В математике, критерий Сильвестра является необходимым и достаточным критерием для определения того , эрмитова матрица является положительно определенной . Он назван в честь Джеймса Джозефа Сильвестра .
Критерий Сильвестра утверждает, что эрмитова матрица M размера n × n положительно определена тогда и только тогда, когда все следующие матрицы имеют положительный определитель :
- верхний левый угол 1 на 1 M ,
- левый верхний угол 2 на 2 буквы M ,
- левый верхний угол 3 на 3 буквы M ,
- M сама.
Другими словами, все ведущие основные несовершеннолетние должны быть положительными. Используя соответствующие перестановки строк и столбцов M , можно также показать, что положительность любой вложенной последовательности из n главных миноров M эквивалентна положительно определенности M. [1]
Аналогичная теорема имеет место не для характеристики положительных полуопределенных эрмитовых матриц, за исключением того, что это уже не достаточно , чтобы рассматривать только ведущие главные миноры: эрмитова матрица M положительно полуопределенная тогда и только тогда , когда все главные миноры из М неотрицательны. [2] [3]
Доказательство
Доказательство предназначено только для невырожденной эрмитовой матрицы с коэффициентами в, поэтому только для невырожденных вещественно-симметричных матриц.
Положительно определенная или полуопределенная матрица: симметричная матрица A , собственные значения которой положительны ( λ > 0), называется положительно определенной , а когда собственные значения просто неотрицательны ( λ ≥ 0), A называется положительно полуопределенной .
Теорема I: вещественно-симметричная матрица A имеет неотрицательные собственные значения тогда и только тогда, когда A можно факторизовать как A = B T B , и все собственные значения положительны тогда и только тогда, когда B невырожден. [4]
Доказательство: | Прямая импликация: если A ∈ R n × n симметрична, то по спектральной теореме существует ортогональная матрица P такая, что A = PDP T , где D = diag ( λ 1 , λ 2 , ..., λ n ) реально диагональная матрица с элементами быть собственные A и P таково , что ее столбцы являются собственными векторами A . Если λ i ≥ 0 для каждого i , то D 1/2 существует, поэтому A = PDP T = PD 1/2 D 1/2 P T = B T B для B = D 1/2 P T и λ i > 0 для каждого i тогда и только тогда, когда B невырожден. Обратная импликация: наоборот, если A можно разложить на множители как A = B T B , то все собственные значения A неотрицательны, потому что для любой собственной пары ( λ , x ): |
Теорема II (разложение Холецкого): симметричная матрица A имеет положительные точки поворота тогда и только тогда, когда A можно однозначно разложить на множители как A = R T R , где R - верхнетреугольная матрица с положительными диагональными элементами. Это известно как разложение Холецкого из A , и R называется фактор Холецкого из A . [5]
Доказательство: | Форвард вывод: Если имеет положительные опорные точки (поэтому обладает LU разложение: = L · U «), то она имеет LDU разложение = LDU = ЛНП Т , в которой D = DIAG ( U 11 , ¯u 22 ,. ..., u nn ) - диагональная матрица, содержащая стержни u ii > 0. По единственности свойством LDU разложения, симметрия A выходов: U = L T , следовательно , = LDU = ЛНП T . Установка R = D 1/2 L T, где D 1/2 = diag () дает желаемую факторизацию, потому что A = LD 1/2 D 1/2 L T = R T R , а R - верхний треугольник с положительными диагональными элементами. Обратная импликация: наоборот, если A = RR T , где R - нижний треугольник с положительной диагональю, то факторизация диагональных элементов из R выполняется следующим образом: R = LD , где L - нижняя треугольная матрица с единичной диагональю, а D - диагональная матрица, диагональными элементами которой являются r ii . Следовательно, D имеет положительную диагональ и, следовательно, D неособа. Следовательно, D 2 - невырожденная диагональная матрица. Кроме того, L T - это верхнетреугольная матрица с единичной диагональю. Следовательно, A = LD 2 L T является факторизацией LDU для A , и, следовательно, точки поворота должны быть положительными, поскольку они являются диагональными элементами в D 2 . Единственность разложения Холецкого: если у нас есть другое разложение Холецкого A = R 1 R 1 T матрицы A , где R 1 - нижний треугольник с положительной диагональю, то, как и в предыдущем случае, мы можем написать R 1 = L 1 D 1 , где L 1 - это нижняя треугольная матрица с единичной диагональю, а D 1 - диагональная матрица, диагональные элементы которой совпадают с соответствующими диагональными элементами R 1 . Следовательно, = L 1 D 1 2 л 1 Т представляет собой LDU факторизации для A . Ввиду уникальности LDU- факторизации A имеем L 1 = L и D 1 2 = D 2 . Поскольку и D 1 и D являются диагональные матрицы с положительными диагональными элементами, мы имеем D 1 = D . Следовательно , R 1 = L 1 D 1 = LD = R . Следовательно, A имеет единственное разложение Холецкого. |
Теорема III: Пусть к быть к × к ведущим основным подматрица А п × п . Если A имеет LU- факторизацию A = LU , где L - нижнетреугольная матрица с единичной диагональю, то det ( A k ) = u 11 u 22 · · · u kk , а k -я точка опоры равна u kk = det ( A 1 ) = a 11 для k = 1, u kk = det ( A k ) / det ( A k −1 ) для k = 2, 3,. . . , n , где u kk - ( k , k ) -й элемент U для всех k = 1, 2,. . . , п . [6]
Комбинируя теорему II с теоремой III, получаем:
Утверждение I: если симметричная матрица A может быть разложена на множители как A = R T R, где R - верхнетреугольная матрица с положительными диагональными элементами, то все стержни матрицы A положительны (по теореме II ), поэтому все главные главные миноры группы A положительны (по теореме III ).
Утверждение II: если невырожденная симметричная матрица A размера n × n может быть разложена на множители как, то QR-разложение (тесно связанное с процессом Грама-Шмидта ) B ( B = QR ) дает:, Где Q является ортогональной матрицей и R является верхней треугольной матрицей .
Поскольку A неособо и, отсюда следует, что все диагональные элементы R отличны от нуля. Пусть r jj будет ( j , j ) -м элементом R для всех j = 1, 2,. . . , п . Тогда r jj ≠ 0 для всех j = 1, 2,. . . , п .
Пусть F - диагональная матрица, и пусть f jj - ( j , j ) -й элемент матрицы F для всех j = 1, 2,. . . , п . Для всех j = 1, 2,. . . , n , полагаем f jj = 1, если r jj > 0, и полагаем f jj = -1, если r jj <0. Тогда, единичная матрица размера n × n .
Пусть S = FR . Тогда S - верхнетреугольная матрица, все диагональные элементы которой положительны. Следовательно, мы имеем, для некоторой верхнетреугольной матрицы S, у которой все диагональные элементы положительны.
А именно Ведомость II требует несингулярности симметричной матрицы A .
Комбинируя теорему I с утверждением I и утверждением II, получаем:
Утверждение III: если вещественно-симметричная матрица A положительно определена, то A обладает факторизацией вида A = B T B , где B невырождена ( теорема I ), из выражения A = B T B следует, что A обладает факторизацией вида A = R T R, где R - верхнетреугольная матрица с положительными диагональными элементами ( утверждение II ), поэтому все старшие главные миноры матрицы A положительны ( утверждение I ).
Другими словами, утверждение III доказывает «только если» часть критерия Сильвестра для неособых вещественно-симметричных матриц.
Критерий Сильвестра: Реальная симметричная матрица положительно определена тогда и только тогда , когда все ведущие главные миноры А положительны.
Заметки
- ^ Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (1985), Матричный анализ , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-38632-6. См. Теорему 7.2.5.
- ^ Карл Д. Мейер, Матричный анализ и прикладная линейная алгебра. См. Раздел 7.6 Положительно определенные матрицы , стр. 566.
- ^ Пруссинг, Джон Э. (1986), «Главный минорный тест для полуопределенных матриц» (PDF) , Journal of Guidance, Control, and Dynamics , 9 (1): 121–122, заархивировано из оригинала (PDF) на 2017 - 01.07 , дата обращения 28.09.2017
- ^ Карл Д. Мейер, Матричный анализ и прикладная линейная алгебра. См. Раздел 7.6 Положительно определенные матрицы , стр. 558.
- ^ Карл Д. Мейер, Матричный анализ и прикладная линейная алгебра. См. Раздел 3.10 Факторизация LU , Пример 3.10.7 , стр. 154
- ^ Карл Д. Мейер, Матричный анализ и прикладная линейная алгебра. См. Раздел 6.1 Детерминанты , упражнение 6.1.16 , с. 474.
Рекомендации
- Гилберт, Джордж Т. (1991), "Положительно определенные матрицы и критерий Сильвестра", Американский Математический Месячный , Математическая ассоциация Америки, 98 (1): 44-46, DOI : 10,2307 / 2324036 , ISSN 0002-9890 , JSTOR 2324036.
- Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (1985), Матричный анализ , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-38632-6. Теорема 7.2.5.
- Карл Д. Мейер, Матричный анализ и прикладная линейная алгебра , SIAM , ISBN 0-89871-454-0.