Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Обычный хендекагон
Правильный многоугольник 11 annotated.svg
Обычный хендекагон
ТипПравильный многоугольник
Ребра и вершины11
Символ Шлефли{11}
Диаграмма КокстераCDel node 1.pngCDel 11.pngCDel node.png
Группа симметрииДвугранный (D 11 ), порядок 2 × 11
Внутренний угол ( градусы )≈147,273 °
Двойной многоугольникСебя
ХарактеристикиВыпуклый , циклический , равносторонний , изогональный , изотоксальный

В геометрии , A одиннадцатиугольник (также undecagon [1] [2] или endecagon [3] ) или 11-угольник является одиннадцать-сторонним многоугольником . (Название hendecagon , от греческого hendeka «одиннадцать» и –gon «угол», часто предпочтительнее гибридного ундекагона , первая часть которого образована от латинского undecim «одиннадцать». [4] )

Обычный девятиугольник [ править ]

Регулярно одиннадцатиугольник представлен Шлефл символом {11}.

Регулярное одиннадцатиугольник имеет внутренние углы по 147. 27 градусов (= 147 градусов). [5] Площадь правильного пятиугольника с длиной стороны a определяется выражением [2]

Так как 11 не является простым числом Ферма , правильный шестигранник не может быть построен с помощью циркуля и линейки . [6] Поскольку 11 не является простым числом Пьерпона , построение правильного шестиугольника все еще невозможно даже с использованием трехсекторального угла .

Можно построить близкие приближения к правильному пятиугольнику. Например, древнегреческие математики аппроксимировали длину стороны пятиугольника, вписанного в единичный круг, как 14/25 единиц. [7]

Двуугольник можно построить точно с помощью конструкции neusis [8], а также с помощью двумерного оригами. [9]

Примерная конструкция [ править ]

Гендекагон, медная гравюра, 1698 год, автор Антон Эрнст Буркхард из Биркенштейна

Следующее описание конструкции дано Т. Драммондом с 1800 года: [10]

« Нарисуйте радиус AB , разделите его пополам в C - с отверстием циркуля, равным половине радиуса, на A и C в качестве центров, описывающих дуги CDI и AD - с расстоянием ID после того, как я описываю дугу DO и нарисуйте линию CO , который будет размером одной стороны шестиугольника, достаточно точным для практики ".

На единичном круге:

  • Построенная длина стороны пятиугольника
  • Теоретическая длина стороны пятиугольника
  • Абсолютная ошибка - если AB составляет 10 м, то эта ошибка составляет примерно 2,3 мм.

Симметрия [ править ]

Симметрии правильного пятиугольника. Вершины окрашены в соответствии с их положением симметрии. Синие зеркальные линии проводятся через вершины и края. В центре даны приказы гирации.

Регулярно одиннадцатиугольник имеет DIH 11 симметрии , порядка 22. Так как 11 является простым числом , есть одна подгруппы с двугранной симметрией: DIH 1 , 2 и циклические группы симметрия: Z 11 и Z 1 .

Эти 4 симметрии можно увидеть в 4 различных симметриях на пятиугольнике. Джон Конвей помечает их буквой и групповым порядком. [11] Полная симметрия правильной формы - r22, а симметрия не помечена как a1 . Двугранные симметрии разделяются в зависимости от того, проходят ли они через вершины ( d для диагонали) или ребра ( p для перпендикуляров), и i, когда линии отражения проходят через оба ребра и вершины. Циклические симметрии в среднем столбце обозначены буквой g для их центральных порядков вращения.

Симметрия каждой подгруппы допускает одну или несколько степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g11 не имеет степеней свободы, но ее можно рассматривать как направленные ребра .

Использование в чеканке монет [ править ]

Канадский доллар монета, то луни , подобна, но не точно, регулярно hendecagonal призмы , [12] , как и индийская 2- рупия монета [13] и несколько других менее распространенных монет других стран. [14] Поперечное сечение луни на самом деле представляет собой пятнадцатигранник Рило . Доллар США Сьюзен Б. Энтони имеет шестиугольный контур по внутренней стороне краев. [15]

Связанные рисунки [ править ]

У четырехугольника тот же набор из 11 вершин, что и у четырех правильных диаграмм :


{11/2}
{11/3}
{11/4}
{11/5}

См. Также [ править ]

  • 10-симплекс - можно рассматривать как полный граф в правильной десятиугольной ортогональной проекции

Ссылки [ править ]

  1. ^ Haldeman, Кир Б. (1922), "Строительство регулярного undecagon по секстике кривой", дискуссии, American Mathematical Monthly , 29 (10), DOI : 10,2307 / 2299029 , JSTOR  2299029.
  2. ^ a b Лумис, Элиас (1859 г.), Элементы плоской и сферической тригонометрии: с их приложениями к измерениям, геодезии и навигации , Harper, p. 65.
  3. ↑ Brewer, Ebenezer Cobham (1877), Ошибки речи и правописания , Лондон: W. Tegg and co., P. iv.
  4. ^ Одиннадцатиугольник - от Wolfram MathWorld
  5. ^ Макклейн, Кей (1998), Математика Гленко: приложения и связи , Glencoe / McGraw-Hill, стр. 357 , ISBN 9780028330549.
  6. ^ Какдоказал Гаусс , многоугольник с простым числомсторон p можно построить тогда и только тогда, когда p  - 1 является степенью двойки , что неверно для 11. См. Kline, Morris (1990), Mathematical Thought From Ancient to to Modern Times , 2 , Oxford University Press, стр. 753–754, ISBN 9780199840427.
  7. ^ Хит, сэр Томас Литтл (1921), История греческой математики, Vol. II: От Аристарха до Диофанта , The Clarendon Press, стр. 329.
  8. ^ Бенджамин, Эллиот; Снайдер, К. Математические материалы Кембриджского философского общества 156.3 (май 2014 г.): 409-424 .; https://dx.doi.org/10.1017/S0305004113000753
  9. Перейти ↑ Lucero, JC (2018). «Построение правильного четырехугольника двумерным оригами» . Crux Mathematicorum . 44 : 207–213.
  10. ^ Т. Драммонд, (1800) ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЙ СОБСТВЕННИК Юных леди и джентльменов, в «Принимая высоты и расстояния ...», Описание конструкции, стр. 15–16 Рис. 40: пролистайте со страницы 69 ... на страницу 76 Часть I. Второе издание , получено 26 марта 2016 г.
  11. ^ Джон Х. Конвей, Хайди Берджел, Хаим Гудман-Штраус , (2008) Симметрии вещей, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 20, Обобщенные символы Шафли, Типы симметрии многоугольника, стр. 275- 278) 
  12. ^ Моссинхофф, Michael J. (2006), "A $ 1 проблема" (PDF) , American Mathematical Monthly , 113 (5): 385-402, DOI : 10,2307 / 27641947 , JSTOR 27641947  
  13. ^ Cuhaj, Джордж S .; Майкл, Томас (2012 г.), Стандартный каталог мировых монет 2013 г. с 2001 г. по настоящее время , Krause Publications, стр. 402, ISBN 9781440229657.
  14. ^ Cuhaj, Джордж S .; Майкл, Томас (2011), Unusual World Coins (6-е изд.), Krause Publications, стр. 23, 222, 233, 526, ISBN 9781440217128.
  15. ↑ Палата представителей США, 1978 , стр. 7.

Внешние ссылки [ править ]

  • Свойства Undecagon (hendecagon) с интерактивной анимацией
  • Вайсштейн, Эрик В. «Хендекагон» . MathWorld .
  • Обычные хендкагоны
  • Правильный пятиугольник, приблизительная конструкция