В геометрии зоногон - это центрально-симметричный выпуклый многоугольник . [1] Эквивалентно, это выпуклый многоугольник, стороны которого могут быть сгруппированы в параллельные пары одинаковой длины и противоположной ориентации.
Примеры [ править ]
Правильный многоугольник является зоногон тогда и только тогда , когда она имеет четное число сторон. [2] Таким образом, квадрат, правильный шестиугольник и правильный восьмиугольник являются зоногонами. Четырехсторонние зоногоны - это квадрат, прямоугольники , ромбы и параллелограммы .
Плитка и равнодушие [ править ]
Четырехсторонние и шестигранные зоногоны - это параллелогоны , способные выложить плоскость за счет своих переведенных копий, и все выпуклые параллелогоны имеют эту форму. [3]
Каждая односторонний зоногон может быть черепица на четырехсторонних zonogons. [4] В этом тайлинге есть по одному четырехстороннему зоногону для каждой пары наклонов сторон в -стороннем зоногоне. По крайней мере, три вершины зоногона должны быть вершинами только одного из четырехсторонних зоногонов в любом таком замощении. [5] Например, правильный восьмиугольник можно выложить двумя квадратами и четырьмя ромбами под 45 °. [6]
Обобщая теорему Монски , Пол Монски ( 1990 ) доказал, что ни один зоногон не имеет равномерного разбиения на нечетное число треугольников равной площади. [7] [8]
Другие свойства [ править ]
В одностороннем зоногоне не более пары вершин могут находиться на единичном расстоянии друг от друга. Существуют односторонние зоногоны с парами единица-расстояние. [9]
Связанные фигуры [ править ]
Зоногоны - это двумерные аналоги трехмерных зоноэдров и многомерных зонотопов. Таким образом, каждый зоногон может быть сгенерирован как сумма Минковского набора отрезков прямой на плоскости. [1] Если нет двух параллельных сегментов образующей линии, будет одна пара параллельных ребер для каждого сегмента линии. Каждая грань зоноэдра является зоногоном, и каждый зоногон является гранью по крайней мере одного зоноэдра, призмы над этим зоногоном. Кроме того, каждое плоское поперечное сечение через центр центрально-симметричного многогранника (например, зоноэдра) является зоногоном.
Ссылки [ править ]
- ^ a b Болтянский, Владимир; Мартини, Хорст; Солтан, П.С. (2012), Экскурсии в комбинаторную геометрию , Springer, стр. 319, ISBN 9783642592379
- ^ Янг, Джон Уэсли; Шварц, Альберт Джон (1915), Плоская геометрия , Х. Холт, стр. 121,
Если у правильного многоугольника четное число сторон, его центр является центром симметрии многоугольника.
- ↑ Александров, А.Д. (2005), Выпуклые многогранники , Springer, стр. 351 , ISBN 9783540231585
- ^ Бек, Йожеф (2014), Вероятностное диофантово приближение: случайность в подсчете точек решетки , Springer, стр. 28, ISBN 9783319107417
- ^ Андрееску, Титу; Фэн, Цзумин (2000), Математические олимпиады 1998–1999: проблемы и решения со всего мира , Cambridge University Press, стр. 125, ISBN 9780883858035
- Перейти ↑ Frederickson, Greg N. (1997), Dissections: Plane and Fancy , Cambridge University Press, Cambridge, p. 10 , DOI : 10.1017 / CBO9780511574917 , ISBN 978-0-521-57197-5, Руководство по ремонту 1735254
- ^ Monsky, Пол (1990), "Гипотеза о Stein на плоских вскрытий", Mathematische Zeitschrift , 205 (4): 583-592, DOI : 10.1007 / BF02571264 , МР 1082876 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- ^ Штейн, Шерман ; Сабо, Сандор (1994), Алгебра и мозаика: гомоморфизмы на службе геометрии , Математические монографии Каруса, 25 , Cambridge University Press, с. 130 , ISBN 9780883850282
- ^ Ábrego, Бернардо М .; Фернандес-Торговец, Сильвия (2002), "Блок расстояние проблема для центрально - симметричных выпуклых многоугольников", Дискретная и Вычислительная геометрия , 28 (4): 467-473, DOI : 10.1007 / s00454-002-2882-5 , МР 1949894
