Разложение на частичную дробь

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Сентябрь 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В алгебре , то частичное разложение фракции или частичное разложение фракции из рациональной дроби (то есть фракции таким образом, что числитель и знаменатель являются полиномами ) представляет собой операция , которая заключается в выражении фракции в виде суммы многочлена (возможно , нулевых ) и одной или нескольких дробей с более простым знаменателем. ^[1]

Важность разложения на частичную дробь заключается в том, что оно предоставляет алгоритмы для различных вычислений с рациональными функциями , включая явное вычисление первообразных , ^[2] разложения в ряды Тейлора , обратные Z-преобразования и обратные преобразования Лапласа . Эта концепция была независимо открыта в 1702 году Иоганном Бернулли и Готфридом Лейбницем . ^[3]

В символах, частичное разложение дроби рациональной дроби формы, где f и g - многочлены, является его выражением как${\ Displaystyle \ textstyle {\ гидроразрыва {е (х)} {г (х)}},}$

${\ displaystyle {\ frac {f (x)} {g (x)}} = p (x) + \ sum _ {j} {\ frac {f_ {j} (x)} {g_ {j} (x )}}}$

где р ( х ) есть полином, и для каждого J , то знаменатель г _J ( х ) является мощностью из неприводимого полинома (который не факторизуем в многочлены положительных степеней), а числитель х _J ( х ) является многочлен меньшей степени, чем степень этого неприводимого многочлена.

Когда используются явные вычисления, часто предпочтительнее более грубое разложение, которое состоит из замены «неприводимого полинома» на « полином без квадратов » в описании результата. Это позволяет заменить полиномиальную факторизацию гораздо более простой вычисляемой факторизацией без квадратов . Этого достаточно для большинства приложений и позволяет избежать введения иррациональных коэффициентов, когда коэффициенты входных полиномов являются целыми или рациональными числами .

Основные принципы [ править ]

Позволять

${\displaystyle R(x)={\frac {F}{G}}}$

- рациональная дробь , где F и G - одномерные многочлены от неопределенного x . Существование дроби можно доказать, индуктивно применяя следующие шаги редукции.

Полиномиальная часть [ править ]

Существуют два полинома E и F ₁ такие, что

${\displaystyle {\frac {F}{G}}=E+{\frac {F_{1}}{G}},}$

и

${\displaystyle \deg F_{1}<\deg G,}$

где обозначает степень полинома P .${\displaystyle \deg P}$

Это немедленно вытекает из евклидовой деления из F по G , которая утверждает существование Е и F ₁ таким образом, что и${\displaystyle F=EG+F_{1}}$${\displaystyle \deg F_{1}<\deg G.}$

Это позволяет предположить на следующих этапах, что ${\displaystyle \deg F<\deg G.}$

Коэффициенты знаменателя [ править ]

Если и ${\displaystyle \deg F<\deg G,}$

${\displaystyle G=G_{1}G_{2},}$

где G ₁ и G ₂ - взаимно простые многочлены , то существуют многочлены и такие, что${\displaystyle F_{1}}$${\displaystyle F_{2}}$

${\displaystyle {\frac {F}{G}}={\frac {F_{1}}{G_{1}}}+{\frac {F_{2}}{G_{2}}},}$

и

${\displaystyle \deg F_{1}<\deg G_{1}\quad {\text{and}}\quad \deg F_{2}<\deg G_{2}.}$

Это можно доказать следующим образом. Тождество Безу утверждает существование многочленов C и D таких, что

${\displaystyle CG_{1}+DG_{2}=1}$

(по предположению, 1 представляет собой наибольший общий делитель из G ₁ и G ₂ ).

Пусть с быть евклидово деление на DF по Установка один получает${\displaystyle DF=G_{1}Q+F_{1}}$${\displaystyle \deg F_{1}<\deg G_{1}}$${\displaystyle G_{1}.}$${\displaystyle F_{2}=CF+QG_{2},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {F}{G}}&={\frac {F(CG_{1}+DG_{2})}{G_{1}G_{2}}}={\frac {DF}{G_{1}}}+{\frac {CF}{G_{2}}}\\&={\frac {F_{1}+G_{1}Q}{G_{1}}}+{\frac {F_{2}-G_{2}Q}{G_{2}}}\\&={\frac {F_{1}}{G_{1}}}+{\frac {F_{2}}{G_{2}}}.\end{aligned}}}$

Осталось показать, что, сводя к тому же знаменателю последнюю сумму дробей, получаем и, таким образом,${\displaystyle \deg F_{2}<\deg G_{2}.}$${\displaystyle F=F_{2}G_{1}+F_{1}G_{2},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\deg F_{2}&=\deg(F-F_{1}G_{2})-\deg G_{1}\leq \max(\deg F,\deg(F_{1}G_{2}))-\deg G_{1}\\&<\max(\deg G,\deg(G_{1}G_{2}))-\deg G_{1}=\deg G_{2}\end{aligned}}}$

Степени в знаменателе [ править ]

Используя предыдущее разложение индуктивно один получаешь фракцию формы с , где G представляет собой неприводимый многочлен . Если k > 1 , можно выполнить дальнейшее разложение, используя то, что неприводимый многочлен является многочленом без квадратов , то есть является наибольшим общим делителем многочлена и его производной . Если есть производная G , соотношение без обеспечивает многочлены C и D , такие , что и , таким образом Евклидова разделение `по дает полиномы и${\displaystyle {\frac {F}{G^{k}}},}$${\displaystyle \deg F<\deg G^{k}=k\deg G,}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle G'}$${\displaystyle CG+DG'=1}$${\displaystyle F=FCG+FDG'.}$${\displaystyle FDG'}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H_{k}}$${\displaystyle Q}$таким образом, что и настройка один получает${\displaystyle FDG'=QG+H_{k}}$${\displaystyle \deg H_{k}<\deg G.}$${\displaystyle F_{k-1}=FC+Q,}$

${\displaystyle {\frac {F}{G^{k}}}={\frac {H_{k}}{G^{k}}}+{\frac {F_{k-1}}{G^{k-1}}},}$

с ${\displaystyle \deg H_{k}<\deg G.}$

Повторение этого процесса с помощью вместо приводит в конечном итоге к следующей теореме.${\displaystyle {\frac {F_{k-1}}{G^{k-1}}}}$${\displaystyle {\frac {F}{G^{k}}}}$

Заявление [ править ]

Единственность можно доказать следующим образом. Пусть d = max (1 + deg f , deg g ) . Все вместе b и a _ij имеют d коэффициентов. Форма разложения определяет линейное отображение векторов коэффициентов в многочлены f степени меньше d . Доказательство существования означает, что это отображение сюръективно . Поскольку два векторных пространства имеют одинаковую размерность, карта также инъективна , что означает уникальность разложения. Кстати, это доказательство индуцирует алгоритм вычисления разложения черезлинейная алгебра .

Если K - поле комплексных чисел , из фундаментальной теоремы алгебры следует, что все p _i имеют степень один и все числители являются константами. Когда K - поле действительных чисел , некоторые из p _i могут быть квадратичными, поэтому при разложении на частичную дробь также могут встречаться частные линейных многочленов по степеням квадратичных многочленов.${\displaystyle a_{ij}}$

В предыдущей теореме можно заменить «различные неприводимые многочлены» на « попарно взаимно простые многочлены, взаимно простые со своей производной». Например, р _я может быть факторами бесквадратной факторизации из г . Когда K является полем рациональных чисел , как это обычно бывает в компьютерной алгебре , это позволяет заменить факторизацию вычислением наибольшего общего делителя для вычисления разложения на частичную дробь.

Применение к символической интеграции [ править ]

С целью символической интеграции предыдущий результат можно уточнить в

Это сводит вычисление первообразной рациональной функции к интегрированию последней суммы, которая называется логарифмической частью , поскольку ее первообразная представляет собой линейную комбинацию логарифмов. Фактически у нас есть

${\displaystyle {\frac {c_{i1}}{p_{i}}}=\sum _{\alpha _{j}:p_{i}(\alpha _{j})=0}{\frac {c_{i1}(\alpha _{j})}{p'_{i}(\alpha _{j})}}{\frac {1}{x-\alpha _{j}}}.}$

Существуют различные методы вычисления вышеуказанного разложения. Самым простым для описания является, вероятно, так называемый метод Эрмита . Поскольку степень c _ij ограничена степенью p _i , а степень b - это разность степеней f и g (если эта разница неотрицательна; в противном случае b = 0), можно записать эти неизвестные многочлены как многочлены с неизвестными коэффициентами. Приведя два члена приведенной выше формулы к одному знаменателю и записав, что коэффициенты при каждой степени x одинаковы в двух числителях, мы получим систему линейных уравнений которое может быть решено для получения желаемых значений неизвестных коэффициентов.

Процедура [ править ]

Для двух многочленов и , где α _i - различные константы и deg  P  <  n , частичные дроби обычно получаются, если предположить, что${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle Q(x)=(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\cdots (x-\alpha _{n})}$

${\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}={\frac {c_{1}}{x-\alpha _{1}}}+{\frac {c_{2}}{x-\alpha _{2}}}+\cdots +{\frac {c_{n}}{x-\alpha _{n}}}}$

и решение для констант c _i путем подстановки, приравнивая коэффициенты членов, содержащих степени x , или иным образом. (Это вариант метода неопределенных коэффициентов .)

Более прямое вычисление, которое сильно связано с интерполяцией Лагранжа, состоит из записи

${\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {P(\alpha _{i})}{Q'(\alpha _{i})}}{\frac {1}{(x-\alpha _{i})}}}$

где - производная полинома .${\displaystyle Q'}$${\displaystyle Q}$

Этот подход не учитывает несколько других случаев, но может быть изменен соответствующим образом:

• Если то необходимо выполнить евклидово деление из P на Q , используя полином длинного деления , давая Р ( х ) = Е ( х ) В ( х ) + Р ( х ) с град  Р  <  п . Разделив на Q ( x ), мы получим${\displaystyle \deg P\geqslant \deg Q,}$

${\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}=E(x)+{\frac {R(x)}{Q(x)}},}$

а затем искать частичные дроби для дроби остатка (которая по определению удовлетворяет deg  R  <deg  Q ).

• Если Q ( x ) содержит множители, неприводимые над данным полем, то числитель N ( x ) каждой частичной дроби с таким множителем F ( x ) в знаменателе нужно искать как многочлен с deg  N  <deg  F , а не как константа. Например, возьмем следующее разложение над R :

${\displaystyle {\frac {x^{2}+1}{(x+2)(x-1)\color {Blue}(x^{2}+x+1)}}={\frac {a}{x+2}}+{\frac {b}{x-1}}+{\frac {\color {OliveGreen}cx+d}{\color {Blue}x^{2}+x+1}}.}$

• Пусть Q ( х ) = ( х - α ) ^г S ( х ) и S ( α ) ≠ 0. Тогда Q ( х ) имеет нулевое & alpha ; о кратности г , а в разложении частичной фракции, г частичных фракций будет включают в себя степени ( x - α ). Для иллюстрации возьмем S ( x ) = 1, чтобы получить следующее разложение:

${\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}={\frac {P(x)}{(x-\alpha )^{r}}}={\frac {c_{1}}{x-\alpha }}+{\frac {c_{2}}{(x-\alpha )^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{r}}{(x-\alpha )^{r}}}.}$

Иллюстрация [ править ]

В примере применения этой процедуры (3 x + 5) / (1-2 x ) ² можно разложить в виде

${\displaystyle {\frac {3x+5}{(1-2x)^{2}}}={\frac {A}{(1-2x)^{2}}}+{\frac {B}{(1-2x)}}.}$

Очистка знаменателей показывает, что 3 x + 5 = A + B (1-2 x ) . Разлагая и приравнивая коэффициенты при степенях x, получаем

5 = A + B и 3 x = –2 Bx

Решение этой системы линейных уравнений для A и B дает A = 13/2 и B = –3/2 . Следовательно,

${\displaystyle {\frac {3x+5}{(1-2x)^{2}}}={\frac {13/2}{(1-2x)^{2}}}+{\frac {-3/2}{(1-2x)}}.}$

Метод остатка [ править ]

Предположим, что над комплексными числами f ( x ) - рациональная правильная дробь, и ее можно разложить на

${\displaystyle f(x)=\sum _{i}\left({\frac {a_{i1}}{x-x_{i}}}+{\frac {a_{i2}}{(x-x_{i})^{2}}}+\cdots +{\frac {a_{ik_{i}}}{(x-x_{i})^{k_{i}}}}\right).}$

Позволять

${\displaystyle g_{ij}(x)=(x-x_{i})^{j-1}f(x),}$

тогда, согласно единственности ряда Лорана , a _ij является коэффициентом члена ( x  -  x _i ) ⁻¹ в разложении Лорана для g _ij ( x ) относительно точки x _i , т. е. его вычетом

${\displaystyle a_{ij}=\operatorname {Res} (g_{ij},x_{i}).}$

Это дается непосредственно формулой

${\displaystyle a_{ij}={\frac {1}{(k_{i}-j)!}}\lim _{x\to x_{i}}{\frac {d^{k_{i}-j}}{dx^{k_{i}-j}}}\left((x-x_{i})^{k_{i}}f(x)\right),}$

или в частном случае, когда x _i - простой корень,

${\displaystyle a_{i1}={\frac {P(x_{i})}{Q'(x_{i})}},}$

когда

${\displaystyle f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}.}$

По реалам [ править ]

Частичные фракции используются в реальном переменном интегральном исчислении найти вещественнозначные первообразные от рациональных функций . Частичное дробное разложение вещественных рациональных функций также используется для нахождения их обратных преобразований Лапласа . Для приложений частичного разложения дробей по действительным , см.

• Приложение к символической интеграции , см. Выше
• Частичные дроби в преобразованиях Лапласа

Общий результат [ править ]

Пусть f ( x ) - любая рациональная функция над действительными числами . Другими словами, предположим, что существуют действительные полиномы-функции p ( x ) и q ( x ) ≠ 0, такие что

${\displaystyle f(x)={\frac {p(x)}{q(x)}}}$

Разделив числитель и знаменатель на старший коэффициент q ( x ), мы можем предположить без ограничения общности, что q ( x ) моничен . По основной теореме алгебры мы можем написать

${\displaystyle q(x)=(x-a_{1})^{j_{1}}\cdots (x-a_{m})^{j_{m}}(x^{2}+b_{1}x+c_{1})^{k_{1}}\cdots (x^{2}+b_{n}x+c_{n})^{k_{n}}}$

где a ₁ , ..., a _m , b ₁ , ..., b _n , c ₁ , ..., c _n - действительные числа с b _i ² - 4 c _i <0 и j ₁ , .. ., j _m , k ₁ , ..., k _n - натуральные числа. Термины ( х - _I ) являются линейными коэффициентами на д ( х ) , которые соответствуют действительным корнямд ( х ), и термины ( х _я ² + б _я х + с _я ) являются неразложимые квадратичные коэффициенты из д ( х ) , которые соответствуют парам комплексных сопряженных корней д ( х ).

Тогда дробное разложение f ( x ) будет следующим:

${\displaystyle f(x)={\frac {p(x)}{q(x)}}=P(x)+\sum _{i=1}^{m}\sum _{r=1}^{j_{i}}{\frac {A_{ir}}{(x-a_{i})^{r}}}+\sum _{i=1}^{n}\sum _{r=1}^{k_{i}}{\frac {B_{ir}x+C_{ir}}{(x^{2}+b_{i}x+c_{i})^{r}}}}$

Здесь P ( x ) - полином (возможно, нулевой), а A _ir , B _ir и C _ir - действительные константы. Константы можно найти несколькими способами.

Самый простой способ - это умножить на общий знаменатель q ( x ). Затем мы получаем уравнение многочленов, левая часть которого равна просто p ( x ), а правая часть имеет коэффициенты, которые являются линейными выражениями констант A _ir , B _ir и C _ir . Поскольку два полинома равны тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты равны, мы можем приравнять коэффициенты при одинаковых членах. Таким образом получается система линейных уравнений, которая всегда имеет единственное решение. Это решение можно найти, используя любой из стандартных методов линейной алгебры.. Его также можно найти с ограничениями (см. Пример 5 ).

Примеры [ править ]

Пример 1 [ править ]

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+2x-3}}}$

Здесь знаменатель делится на два различных линейных фактора:

${\displaystyle q(x)=x^{2}+2x-3=(x+3)(x-1)}$

поэтому у нас есть разложение на частичную дробь

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+2x-3}}={\frac {A}{x+3}}+{\frac {B}{x-1}}}$

Умножение на знаменатель в левой части дает нам полиномиальное тождество

${\displaystyle 1=A(x-1)+B(x+3)}$

Подстановка x = −3 в это уравнение дает A = −1/4, а подстановка x = 1 дает B = 1/4, так что

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+2x-3}}={\frac {1}{4}}\left({\frac {-1}{x+3}}+{\frac {1}{x-1}}\right)}$

Пример 2 [ править ]

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{3}+16}{x^{3}-4x^{2}+8x}}}$

После деления в длину имеем

${\displaystyle f(x)=1+{\frac {4x^{2}-8x+16}{x^{3}-4x^{2}+8x}}=1+{\frac {4x^{2}-8x+16}{x(x^{2}-4x+8)}}}$

Множитель x ² - 4 x + 8 неприводим по действительным числам, так как его дискриминант (−4) ²  - 4 × 8 = - 16 отрицателен. Таким образом, разложение частичной дроби по действительным числам имеет вид

${\displaystyle {\frac {4x^{2}-8x+16}{x(x^{2}-4x+8)}}={\frac {A}{x}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}-4x+8}}}$

Умножая на x ³ - 4 x ² + 8 x , получаем полиномиальное тождество

${\displaystyle 4x^{2}-8x+16=A(x^{2}-4x+8)+(Bx+C)x}$

Взяв x = 0, мы видим, что 16 = 8 A , поэтому A = 2. Сравнивая коэффициенты x ² , мы видим, что 4 = A + B = 2 + B , поэтому B = 2. Сравнивая линейные коэффициенты, мы видим, что - 8 = −4 A + C = −8 + C , поэтому C = 0. В целом,

${\displaystyle f(x)=1+2\left({\frac {1}{x}}+{\frac {x}{x^{2}-4x+8}}\right)}$

Дробь может быть полностью разложена с помощью комплексных чисел . Согласно основной теореме алгебры каждый комплексный многочлен степени n имеет n (комплексных) корней (некоторые из которых могут повторяться). Вторую дробь можно разложить на:

${\displaystyle {\frac {x}{x^{2}-4x+8}}={\frac {D}{x-(2+2i)}}+{\frac {E}{x-(2-2i)}}}$

Умножение на знаменатель дает:

${\displaystyle x=D(x-(2-2i))+E(x-(2+2i))}$

Приравнивая коэффициенты при x и постоянные (по отношению к x ) коэффициенты обеих частей этого уравнения, мы получаем систему двух линейных уравнений относительно D и E , решение которой имеет вид

${\displaystyle D={\frac {1+i}{2i}}={\frac {1-i}{2}},\qquad E={\frac {1-i}{-2i}}={\frac {1+i}{2}}.}$

Таким образом, мы имеем полное разложение:

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{3}+16}{x^{3}-4x^{2}+8x}}=1+{\frac {2}{x}}+{\frac {1-i}{x-(2+2i)}}+{\frac {1+i}{x-(2-2i)}}}$

Можно также вычислить напрямую A , D и E с помощью метода остатка (см. Также пример 4 ниже).

Пример 3 [ править ]

Этот пример иллюстрирует почти все «уловки», которые нам могут понадобиться, если не считать обращения к системе компьютерной алгебры .

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{9}-2x^{6}+2x^{5}-7x^{4}+13x^{3}-11x^{2}+12x-4}{x^{7}-3x^{6}+5x^{5}-7x^{4}+7x^{3}-5x^{2}+3x-1}}}$

После деления в столбик и разложения знаменателя на множители имеем

${\displaystyle f(x)=x^{2}+3x+4+{\frac {2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x}{(x-1)^{3}(x^{2}+1)^{2}}}}$

Разложение на частичную дробь имеет вид

${\displaystyle {\frac {2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x}{(x-1)^{3}(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {A}{x-1}}+{\frac {B}{(x-1)^{2}}}+{\frac {C}{(x-1)^{3}}}+{\frac {Dx+E}{x^{2}+1}}+{\frac {Fx+G}{(x^{2}+1)^{2}}}.}$

Умножая на знаменатель в левой части, получаем полиномиальное тождество

${\displaystyle {\begin{aligned}2x^{6}-4x^{5}&+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x=\\[4pt]&=A(x-1)^{2}(x^{2}+1)^{2}+B(x-1)(x^{2}+1)^{2}+C(x^{2}+1)^{2}+(Dx+E)(x-1)^{3}(x^{2}+1)+(Fx+G)(x-1)^{3}\end{aligned}}}$

Теперь мы используем разные значения x для вычисления коэффициентов:

${\displaystyle {\begin{cases}4=4C&x=1\\2+2i=(Fi+G)(2+2i)&x=i\\0=A-B+C-E-G&x=0\end{cases}}}$

Решая эту проблему, мы имеем:

${\displaystyle {\begin{cases}C=1\\F=0,G=1\\E=A-B\end{cases}}}$

Используя эти значения, мы можем написать:

${\displaystyle {\begin{aligned}2x^{6}-4x^{5}&+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x=\\[4pt]&=A(x-1)^{2}(x^{2}+1)^{2}+B(x-1)(x^{2}+1)^{2}+(x^{2}+1)^{2}+(Dx+(A-B))(x-1)^{3}(x^{2}+1)+(x-1)^{3}\\[4pt]&=(A+D)x^{6}+(-A-3D)x^{5}+(2B+4D+1)x^{4}+(-2B-4D+1)x^{3}+(-A+2B+3D-1)x^{2}+(A-2B-D+3)x\end{aligned}}}$

Мы сравниваем коэффициенты при x ⁶ и x ⁵ с обеих сторон, и мы имеем:

${\displaystyle {\begin{cases}A+D=2\\-A-3D=-4\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad A=D=1.}$

Следовательно:

${\displaystyle 2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x=2x^{6}-4x^{5}+(2B+5)x^{4}+(-2B-3)x^{3}+(2B+1)x^{2}+(-2B+3)x}$

что дает нам B = 0. Таким образом, разложение на частичную дробь определяется следующим образом:

${\displaystyle f(x)=x^{2}+3x+4+{\frac {1}{(x-1)}}+{\frac {1}{(x-1)^{3}}}+{\frac {x+1}{x^{2}+1}}+{\frac {1}{(x^{2}+1)^{2}}}.}$

В качестве альтернативы, вместо расширения, можно получить другие линейные зависимости от коэффициентов, вычисляя некоторые производные в указанном выше полиномиальном тождестве. (Для этого напомним, что производная в точке x = a от ( x - a ) ^m p ( x ) равна нулю, если m > 1, и равна p ( a ) при m = 1.) Например, первая производная в точке x = 1 дает${\displaystyle x=1,\imath }$

${\displaystyle 2\cdot 6-4\cdot 5+5\cdot 4-3\cdot 3+2+3=A\cdot (0+0)+B\cdot (4+0)+8+D\cdot 0}$

то есть 8 = 4 B + 8, поэтому B = 0.

Пример 4 (метод остатка) [ править ]

${\displaystyle f(z)={\frac {z^{2}-5}{(z^{2}-1)(z^{2}+1)}}={\frac {z^{2}-5}{(z+1)(z-1)(z+i)(z-i)}}}$

Таким образом, f ( z ) можно разложить на рациональные функции, знаменатели которых равны z +1, z −1, z + i, z −i. Поскольку каждый член имеет степень один, −1, 1, - i и i - простые полюсы.

Следовательно, вычеты, связанные с каждым полюсом, заданным формулой

${\displaystyle {\frac {P(z_{i})}{Q'(z_{i})}}={\frac {z_{i}^{2}-5}{4z_{i}^{3}}},}$

являются

${\displaystyle 1,-1,{\tfrac {3i}{2}},-{\tfrac {3i}{2}},}$

соответственно, и

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z+1}}-{\frac {1}{z-1}}+{\frac {3i}{2}}{\frac {1}{z+i}}-{\frac {3i}{2}}{\frac {1}{z-i}}.}$

Пример 5 (метод ограничения) [ править ]

Пределы могут использоваться, чтобы найти частичное разложение на дробь. ^[4] Рассмотрим следующий пример:

${\displaystyle {\frac {1}{x^{3}-1}}}$

Во-первых, множите знаменатель, определяющий разложение:

${\displaystyle {\frac {1}{x^{3}-1}}={\frac {1}{(x-1)(x^{2}+x+1)}}={\frac {A}{x-1}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}+x+1}}.}$

Умножая все на и принимая предел, когда мы получаем${\displaystyle x-1}$${\displaystyle x\to 1}$

${\displaystyle \lim _{x\to 1}\left((x-1)\left({\frac {A}{x-1}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}+x+1}}\right)\right)=\lim _{x\to 1}A+\lim _{x\to 1}{\frac {(x-1)(Bx+C)}{x^{2}+x+1}}=A.}$

С другой стороны,

${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {(x-1)}{(x-1)(x^{2}+x+1)}}=\lim _{x\to 1}{\frac {1}{x^{2}+x+1}}={\frac {1}{3}},}$

и поэтому:

${\displaystyle A={\frac {1}{3}}.}$

Умножая на x и принимая предел, когда мы имеем${\displaystyle x\to \infty }$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x\left({\frac {A}{x-1}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}+x+1}}\right)=\lim _{x\to \infty }{\frac {Ax}{x-1}}+\lim _{x\to \infty }{\frac {Bx^{2}+Cx}{x^{2}+x+1}}=A+B,}$

и

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {x}{(x-1)(x^{2}+x+1)}}=0.}$

Отсюда следует, что A + B = 0, и поэтому .${\displaystyle B=-{\frac {1}{3}}}$

При x = 0 получаем и, таким образом .${\displaystyle -1=-A+C,}$${\displaystyle C=-{\tfrac {2}{3}}}$

Собирая все вместе, получаем разложение

${\displaystyle {\frac {1}{x^{3}-1}}={\frac {1}{3}}\left({\frac {1}{x-1}}+{\frac {-x-2}{x^{2}+x+1}}\right).}$

Пример 6 (интегральный) [ править ]

Предположим, у нас есть неопределенный интеграл :

${\displaystyle \int {\frac {x^{4}+x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}+x-2}}\,dx}$

Очевидно, что перед выполнением разложения мы должны выполнить полиномиальное деление в столбик и разложить знаменатель на множители . Это приведет к:

${\displaystyle \int x^{2}+3+{\frac {-3x+7}{(x+2)(x-1)}}\,dx}$

После этого мы можем теперь выполнить частичное разложение на дробь.

${\displaystyle \int x^{2}+3+{\frac {-3x+7}{(x+2)(x-1)}}\,dx=\int x^{2}+3+{\frac {A}{(x+2)}}+{\frac {B}{(x-1)}}\,dx}$

так:

${\displaystyle A(x-1)+B(x+2)=-3x+7}$.

После подстановки наших значений, в этом случае, когда x = 1 для решения для B и x = -2 для решения для A, мы получим:

${\displaystyle A={\frac {-13}{3}}\ ,B={\frac {4}{3}}}$

Включение всего этого обратно в наш интеграл позволяет нам найти ответ:

${\displaystyle \int x^{2}+3+{\frac {-13/3}{(x+2)}}+{\frac {4/3}{(x-1)}}\,dx={\frac {x^{3}}{3}}\ +3x-{\frac {13}{3}}\ln(|x+2|)+{\frac {4}{3}}\ln(|x-1|)+C}$

Роль полинома Тейлора [ править ]

Разложение рациональной функции на частичную дробь может быть связано с теоремой Тейлора следующим образом. Позволять

${\displaystyle P(x),Q(x),A_{1}(x),\ldots ,A_{r}(x)}$

действительные или комплексные многочлены, предположим, что

${\displaystyle Q=\prod _{j=1}^{r}(x-\lambda _{j})^{\nu _{j}},}$

удовлетворяет

${\displaystyle \deg A_{1}<\nu _{1},\ldots ,\deg A_{r}<\nu _{r},\quad {\text{and}}\quad \deg(P)<\deg(Q)=\sum _{j=1}^{r}\nu _{j}.}$

Также определите

${\displaystyle Q_{i}=\prod _{j\neq i}(x-\lambda _{j})^{\nu _{j}}={\frac {Q}{(x-\lambda _{i})^{\nu _{i}}}},\qquad 1\leqslant i\leqslant r.}$

Тогда у нас есть

${\displaystyle {\frac {P}{Q}}=\sum _{j=1}^{r}{\frac {A_{j}}{(x-\lambda _{j})^{\nu _{j}}}}}$

тогда и только тогда, когда каждый многочлен является многочленом Тейлора порядка в точке :${\displaystyle A_{i}(x)}$${\displaystyle {\tfrac {P}{Q_{i}}}}$${\displaystyle \nu _{i}-1}$${\displaystyle \lambda _{i}}$

${\displaystyle A_{i}(x):=\sum _{k=0}^{\nu _{i}-1}{\frac {1}{k!}}\left({\frac {P}{Q_{i}}}\right)^{(k)}(\lambda _{i})\ (x-\lambda _{i})^{k}.}$

Теорема Тейлора (в действительном или комплексном случае) затем обеспечивает доказательство существования и единственности разложения на частичную дробь, а также характеристику коэффициентов.

Набросок доказательства [ править ]

Вышеупомянутое разложение на частичную дробь подразумевает для каждого 1 ≤  i  ≤  r полиномиальное разложение

${\displaystyle {\frac {P}{Q_{i}}}=A_{i}+O((x-\lambda _{i})^{\nu _{i}}),\qquad {\text{for }}x\to \lambda _{i},}$

так же и многочлен Тейлора из-за единственности полиномиального разложения порядка и по предположению .${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle {\tfrac {P}{Q_{i}}}}$${\displaystyle \nu _{i}-1}$${\displaystyle \deg A_{i}<\nu _{i}}$

И наоборот, если полиномы Тейлора, указанные выше разложения выполняются для каждого из них , поэтому мы также имеем${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle \lambda _{i}}$

${\displaystyle P-Q_{i}A_{i}=O((x-\lambda _{i})^{\nu _{i}}),\qquad {\text{for }}x\to \lambda _{i},}$

откуда следует, что многочлен делится на${\displaystyle P-Q_{i}A_{i}}$${\displaystyle (x-\lambda _{i})^{\nu _{i}}.}$

Ибо также делится на , поэтому${\displaystyle j\neq i,Q_{j}A_{j}}$${\displaystyle (x-\lambda _{i})^{\nu _{i}}}$

${\displaystyle P-\sum _{j=1}^{r}Q_{j}A_{j}}$

делится на . С${\displaystyle Q}$

${\displaystyle \deg \left(P-\sum _{j=1}^{r}Q_{j}A_{j}\right)<\deg(Q)}$

тогда у нас есть

${\displaystyle P-\sum _{j=1}^{r}Q_{j}A_{j}=0,}$

и мы находим частичное разложение дроби делением на .${\displaystyle Q}$

Дроби целых чисел [ править ]

Идея дробей может быть обобщена на другие области целостности , скажем, на кольцо целых чисел, где простые числа играют роль неприводимых знаменателей. Например:

${\displaystyle {\frac {1}{18}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{3^{2}}}.}$

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Рао, КР; Ахмед, Н. (1968). «Рекурсивные методы для получения частичного разложения дроби рациональной функции». IEEE Trans. Educ . 11 (2). С. 152–154. DOI : 10.1109 / TE.1968.4320370 .
• Хенрици, Питер (1971). «Алгоритм неполного разложения рациональной функции на дроби». З. Энгью. Математика. Phys . 22 (4). С. 751–755. DOI : 10.1007 / BF01587772 .
• Чанг, Фэн-Ченг (1973). «Рекурсивные формулы разложения в частную дробь рациональной функции с несколькими полюсами». Proc. IEEE . 61 (8). С. 1139–1140. DOI : 10,1109 / PROC.1973.9216 .
• Кунг, HT; Тонг, DM (1977). «Быстрые алгоритмы частичного разложения на фракции». SIAM Journal on Computing . 6 (3): 582. DOI : 10,1137 / 0206042 .
• Юстис, Дэн; Кламкин, М.С. (1979). «О коэффициентах дробного разложения». Американский математический ежемесячник . 86 (6). С. 478–480. JSTOR  2320421 .
• Махони, Джей Джей; Сивазлян, Б.Д. (1983). «Разложение на частичные дроби: обзор вычислительной методологии и эффективности». J. Comput. Прил. Математика . 9 . С. 247–269. DOI : 10.1016 / 0377-0427 (83) 90018-3 .
• Миллер, Чарльз Д .; Lial, Margaret L .; Шнайдер, Дэвид I. (1990). Основы студенческой алгебры (3-е изд.). Эддисон-Уэсли Образовательное Издательство, Инк., Стр.  364–370 . ISBN 0-673-38638-4.
• Вестрейх, Дэвид (1991). «частичное расширение дроби без производной оценки». IEEE Trans. Circ. Syst . 38 (6). С. 658–660. DOI : 10.1109 / 31.81863 .
• Кудрявцев, Л.Д. (2001) [1994], "Неопределенные коэффициенты, метод" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Веллеман, Дэниел Дж. (2002). «Частные дроби, биномиальные коэффициенты и интеграл от нечетной степени секунды тета». Амер. Математика. Ежемесячно . 109 (8). С. 746–749. JSTOR  3072399 .
• Слота, Дамиан; Витула, Роман (2005). «Трехкирпичный метод разложения на частные дроби некоторого рационального выражения». Лект. Нет. Компьютерные науки. 33516 . С. 659–662. DOI : 10.1007 / 11428862_89 .
• Кунг, Сидней Х. (2006). «Частичное разложение дроби делением». Coll. Математика. Дж . 37 (2): 132–134. DOI : 10.2307 / 27646303 . JSTOR  27646303 .
• Витула, Роман; Слота, Дамиан (2008). «Разложение некоторых рациональных функций на частичные дроби». Прил. Математика. Comput . 197 . С. 328–336. DOI : 10.1016 / j.amc.2007.07.048 . Руководство по ремонту  2396331 .

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. "Частичное разложение на фракции" . MathWorld .
• Блейк, Сэм. «Пошаговые дроби» .
• Выполните разложение на частичные дроби с помощью Scilab .