Альтернантная матрица

В линейной алгебре , матрица альтернантна является матрица формируется посредством применения конечного списка функций точечны к фиксированному колонку входов. Альтернантный определитель - это определитель квадратной альтернативной матрицы.

Как правило, если - функции из набора в поле , и , тогда альтернативная матрица имеет размер и определяется как${\ displaystyle f_ {1}, f_ {2}, \ dots, f_ {n}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle {\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ ldots, \ alpha _ {m}} \ in X}$${\ Displaystyle м \ раз п}$

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}f_{1}(\alpha _{1})&f_{2}(\alpha _{1})&\cdots &f_{n}(\alpha _{1})\\f_{1}(\alpha _{2})&f_{2}(\alpha _{2})&\cdots &f_{n}(\alpha _{2})\\f_{1}(\alpha _{3})&f_{2}(\alpha _{3})&\cdots &f_{n}(\alpha _{3})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}(\alpha _{m})&f_{2}(\alpha _{m})&\cdots &f_{n}(\alpha _{m})\\\end{bmatrix}}}$

или, более компактно, . (Некоторые авторы используют транспонирование вышеуказанной матрицы.) Примеры альтернативных матриц включают матрицы Вандермонда , для которых , и матрицы Мура , для которых .${\displaystyle M_{ij}=f_{j}(\alpha _{i})}$${\displaystyle f_{j}(\alpha )=\alpha ^{j-1}}$${\displaystyle f_{j}(\alpha )=\alpha ^{q^{j-1}}}$

Свойства [ править ]

• Альтернант может использоваться для проверки линейной независимости функций в функциональном пространстве . Например, пусть , и выбрать . Тогда альтернант - это матрица, а альтернативный определитель - это . Следовательно, M обратима, и векторы образуют основу для своего остовного множества: в частности, и линейно независимы.${\displaystyle f_{1},f_{2},\dots ,f_{n}}$${\displaystyle f_{1}(x)=\sin(x)}$ ${\displaystyle f_{2}(x)=\cos(x)}$${\displaystyle \alpha _{1}=0,\alpha _{2}=\pi /2}$${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}\right]}$${\displaystyle -1\neq 0}$${\displaystyle \{\sin(x),\cos(x)\}}$${\displaystyle \sin(x)}$${\displaystyle \cos(x)}$

• Линейная зависимость столбцов альтернативы не означает, что функции линейно зависят в функциональном пространстве. Например, пусть , и выбрать . Тогда альтернант равен, а определитель альтернативы равен 0, но мы уже видели это и линейно независимы.${\displaystyle f_{1}(x)=\sin(x)}$ ${\displaystyle f_{2}=\cos(x)}$${\displaystyle \alpha _{1}=0,\alpha _{2}=\pi }$${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1\\0&-1\end{smallmatrix}}\right]}$${\displaystyle \sin(x)}$${\displaystyle \cos(x)}$

• Несмотря на это, альтернант можно использовать для поиска линейной зависимости, если уже известно, что она существует. Например, мы знаем из теории дробей, что существуют действительные числа A и B, для которых . Выбор , , и , мы получаем альтернантны . Следовательно, находится в нулевом пространстве матрицы: то есть . Переход к другой части уравнения дает разложение на частную дробь .${\displaystyle {\frac {A}{x+1}}+{\frac {B}{x+2}}={\frac {1}{(x+1)(x+2)}}}$${\displaystyle f_{1}(x)={\frac {1}{x+1}}}$ ${\displaystyle f_{2}(x)={\frac {1}{x+2}}}$ ${\displaystyle f_{3}(x)={\frac {1}{(x+1)(x+2)}}}$${\displaystyle (\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3})=(1,2,3)}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1/2&1/3&1/6\\1/3&1/4&1/12\\1/4&1/5&1/20\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&-1\\0&0&0\end{bmatrix}}}$${\displaystyle (1,-1,-1)}$${\displaystyle f_{1}-f_{2}-f_{3}=0}$${\displaystyle f_{3}}$${\displaystyle A=1,B=-1}$

• Если и для любого , то определитель альтернативы равен нулю (при повторении строки).${\displaystyle n=m}$${\displaystyle \alpha _{i}=\alpha _{j}}$${\displaystyle i\neq j}$

• Если и все функции являются многочленами, то альтернативный определитель делит для всех . В частности, если V - матрица Вандермонда , то делит такие полиномиальные альтернативные определители. Таким образом, отношение является полиномом, называемым двунаправленным параметром . Щур многочлен классически определяются как bialternant многочленов .${\displaystyle n=m}$${\displaystyle f_{j}(x)}$${\displaystyle (\alpha _{j}-\alpha _{i})}$${\displaystyle 1\leq i<j\leq n}$${\textstyle \prod _{i<j}(\alpha _{j}-\alpha _{i})=\det V}$${\textstyle {\frac {\det M}{\det V}}}$${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{m}}$ ${\displaystyle s_{(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})}}$${\displaystyle f_{j}(x)=x^{\lambda _{j}}}$

Приложения [ править ]

• Альтернантные матрицы используются в теории кодирования при построении альтернативных кодов .

См. Также [ править ]

• Список матриц
• Вронскиан

Ссылки [ править ]

• Томас Мьюир (1960). Трактат по теории детерминант . Dover Publications . С.  321 –363. CS1 maint: discouraged parameter (link)
• AC Aitken (1956). Детерминанты и матрицы . Оливер и Бойд Лтд., Стр. 111–123. CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Ричард П. Стэнли (1999). Перечислительная комбинаторика . Издательство Кембриджского университета . стр.  334 -342. CS1 maint: discouraged parameter (link)