Особое значение

В математике , в частности , функционального анализа , то сингулярные значения , либо ев -чисел из более компактного оператора T  : X → Y , действующее между гильбертовых пространств Х и Y , являются квадратные корни из неотрицательных собственных значений оператора самосопряженная T ^* T (где T ^* обозначает сопряженный к T ).

Сингулярные значения представляют собой неотрицательные действительные числа , обычно перечисленные в порядке убывания ( s ₁ ( T ), s ₂ ( T ),…). По величине сингулярного значение s ₁ ( Т ) равно операторной норме от Т (см Мин-макс теоремы ).

Визуализация сингулярного разложения (SVD) из 2-мерного, в режиме реального сдвига матрицы М . Сначала мы видим единичный диск синим цветом вместе с двумя каноническими единичными векторами . Затем мы видим действие M , которое искажает диск в виде эллипса . СВД распадается М на три простых преобразований: а вращение V ^* , A масштабирование Σ вдоль осей координат повернутой и второй поворот U . Σ - диагональная матрица, содержащая на своей диагонали сингулярные значения M , которые представляют длиныσ ₁ и σ ₂ из полуосей эллипса.

Если Т действует на евклидовом пространстве R ^п , существует простая геометрическая интерпретация сингулярных значений: Рассмотрим изображение на Т из единичной сферы ; это эллипсоид , и длины его полуосей являются сингулярными значениями T (на рисунке показан пример в R ² ).

Особые значения являются абсолютными значениями собственных значений одного нормальной матрица А , потому что спектральная теорема может быть применена для получения унитарной диагонализации А , как A = U Л U ^* . Поэтому .${\ textstyle {\ sqrt {A ^ {*} A}} = {\ sqrt {U \ Lambda ^ {*} \ Lambda U ^ {*}}} = U \ left | \ Lambda \ right | U ^ {* }}$

Большинство изучаемых норм на операторах гильбертова пространства определяется с помощью s- чисел. Например, штат Кентукки вентилятор - к -норму является суммой первых K сингулярных значений, норма следа есть сумма всех сингулярных значений, а норма Шаттена является р - й корнем из суммы р х степеней сингулярного значения. Обратите внимание, что каждая норма определена только для специального класса операторов, поэтому s- числа полезны при классификации различных операторов.

В конечномерном случае матрица всегда может быть разложена в виде U Σ V ^* , где U и V ^* - унитарные матрицы, а Σ - диагональная матрица с сингулярными значениями, лежащими на диагонали. Это разложение по сингулярным числам .

Основные свойства [ править ]

Для , и .${\ displaystyle A \ in \ mathbb {C} ^ {m \ times n}}$${\displaystyle i=1,2,\ldots ,\min\{m,n\}}$

Теорема мин-макс для сингулярных чисел . Вот подпространство размерности .${\displaystyle U:\dim(U)=i}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{i}(A)&=\min _{\dim(U)=n-i+1}\max _{\underset {\|x\|_{2}=1}{x\in U}}\left\|Ax\right\|_{2}.\\\sigma _{i}(A)&=\max _{\dim(U)=i}\min _{\underset {\|x\|_{2}=1}{x\in U}}\left\|Ax\right\|_{2}.\end{aligned}}}$

Транспонирование и сопряжение матрицы не изменяют сингулярные значения.

${\displaystyle \sigma _{i}(A)=\sigma _{i}\left(A^{\textsf {T}}\right)=\sigma _{i}\left(A^{*}\right)=\sigma _{i}\left({\bar {A}}\right).}$

Для любого унитарного ${\displaystyle U\in \mathbb {C} ^{m\times m},V\in \mathbb {C} ^{n\times n}.}$

${\displaystyle \sigma _{i}(A)=\sigma _{i}(UAV).}$

Отношение к собственным значениям:

${\displaystyle \sigma _{i}^{2}(A)=\lambda _{i}\left(AA^{*}\right)=\lambda _{i}\left(A^{*}A\right).}$

Неравенства относительно сингулярных значений [ править ]

Смотрите также. ^[1]

Сингулярные значения подматриц [ править ]

Для ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n}.}$

1. Позвольте обозначить с удалением одной из его строк или столбцов. потом${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$

   ${\displaystyle \sigma _{i+1}(A)\leq \sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(A)}$

2. Позвольте обозначить с удалением одной из его строк и столбцов. потом${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$

   ${\displaystyle \sigma _{i+2}(A)\leq \sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(A)}$

3. Позвольте обозначить подматрицу . потом${\displaystyle B}$${\displaystyle (m-k)\times (n-l)}$${\displaystyle A}$

   ${\displaystyle \sigma _{i+k+l}(A)\leq \sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(A)}$

Особые значения A + B [ править ]

Для ${\displaystyle A,B\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$

1. ${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}(A+B)\leq \sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}(A)+\sigma _{i}(B),\quad k=\min\{m,n\}}$
2. ${\displaystyle \sigma _{i+j-1}(A+B)\leq \sigma _{i}(A)+\sigma _{j}(B).\quad i,j\in \mathbb {N} ,\ i+j-1\leq \min\{m,n\}}$

Особые значения AB [ править ]

Для ${\displaystyle A,B\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$

1. ${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{i=n}^{i=n-k+1}\sigma _{i}(A)\sigma _{i}(B)&\leq \prod _{i=n}^{i=n-k+1}\sigma _{i}(AB)\\\prod _{i=1}^{k}\sigma _{i}(AB)&\leq \prod _{i=1}^{k}\sigma _{i}(A)\sigma _{i}(B),\\\sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{p}(AB)&\leq \sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{p}(A)\sigma _{i}^{p}(B),\end{aligned}}}$
2. ${\displaystyle \sigma _{n}(A)\sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(AB)\leq \sigma _{1}(A)\sigma _{i}(B)\quad i=1,2,\ldots ,n.}$

Для ^[2]${\displaystyle A,B\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$

${\displaystyle 2\sigma _{i}(AB^{*})\leq \sigma _{i}\left(A^{*}A+B^{*}B\right),\quad i=1,2,\ldots ,n.}$

Сингулярные значения и собственные значения [ править ]

Для .${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$

1. См. ^[3]

   ${\displaystyle \lambda _{i}\left(A+A^{*}\right)\leq 2\sigma _{i}(A),\quad i=1,2,\ldots ,n.}$

2. Допустим . Тогда для :${\displaystyle \left|\lambda _{1}(A)\right|\geq \cdots \geq \left|\lambda _{n}(A)\right|}$${\displaystyle k=1,2,\ldots ,n}$
   1. Теорема Вейля

      ${\displaystyle \prod _{i=1}^{k}\left|\lambda _{i}(A)\right|\leq \prod _{i=1}^{k}\sigma _{i}(A).}$

   2. Для .${\displaystyle p>0}$

      ${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left|\lambda _{i}^{p}(A)\right|\leq \sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{p}(A).}$

История [ править ]

Это понятие было введено Эрхардом Шмидтом в 1907 году. Шмидт в то время называл сингулярные значения «собственными значениями». Название «сингулярное значение» было первым цитируемый Smithies в 1937 г. В 1957 г. Аллахвердиев доказал следующую характеристику п е s -количество ^[1] :

${\displaystyle s_{n}(T)=\inf {\big \{}\,\|T-L\|:L{\text{ is an operator of finite rank }}<n\,{\big \}}.}$

Эта формулировка позволила распространить понятие s- чисел на операторы в банаховом пространстве .

См. Также [ править ]

• Номер условия
• Теорема Коши о переплетении или теорема Пуанкаре об отделимости
• Теорема Шура – ​​Хорна
• Разложение по сингулярным числам

Ссылки [ править ]

1. ^ IC GohbergиMG Крейн. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 1969. Перевод с русского А. Файнштейна. Переводы математических монографий, Vol. 18.