Диагонально доминирующая матрица

В математике квадратная матрица считается доминирующей по диагонали, если для каждой строки матрицы величина диагонального элемента в строке больше или равна сумме значений всех остальных (недиагональных) записи в этой строке. Точнее, матрица A диагонально доминирует, если

${\ displaystyle | a_ {ii} | \ geq \ sum _ {j \ neq i} | a_ {ij} | \ quad {\ text {для всех}} i, \,}$

где a _ij обозначает запись в i- й строке и j- м столбце.

Обратите внимание, что в этом определении используется слабое неравенство, поэтому его иногда называют слабым диагональным преобладанием . Если используется строгое неравенство (>), это называется строгим диагональным преобладанием . Неопределенный термин диагональное доминирование может означать как строгое, так и слабое диагональное доминирование, в зависимости от контекста. ^[1]

Варианты [ править ]

Определение в первом абзаце суммирует записи по строкам. Поэтому его иногда называют диагональным преобладанием строк . Если изменить определение, чтобы суммировать столбцы, это называется диагональным преобладанием столбцов .

Любая строго диагонально-доминирующая матрица тривиально является слабо связанной диагонально-доминирующей матрицей . Слабо связанные матрицы с диагональным преобладанием неособые и включают семейство матриц с несократимым диагональным преобладанием . Это неприводимые матрицы, которые слабо диагонально доминируют, но строго диагонально доминируют хотя бы в одной строке.

Примеры [ править ]

Матрица

${\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 3 & -2 & 1 \\ 1 & -3 & 2 \\ - 1 & 2 & 4 \ end {bmatrix}}}$

доминирует по диагонали, потому что

${\ displaystyle | a_ {11} | \ geq | a_ {12} | + | a_ {13} |}$   поскольку   ${\ displaystyle | +3 | \ geq | -2 | + | +1 |}$

${\ displaystyle | a_ {22} | \ geq | a_ {21} | + | a_ {23} |}$   поскольку   ${\ displaystyle | -3 | \ geq | +1 | + | +2 |}$

${\displaystyle |a_{33}|\geq |a_{31}|+|a_{32}|}$   с тех пор   .${\displaystyle |+4|\geq |-1|+|+2|}$

Матрица

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}-2&2&1\\1&3&2\\1&-2&0\end{bmatrix}}}$

это не по диагонали доминирующим , поскольку

${\displaystyle |b_{11}|<|b_{12}|+|b_{13}|}$   поскольку   ${\displaystyle |-2|<|+2|+|+1|}$

${\displaystyle |b_{22}|\geq |b_{21}|+|b_{23}|}$   поскольку   ${\displaystyle |+3|\geq |+1|+|+2|}$

${\displaystyle |b_{33}|<|b_{31}|+|b_{32}|}$   с тех пор   .${\displaystyle |+0|<|+1|+|-2|}$

То есть первая и третья строки не удовлетворяют условию диагонального доминирования.

Матрица

${\displaystyle C={\begin{bmatrix}-4&2&1\\1&6&2\\1&-2&5\end{bmatrix}}}$

является строго диагонально доминирующими , потому что

${\displaystyle |c_{11}|>|c_{12}|+|c_{13}|}$   поскольку   ${\displaystyle |-4|>|+2|+|+1|}$

${\displaystyle |c_{22}|>|c_{21}|+|c_{23}|}$   поскольку   ${\displaystyle |+6|>|+1|+|+2|}$

${\displaystyle |c_{33}|>|c_{31}|+|c_{32}|}$   с тех пор   .${\displaystyle |+5|>|+1|+|-2|}$

Приложения и свойства [ править ]

Строго диагонально доминирующая матрица (или несократимо диагонально доминирующая матрица ^[2] ) неособа . Этот результат известен как теорема Леви – Деспланка. ^[3]

Доказательство . Предположим, что матрица A строго диагонально доминирует и ненулевой вектор такой, что . Пусть i будет таким, чтобы оно было максимальным по модулю. потом${\displaystyle v=(v_{1},\ldots ,v_{n})}$${\displaystyle Av=0}$${\displaystyle v_{i}}$

${\displaystyle |(Av)_{i}|=\left|\sum _{j=1}^{n}A_{ij}v_{j}\right|\geq |A_{ii}||v_{i}|-\sum _{j\neq i}|A_{ij}||v_{j}|\geq |v_{i}|\left(|A_{ii}|-\sum _{j\neq i}|A_{ij}|\right)>0,}$

что противоречит гипотезе.

Эрмитова диагональное преобладание с вещественными неотрицательными диагональными элементами является неотрицательно .${\displaystyle A}$

Доказательство . Пусть диагональная матрица содержит диагональные элементы матрицы . Подключите и через сегмент матриц . Этот сегмент состоит из строго по диагонали таким образом , доминирующих (невырожденных) матриц, за исключением , может быть , для . Это показывает это . Применяя этот аргумент к минорам из , положительная полуопределенности следует по критерию Сильвестра .${\displaystyle D}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle D+I}$${\displaystyle M(t)=(1-t)(D+I)+tA}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathrm {det} (A)\geq 0}$${\displaystyle A}$

Если исключить требование симметрии, такая матрица не обязательно будет положительно полуопределенной. Например, рассмотрим

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-2&2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1&0\\1&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-2\\2\\1\end{pmatrix}}<0.}$

Однако действительные части его собственных значений остаются неотрицательными по теореме Гершгорина о круге .

Точно так же эрмитова матрица со строго диагональным преобладанием и действительными положительными диагональными элементами является положительно определенной , так как она равна сумме некоторой эрмитовой матрицы с диагональным преобладанием и действительными неотрицательными диагональными элементами (которая является положительно полуопределенной) и некоторого положительного действительного числа (которое положительно определен).${\displaystyle A}$${\displaystyle xI}$${\displaystyle x}$

При выполнении исключения Гаусса (факторизация LU) не требуется (частичный) поворот для матрицы с строго диагональным преобладанием столбцов .

В якобиевы и методы Гаусса-Зейделя для решения линейной системы сходится , если матрица строго (или неснижаемо) по диагонали доминирующим.

Многие матрицы, возникающие в методах конечных элементов, имеют диагональное преобладание.

Небольшая вариация идеи диагонального преобладания используется для доказательства невырожденности спаривания на диаграммах без петель в алгебре Темперли – Либа . ^[4] Для матрицы с полиномиальными элементами одно разумное определение диагонального преобладания состоит в том, что наибольшая степень появления в каждой строке появляется только на диагонали. (Оценки такой матрицы при больших значениях являются диагонально доминирующими в указанном выше смысле.)${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Голуб, Джин Х .; Ван Лоан, Чарльз Ф. (1996). Матричные вычисления . ISBN 0-8018-5414-8.
• Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (1985). Матричный анализ (изд. В мягкой обложке). Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-38632-2.

Внешние ссылки [ править ]

• PlanetMath: определение диагонального доминирования
• PlanetMath: свойства диагонально доминирующих матриц
• Mathworld