Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Строительство Neusis

Neusis (от греческого νεῦσις от νεύειν neuein «уклона в стороне», множественное число: νεύσεις neuseis ) представляет собой геометрический метод строительства , который был использован в древности греческих математиками.

Геометрическое построение [ править ]

Невсис состоит из подгонки линейного элемента заданной длины ( в ) между двумя заданными линиями ( л и м ), таким образом , что линейный элемент, или его расширение, проходит через заданную точку P . То есть, один конец элемента линии должен лежать на л , другой конец на м , в то время как линия элемент «склонен» по отношению к P .

Точка P называется полюсом neusis, линия l - направляющей или направляющей линией, а линия m - линией ловли. Длина а называется диастемой (διάστημα; по-гречески «расстояние»).

Построение neusis может быть выполнено с помощью «линейки neusis»: отмеченной линейки, которая может вращаться вокруг точки P (это можно сделать, вставив булавку в точку P и затем прижав линейку к стержню). На рисунке один конец линейки отмечен желтым глазом с перекрестием: отсюда деление шкалы на линейке. Вторая отметка на линейке (синий глаз) указывает расстояние a от начала координат. Желтый глаз перемещается по линии l , пока синий глаз не совпадет с линией m . Положение найденного таким образом линейного элемента показано на рисунке в виде темно-синей полосы.

Трисечение по Нейзису угла θ  > 135 °, чтобы найти φ  =  θ / 3, используя только длину линейки. Радиус дуги равен длине линейки. Для углов θ  <135 ° применяется та же конструкция, но с P, выходящим за пределы AB.

Использование neusis [ править ]

Neuseis были важны, потому что они иногда предоставляют средства для решения геометрических задач, которые нельзя решить с помощью только циркуля и линейки . Примерами являются трисечение любого угла на три равные части, удвоение куба и построение правильного семиугольника , нонагона или трехугольника ( многоугольников с 7, 9 или 13 сторонами). [1] Математики, такие как Архимед Сиракузский (287–212 до н. Э.) И Папп Александрийский (290–350 н. Э.), Свободно использовали neuseis ; Сэр Исаак Ньютон(1642-1726) следовали их линии мысли, а также использовали конструкции neusis. [2] Тем не менее, постепенно техника вышла из употребления.

Известно, что правильный n -угольник можно построить с помощью neusis для n =

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 48, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 60, 63, 64, 65, 66, 68, 70, 72, 73, 74, 76, 77, 78, 80, 81, 84, 85, 88, 90, 91, 95, 96, 97, 99, 102, 104, 105, 108, 109, 110, 111, 112, 114, 117, 119, 120, 126, 128, ... (последовательность A122254 в OEIS ), модифицированная недавним открытием Бенджамина и Снайдера о том, что правильный гендекагон может быть сконструирован с помощью neusis, [3]

в то время как регулярный n -угольник, как известно, не может быть построен с помощью neusis при n =

23, 29, 43, 46, 47, 49, 53, 58, 59, 67, 69, 71, 79, 83, 86, 87, 89, 92, 94, 98, 103, 106, 107, 113, 115, 116, 118, 121, 127, ... (последовательность A048136 в OEIS ), измененная аналогичным образом.

со статусом по-прежнему открытый вопрос для n =

25, 31, 41, 50, 61, 62, 75, 82, 93, 100, 101, 122, 123, 124, 125, ...

Падение популярности [ править ]

Т.Л. Хит , историк математики, предположил, что греческий математик Энопидес (около 440 г. до н.э.) был первым, кто поставил конструкции циркуля и линейки выше neuseis . Принцип избегать neuseis, когда это возможно, возможно, был распространен Гиппократом Хиосским (около 430 г. до н.э.), который происходил с того же острова, что и Энопид, и который, насколько нам известно, был первым, кто написал систематически упорядоченный учебник геометрии. . Спустя сто лет после него Евклид тоже избегал neuseis в своем очень влиятельном учебнике «Элементы» .

Следующая атака на neusis наступила , когда из века до н.э. четвертого, Платона «S идеализм получил землю. Под его влиянием сложилась иерархия трех классов геометрических построений. Переходя от «абстрактного и благородного» к «механическому и земному», эти три класса были:

  1. конструкции только с прямыми и окружностями (циркуль и линейка);
  2. конструкции, в которых помимо этого используются конические сечения ( эллипсы , параболы , гиперболы );
  3. конструкции, которые нуждались в других средствах строительства, например neuseis .

В конце концов, использование neusis было сочтено приемлемым только тогда, когда две другие, более высокие категории конструкций не предложили решения. Neusis стал своего рода последним средством, к которому прибегали только тогда, когда все другие, более респектабельные методы терпели неудачу. Использование neusis там, где могли быть использованы другие методы построения, было названо поздним греческим математиком Паппом Александрийским (ок. 325 г. н.э.) как «немалую ошибку».

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

  1. Перейти ↑ Weisstein, Eric W. Neusis Construction. Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/NeusisConstruction.html
  2. Перейти ↑ Guicciardini, Niccolò (2009). Исаак Ньютон о математической достоверности и методе, выпуск 4 . MIT Press . п. 68. ISBN 9780262013178.
  3. ^ Бенджамин, Эллиот; Снайдер, К. (май 2014 г.). «О построении правильного пятиугольника с помощью линейки и циркуля» . Математические труды Кембриджского философского общества . 156 (3): 409–424. DOI : 10.1017 / S0305004113000753 . Архивировано 26 сентября 2020 года . Проверено 26 сентября 2020 .
  • Р. Бёкер, «Neusis», в: Paulys Realencyclopädie der Classischen Altertumswissenschaft , G. Wissowa red. (1894–), Дополнение 9 (1962) 415–461. – На немецком языке. Самый полный обзор; однако у автора иногда возникают довольно любопытные мнения.
  • Т. Л. Хит , История греческой математики (2 тома; Оксфорд, 1921 г.).
  • HG Zeuthen , Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum [= Теория конических сечений в древности] (Копенгаген, 1886 г .; перепечатано в Хильдесхайме, 1966 г.).

Внешние ссылки [ править ]

  • Страница MathWorld
  • Трисекция угла при складывании бумаги