение (или обобщенные функции )
|
- свойство аппроксимации
- сбалансированный набор
- слабая топология
- Расстояние Банаха – Мазура
- Теория Томиты – Такесаки
|
|
- Абстрактное винеровское пространство
- Анализ векторнозначных кривых
- Пространство Бохнера
- Выпуклый ряд
|
- Дифференцируемые вектор-функции из евклидова пространства
- Дифференцирование в пространствах Фреше.
- Фреше
- Gateaux
- функциональный
- голоморфный
- квази
|
- Меры ( Лебег
- Прогнозно-оцененный
- Вектор )
- Слабо / сильно измеримая функция
|
- Бохнер
- Данфорд
- Петтис / Гельфанд – Петтис / Слабый
- регулируемый
- Пейли-Винер
|
- Теорема об обратной функции ( теорема Нэша – Мозера )
|
- Функциональное исчисление Бореля
- Непрерывное функциональное исчисление
- Голоморфное функциональное исчисление
|
|
- Инволюция / * - алгебра
- Банахова алгебра
- B * -алгебра
- C * -алгебра
- Некоммутативная топология
- Прогнозно-оценочная мера
- Спектр
- Спектр C * -алгебры
- Спектральный радиус
- Операторское пространство
|
- Теорема Гельфанда – Мазура.
- Теорема Гельфанда – Наймарка.
- Представительство Гельфанда
- Полярное разложение
- Разложение по сингулярным числам
- Спектральная теорема
- Спектральная теория нормальных C * -алгебр
|
- Изоспектральный
- Нормальный оператор
- Эрмитов / самосопряженный оператор
- Унитарный оператор
- Единица измерения
|
- Теорема Крейна – Рутмана.
- Нормальное собственное значение
- Спектр C * -алгебры
- Спектральный радиус
- Спектральная асимметрия
- Спектральный промежуток
|
- ( Непрерывный
- Точка
- Остаточный )
- Примерная точка
- Сжатие
- Дискретный
- Спектральная абсцисса
|
- Функциональное исчисление Бореля
- Теорема мин-макс
- Прогнозно-оценочная мера
- Проектор Рисса
- Оснащенное гильбертово пространство
- Спектральная теорема
- Спектральная теория компактных операторов
- Спектральная теория нормальных C * -алгебр
|
- Аменабельная банахова алгебра
- С приблизительной идентичностью
- Банахова функциональная алгебра
- Дисковая алгебра
- Равномерная алгебра
|
- Граница Алон – Боппана
- Теорема Бауэра – Фике.
- Числовой диапазон
- Теорема Шура – Хорна
|
- Спектр Дирака
- Основной спектр
- Псевдоспектр
- Структурное пространство ( граница Шилова )
|
- Абстрактная индексная группа
- Когомологии банаховой алгебры
- Теорема факторизации Коэна – Хьюитта
- Расширения симметричных операторов
- Принцип ограничения поглощения
- Неограниченный оператор
|
|
- Оператор почти Матье
- Теорема короны
- Слушание формы барабана ( собственное значение Дирихле )
- Тепловое ядро
- Формула следа Кузнецова
- Слабая пара
- Функция прото-значения
- График Рамануджана
- Неравенство Рэлея – Фабера – Крана.
- Спектральная геометрия
- Спектральный метод
- Спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений
- Теория Штурма – Лиувилля
- Сверхсильное приближение
- Оператор трансфера
- Теория трансформации
- Закон Вейля
|