Тетрадекагон

Правильный тетрадекагон
Правильный четырехугольник
Тип	Правильный многоугольник
Ребра и вершины	14
Символ Шлефли	{14}, т {7}
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	Двугранный (D 14 ), порядок 2 × 14
Внутренний угол ( градусы )	154 + 2/7 °
Двойной многоугольник	Себя
Характеристики	Выпуклый , циклический , равносторонний , изогональный , изотоксальный

В геометрии , в tetradecagon или tetrakaidecagon или 14-угольник является четырнадцать-сторонним многоугольником .

Обычный четырехугольник [ править ]

Регулярно tetradecagon имеет символ шлефли {14} и может быть выполнен в виде квазирегулярная усеченного семиугольника , т {7}, который чередует два типа ребер.

Область из регулярного tetradecagon боковой длиной а задаются

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {14}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{14}}={\frac {14}{4}}a^{2}\left({\frac {{\sqrt {7}}+4{\sqrt {7}}\cos \left({{\frac {2}{3}}\arctan {\frac {\sqrt {3}}{9}}}\right)}{3}}\right)\\&\simeq 15.3345a^{2}\end{aligned}}}$

Строительство [ править ]

Поскольку 14 = 2 × 7, правильный четырехугольник не может быть построен с помощью циркуля и линейки . ^[1] Однако, это построимо использованием neusis с использованием угла trisector , ^[2] или с отмеченной линейкой, ^[3] , как показано в следующих двух примерах.

Tetradecagon с заданной окружности :
анимация (1 мин 47 с) от neusis конструкции с радиусом окружности , в соответствии с Глизон , ^[2] на основе угла трисекции с помощью Tomahawk. , пауза в конце 25 с${\displaystyle {\overline {OA}}=6}$

На приведенной ниже анимации центральный угол приблизительно равен 0,05 °:

Построение приближенного правильного четырехугольника

Еще одна возможная анимация примерного построения, также возможная с использованием линейки и циркуля.

На основе единичной окружности r = 1 [единица длины]

• Построенная длина стороны четырехдесятиугольника в GeoGebra (отображение максимум 15 знаков после запятой)${\displaystyle a=0.445041867912629\;[unit\;of\;length]}$
• Длина стороны четырехугольника ${\displaystyle a_{target}=2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{14}}\right)=0.445041867912629\ldots \;[unit\;of\;length]}$
• Абсолютная погрешность построенной длины стороны

До макс. отображается 15 знаков после запятой - абсолютная ошибка${\displaystyle F_{a}=a-a_{target}=0.0\;[unit\;of\;length]}$

• Построенный центральный угол четырехдесятиугольника в GeoGebra (отображение значащих 13 знаков после запятой) ${\displaystyle \mu =25.7142857142857^{\circ }}$
• Центральный угол четырехугольника ${\displaystyle \mu _{target}={\frac {360^{\circ }}{14}}=25.7142857142857\ldots ^{\circ }}$
• Абсолютная погрешность построенного центрального угла

До указанных 13 значащих десятичных знаков - абсолютная погрешность. ${\displaystyle F_{\mu }=\mu -\mu _{target}=0^{\circ }}$

Пример для иллюстрации ошибки

• При радиусе описанной окружности r = 1 миллиард км (свет, необходимый для этого расстояния около 55 минут), абсолютная погрешность 1-й стороны будет <1 мм .

Подробнее см .: Викиучебники: Тетрадекагон, описание конструкции (немецкий).

Симметрия [ править ]

Регулярный tetradecagon имеет DIH 14 симметрии , порядка 28. Есть 3 подгруппа диэдра симметрии: DIH ₇ , DIH ₂ и DIH ₁ и 4 циклической группы симметрии: Z ₁₄ , Z ₇ , Z ₂ и Z ₁ .

Эти 8 симметрий можно увидеть в 10 различных симметриях на четырехугольнике, большее число, потому что линии отражений могут проходить либо через вершины, либо через ребра. Джон Конвей помечает их буквой и групповым порядком. ^[4] Полная симметрия правильной формы - r28, а симметрия не помечена как a1 . Двугранные симметрии разделяются в зависимости от того, проходят ли они через вершины ( d для диагонали) или ребра ( p для перпендикуляров), и i, когда линии отражения проходят через оба ребра и вершины. Циклические симметрии в среднем столбце обозначены буквой g для их центральных порядков вращения.

Симметрия каждой подгруппы допускает одну или несколько степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g14 не имеет степеней свободы, но ее можно рассматривать как направленные ребра .

Неправильные тетрадекагоны высшей симметрии - это d14 , изогональный тетрадекагон, состоящий из семи зеркал, которые могут чередоваться длинные и короткие края, и p14 , изотоксальный тетрадекагон, построенный с равными длинами ребер, но вершинами с чередующимися двумя разными внутренними углами. Эти две формы двойственны друг другу и имеют половину порядка симметрии правильного тетрадекагона.

Рассечение [ править ]

Кокстеровские гласит , что каждый зоногон (2 м -угольник которого противоположные стороны параллельны и равны по длине) можно разрезать на м ( м -1) / 2 параллелограммов. ^[5] В частности, это верно для правильных многоугольников с равным числом сторон, и в этом случае все параллелограммы являются ромбическими. Для регулярной tetradecagon , т = 7, и она может быть разделена на 21: 3 комплекта из 7 ромбов. Это разложение основано на многоугольной проекции 7-куба Петри с 21 гранью из 672. Список OEIS :  A006245 определяет количество решений как 24698, включая до 14-кратных поворотов и хиральных форм в отражении.

Нумизматическое использование [ править ]

Правильный четырехугольник используется в качестве формы некоторых памятных золотых и серебряных малазийских монет, количество сторон которых представляет 14 штатов Малайзийской Федерации. ^[6]

Связанные рисунки [ править ]

Tetradecagram представляет собой 14-сторонний многоугольник , звезда, представленный символом {14 / N}. Есть два правильных звездообразных многоугольника : {14/3} и {14/5}, использующие те же вершины, но соединяющие каждую третью или пятую точки. Также есть три соединения: {14/2} сокращается до 2 {7} как два семиугольника , а {14/4} и {14/6} сокращаются до 2 {7/2} и 2 {7/3} как две разные гептаграммы , и, наконец, {14/7} сокращается до семи дигонов .

Примечательным примером использования четырнадцатиконечной звезды является флаг Малайзии , который включает в себя желтую {14/6} тетрадекаграмму в правом верхнем углу, представляющую единство тринадцати штатов с федеральным правительством .

Соединения и звездообразные многоугольники
п	1	2	3	4	5	6	7
Форма	Обычный	Сложный	Звездный многоугольник	Сложный	Звездный многоугольник	Сложный
Изображение	{14/1} = {14}	{14/2} = 2 {7}	{14/3}	{14/4} = 2 {7/2}	{14/5}	{14/6} = 2 {7/3}	{14/7} или 7 {2}
Внутренний угол	≈154,286 °	≈128,571 °	≈102,857 °	≈77,1429 °	≈51,4286 °	≈25,7143 °	0 °

Более глубокие усечения правильного семиугольника и гептаграммы могут давать изогональные ( вершинно-транзитивные ) промежуточные формы тетрадекаграммы с одинаково расположенными вершинами и двумя длинами ребер. Другие усечения могут образовывать многоугольники 2 {p / q} с двойным покрытием, а именно: t {7/6} = {14/6} = 2 {7/3}, t {7/4} = {14/4} = 2 {7/2}, а t {7/2} = {14/2} = 2 {7}. ^[7]

Изотоксальные формы [ править ]

Isotoxal многоугольник может быть обозначен как {р _{& alpha} } с внешней большей внутренней угол & alpha ; и звезда многоугольника {( р / д ) _{& alpha} ; }, причем д является обмоткой число , а НОД ( р , д ) = 1, д < стр . Изотоксальные тетрадекагоны имеют p = 7, а поскольку 7 простое число, все решения q = 1..6 являются многоугольниками.

Полигоны Петри [ править ]

Правильные косые четырехугольники существуют как многоугольники Петри для многих многомерных многогранников, показанных в этих косых ортогональных проекциях , включая:

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Тетрадекагон» . MathWorld .