Логическая матрица

В математике , булева матрица представляет собой матрицу с элементами из в булевой алгебре . Когда используется двухэлементная булева алгебра , булева матрица называется логической матрицей . (В некоторых контекстах, особенно в информатике , термин «логическая матрица» подразумевает это ограничение.)

Пусть U - нетривиальная булева алгебра (т. Е. Как минимум с двумя элементами). Пересечение, объединение, комплементация и локализация элементов выражаются в U . Пусть V совокупность п × п матриц, имеющих элементы , взятые из U . Дополнение такой матрицы получается дополнением каждого элемента. Пересечение или объединение двух таких матриц получается путем применения операции к элементам каждой пары элементов для получения соответствующего пересечения или объединения матриц. Матрица содержится в другой, если каждая запись первой содержится в соответствующей записи второй.

Произведение двух булевых матриц выражается следующим образом:

${\ displaystyle (AB) _ {ij} = \ bigcup _ {k = 1} ^ {n} (A_ {ik} \ cap B_ {kj}).}$

По словам одного автора, «матрицы над произвольной булевой алгеброй β удовлетворяют большинству свойств над β ₀ = {0, 1}. Причина в том, что любая булева алгебра является суббулеевой алгеброй для некоторого множества S , и мы имеем изоморфизм матриц размера n × n над " ^[1]${\ displaystyle \ beta _ {0} ^ {S}}$${\ displaystyle \ beta _ {0} ^ {S} \ {\ text {to}} \ \ beta _ {n} ^ {S}.}$

Ссылки [ править ]

• Р. Дункан Люс (1952) «Заметка о булевых матрицах», Труды Американского математического общества 3 : 382–8, Jstor link MR 0050559
• Жак Риге (1954) «Расширение вычислений бинарных отношений с вычислением матриц с элементами в алгоритмах логических вычислений », Comptes Rendus 238 : 2382–2385

Дальнейшее чтение [ править ]

• Стэн Гуддер и Фредерик Латремольер (2009) «Булевы внутренние произведения и булевы матрицы», Линейная алгебра и ее приложения 431 : 274–96 MR 2522576
• Д.Е. Резерфорд (1963) «Обратные булевы матрицы», Труды Математической ассоциации Глазго, 6 : 49–63 MR 0148585
• TS Blythe (1967) "Собственные векторы булевых матриц", Труды Королевского общества Эдинбурга 67 : 196–204 MR 0210727
• Стивен Kirkland & Норман Дж Pullman (1993) «Линейные операторы , сохраняющие Инварианты недвоичных булевых матриц», линейный и полилинейная алгебра 33 : 295-300 DOI : 10,1080 / 03081089308818200 МР 1334678
• Кюнг-Кае Кан, Сок-Зун Сонг и Ён-Бэ Юнг (2011) «Линейные хранители регулярных матриц над общими булевыми алгебрами », Бюллетень Общества математических наук Малайзии , вторая серия, 34 (1): 113–25 MR 2783783