Кубические соты | |
---|---|
Тип | Обычные соты |
Семья | Гиперкубические соты |
Индексирование [1] | J 11,15 , A 1 W 1 , G 22 |
Символ Шлефли | {4,3,4} |
Диаграмма Кокстера | |
Тип ячейки | {4,3} |
Тип лица | квадрат {4} |
Фигура вершины | октаэдр |
Пространственная группа Фибрифолдное обозначение | PM 3 м (221) 4 - : 2 |
Группа Коксетера | , [4,3,4] |
Двойной | самодвойная ячейка: |
Характеристики | Вершинно-транзитивный , регулярный |
Кубические сотни или кубический cellulation является единственно правильной регулярным пространством заполнения тесселяция (или сотни ) в евклидове 3-пространстве , состоящая из кубических клеток. У него 4 куба вокруг каждого края и 8 кубов вокруг каждой вершины. Его вершина - правильный октаэдр . Это самодвойственная мозаика с символом Шлефли {4,3,4}. Джон Хортон Конвей называет эти соты кубильей .
Геометрические соты являются пространственно-заполнением из полиэдрических или выше одномерных клеток , так что нет никаких промежутков. Это пример более общей математической мозаики или мозаики в любом количестве измерений.
Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве, как выпуклые однородные соты . Они также могут быть построены в неевклидовых пространствах , таких как гиперболические однородные соты . Любой конечный однородный многогранник можно спроецировать на описанную им сферу, чтобы сформировать однородные соты в сферическом пространстве.
Связанные соты
Он является частью многомерного семейства сот из гиперкуба с символами Шлефли вида {4,3, ..., 3,4}, начиная с квадратного мозаичного покрытия , {4,4} на плоскости.
Это одна из 28 однородных сот, в которых используются выпуклые однородные многогранные ячейки.
Изометрии простых кубических решеток
Простые кубические решетки могут быть искажены до более низких симметрий, представленных низшими кристаллическими системами:
Кристаллическая система | Моноклинический триклиник | Орторомбический | Тетрагональный | Ромбоэдрический | Кубический |
---|---|---|---|---|---|
Ячейка | Параллелепипед | Прямоугольный кубоид | Квадратный кубоид | Тригональный трапецоэдр | Куб |
Группа точек Порядок вращения Подгруппа | [], (*) Заказ 2 [] + , (1) | [2,2], (* 222) Порядок 8 [2,2] + , (222) | [4,2], (* 422) Порядок 16 [4,2] + , (422) | [3], (* 33) Порядок 6 [3] + , (33) | [4,3], (* 432) Порядок 48 [4,3] + , (432) |
Диаграмма | |||||
Пространственная группа Подгруппа вращения | Pm (6) P1 (1) | Пммм (47) П222 (16) | P4 / ммм (123) P422 (89) | R3m (160) R3 (146) | PM 3 м (221) P432 (207) |
Обозначение Кокстера | - | [∞] a × [∞] b × [∞] c | [4,4] a × [∞] c | - | [4,3,4] а |
Диаграмма Кокстера | - | - |
Равномерная окраска
Существует большое количество однородных расцветок , полученных из разных симметрий. Это включает:
Обозначение Кокстера Космическая группа | Диаграмма Кокстера | Символ Шлефли | Частичные соты | Цвета по буквам |
---|---|---|---|---|
[4,3,4] Pm 3 м (221) | знак равно | {4,3,4} | 1: аааа / аааа | |
[4,3 1,1 ] = [4,3,4,1 + ] Fm 3 м (225) | знак равно | {4,3 1,1 } | 2: abba / baab | |
[4,3,4] Pm 3 м (221) | т 0,3 {4,3,4} | 4: abbc / bccd | ||
[[4,3,4]] PM 3 м (229) | т 0,3 {4,3,4} | 4: abbb / bbba | ||
[4,3,4,2, ∞] | или же | {4,4} × t {∞} | 2: аааа / bbbb | |
[4,3,4,2, ∞] | т 1 {4,4} × {∞} | 2: abba / abba | ||
[∞, 2, ∞, 2, ∞] | т {∞} × т {∞} × {∞} | 4: abcd / abcd | ||
[∞, 2, ∞, 2, ∞] = [4, (3,4) * ] | знак равно | т {∞} × т {∞} × т {∞} | 8: abcd / efgh |
Прогнозы
Кубический сот может быть ортогонально проецируются в евклидовую плоскость с различными механизмами симметрии. Форма высшей (гексагональной) симметрии проектируется в треугольную мозаику . Проекция квадратной симметрии образует квадратную мозаику .
Симметрия | p6m (* 632) | p4m (* 442) | pmm (* 2222) | ||
---|---|---|---|---|---|
Твердый | |||||
Рамка |
Связанные многогранники и соты
Он связан с правильным тессерактом с четырьмя многогранниками , символом Шлефли {4,3,3}, который существует в четырехмерном пространстве и имеет только 3 куба вокруг каждого края. Это также связано с кубическими сотами порядка 5 , символом Шлефли {4,3,5} гиперболического пространства с 5 кубиками вокруг каждого края.
Это последовательность полихор и сот с восьмигранными вершинами .
{p, 3,4} обычные соты | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Космос | S 3 | E 3 | H 3 | ||||||||
Форма | Конечный | Аффинный | Компактный | Паракомпакт | Некомпактный | ||||||
Имя | {3,3,4} | {4,3,4} | {5,3,4} | {6,3,4} | {7,3,4} | {8,3,4} | ... {∞, 3,4} | ||||
Изображение | |||||||||||
Клетки | {3,3} | {4,3} | {5,3} | {6,3} | {7,3} | {8,3} | {∞, 3} |
Это последовательность правильных многогранников и сот с кубическими ячейками .
{4,3, п} соты обыкновенные | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Космос | S 3 | E 3 | H 3 | ||||||||
Форма | Конечный | Аффинный | Компактный | Паракомпакт | Некомпактный | ||||||
Имя | {4,3,3} | {4,3,4} | {4,3,5} | {4,3,6} | {4,3,7} | {4,3,8} | ... {4,3, ∞} | ||||
Изображение | |||||||||||
Фигура вершины | {3,3} | {3,4} | {3,5} | {3,6} | {3,7} | {3,8} | {3, ∞} |
{p, 3, p} обычные соты | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Космос | S 3 | Евклидово E 3 | H 3 | ||||||||
Форма | Конечный | Аффинный | Компактный | Паракомпакт | Некомпактный | ||||||
Имя | {3,3,3} | {4,3,4} | {5,3,5} | {6,3,6} | {7,3,7} | {8,3,8} | ... {∞, 3, ∞} | ||||
Изображение | |||||||||||
Клетки | {3,3} | {4,3} | {5,3} | {6,3} | {7,3} | {8,3} | {∞, 3} | ||||
Фигура вершины | {3,3} | {3,4} | {3,5} | {3,6} | {3,7} | {3,8} | {3, ∞} |
Связанные многогранники
Кубические соты имеют более низкую симметрию, чем кубические соты с двумя размерами кубов . Конструкция с двойной симметрией может быть построена путем помещения маленького куба в каждый большой куб, в результате чего получатся неоднородные соты с кубами , квадратными призмами и прямоугольными трапециевидными призмами (куб с симметрией D 2d ). Его вершина представляет собой треугольную пирамиду, боковые грани которой дополнены тетраэдрами.
Двойная ячейка
Полученные соты можно чередовать, чтобы получить еще одну неоднородную соту с правильными тетраэдрами , двумя видами тетрагональных дифеноидов, треугольными пирамидами и сфеноидами. Его вершинная фигура имеет симметрию C 3v и имеет 26 треугольных граней, 39 ребер и 15 вершин.
Связанные евклидовы мозаики
[4,3,4], , Группа Кокстера генерирует 15 перестановок однородных мозаик, 9 с отличной геометрией, включая чередующиеся кубические соты. Расширено кубические сотни (также известные как runcinated кубических соты) геометрически идентичны кубические сотни.
C3 соты | |||||
---|---|---|---|---|---|
Космическая группа | Фибрифолд | Расширенная симметрия | Расширенная диаграмма | Заказ | Соты |
Рт 3 м (221) | 4 - : 2 | [4,3,4] | × 1 | 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 | |
FM 3 м (225) | 2 - : 2 | [1 + , 4,3,4] ↔ [4,3 1,1 ] | ↔ | Половина | 7 , 11 , 12 , 13 |
Я 4 3 мес. (217) | 4 ч : 2 | [[(4,3,4,2 + )]] | Половина × 2 | (7) , | |
Fd 3 м (227) | 2 + : 2 | [[1 + , 4,3,4,1 + ]] ↔ [[3 [4] ]] | ↔ | Квартал × 2 | 10 , |
Я 3 мес. (229) | 8 часов : 2 | [[4,3,4]] | × 2 | (1) , 8 , 9 |
[4,3 1,1 ],, Группа Кокстера генерирует 9 перестановок однородных мозаик, 4 с отличной геометрией, включая чередующиеся кубические соты.
В3 соты | |||||
---|---|---|---|---|---|
Космическая группа | Фибрифолд | Расширенная симметрия | Расширенная диаграмма | Заказ | Соты |
FM 3 м (225) | 2 - : 2 | [4,3 1,1 ] ↔ [4,3,4,1 + ] | ↔ | × 1 | 1 , 2 , 3 , 4 |
FM 3 м (225) | 2 - : 2 | <[1 + , 4,3 1,1 ]> ↔ <[3 [4] ]> | ↔ | × 2 | (1) , (3) |
Рт 3 м (221) | 4 - : 2 | <[4,3 1,1 ]> | × 2 | 5 , 6 , 7 , (6) , 9 , 10 , 11 |
Эти соты - одна из пяти различных однородных сот [2], построенных Группа Кокстера . Симметрию можно умножить на симметрию колец в диаграммах Кокстера – Дынкина :
Соты формата А3 | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
Космическая группа | Фибрифолд | Квадратная симметрия | Расширенная симметрия | Расширенная диаграмма | Расширенная группа | Сотовые диаграммы |
Ж 4 3 мес. (216) | 1 о : 2 | а1 | [3 [4] ] | (Никто) | ||
FM 3 м (225) | 2 - : 2 | d2 | <[3 [4] ]> ↔ [4,3 1,1 ] | ↔ | × 2 1 ↔ | 1 , 2 |
Fd 3 м (227) | 2 + : 2 | g2 | [[3 [4] ]] или [2 + [3 [4] ]] | ↔ | × 2 2 | 3 |
Рт 3 м (221) | 4 - : 2 | d4 | <2 [3 [4] ]> ↔ [4,3,4] | ↔ | × 4 1 ↔ | 4 |
Я 3 (204) | 8 −o | r8 | [4 [3 [4] ]] + ↔ [[4,3 + , 4]] | ↔ | ½× 8 ↔ ½× 2 | (*) |
Я 3 мес. (229) | 8 часов : 2 | [4 [3 [4] ]] ↔ [[4,3,4]] | × 8 ↔× 2 | 5 |
Ректифицированные соты кубической формы
Ректифицированные соты кубической формы | |
---|---|
Тип | Равномерные соты |
Символ Шлефли | r {4,3,4} или t 1 {4,3,4} r {4,3 1,1 } 2r {4,3 1,1 } r {3 [4] } |
Диаграммы Кокстера | знак равно знак равно знак равно знак равно знак равно |
Клетки | г {4,3} {3,4} |
Лица | треугольник {3} квадрат {4} |
Фигура вершины | квадратная призма |
Пространственная группа Фибрифолдное обозначение | PM 3 м (221) 4 - : 2 |
Группа Коксетера | , [4,3,4] |
Двойной | сплюснутый октаэдр Ячейка: |
Характеристики | Вершинно-транзитивный , реберно-транзитивный |
Выпрямляются кубический сот или выпрямляются кубический cellulation является равномерным пространством заполнения тесселяции (или сот ) в евклидове 3-пространстве. Он состоит из октаэдров и кубооктаэдров в соотношении 1: 1 с квадратной формой вершины призмы .
Джон Хортон Конвей называет эти соты кубооктаэдрилью , а двойные - сжатыми октаэдрилами .
Прогнозы
Выпрямляется кубический сота может быть ортогонально проецируется в евклидовой плоскости с различными механизмов симметрии.
Симметрия | p6m (* 632) | p4m (* 442) | pmm (* 2222) | ||
---|---|---|---|---|---|
Твердый | |||||
Рамка |
Симметрия
Есть четыре одинаковых цвета для ячеек этой соты с отражающей симметрией, перечисленных по их группе Кокстера , названию конструкции Wythoff и диаграмме Кокстера ниже.
Симметрия | [4,3,4] | [1 + , 4,3,4] [4,3 1,1 ], | [4,3,4,1 + ] [4,3 1,1 ], | [1 + , 4,3,4,1 + ] [3 [4] ], |
---|---|---|---|---|
Космическая группа | Рт 3 м (221) | FM 3 м (225) | FM 3 м (225) | Ж 4 3 мес. (216) |
Раскраска | ||||
Диаграмма Кокстера | ||||
Фигура вершины | ||||
Симметрия вершинной фигуры | D 4h [4,2] (* 224) порядок 16 | D 2h [2,2] (* 222) порядок 8 | C 4v [4] (* 44) порядок 8 | C 2v [2] (* 22) порядок 4 |
Эти соты можно разделить на тригексагональные плоскости мозаики , используя центры шестиугольников кубооктаэдров, образуя два треугольных купола . Эти чешуйчатые соты представлены диаграммой Кокстера., и символ s 3 {2,6,3}, с симметрией записи кокстера [2 + , 6,3].
- .
Связанные многогранники
Конструкция с двойной симметрией может быть получена путем размещения октаэдров на кубооктаэдрах, что приводит к неоднородным сотам с двумя видами октаэдров (правильные октаэдры и треугольные антипризмы). Вершина фигуры - квадратное раздвоение . Двойник состоит из удлиненных квадратных бипирамид .
Двойная ячейка
Усеченные кубические соты
Усеченные кубические соты | |
---|---|
Тип | Равномерные соты |
Символ Шлефли | т {4,3,4} или т 0,1 {4,3,4} т {4,3 1,1 } |
Диаграммы Кокстера | знак равно |
Тип ячейки | т {4,3} {3,4} |
Тип лица | треугольник {3} квадрат {4} восьмиугольник {8} |
Фигура вершины | равнобедренная квадратная пирамида |
Пространственная группа Фибрифолдное обозначение | PM 3 м (221) 4 - : 2 |
Группа Коксетера | , [4,3,4] |
Двойной | Пирамидильная ячейка: |
Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Усечен кубические сотни или усеченный кубический cellulation является равномерным пространством заполнения тесселяции (или сот ) в евклидове 3-пространстве. Он состоит из усеченных кубов и октаэдров в соотношении 1: 1 с равнобедренной квадратной пирамидой в вершине .
Джон Хортон Конвей называет эту соту усеченной кубиллей и ее двойной пирамидиллей .
Прогнозы
Усечен кубические сотни могут быть ортогонально проецируются в евклидовую плоскость с различными механизмами симметрии.
Симметрия | p6m (* 632) | p4m (* 442) | pmm (* 2222) | ||
---|---|---|---|---|---|
Твердый | |||||
Рамка |
Симметрия
Вторая однородная окраска обусловлена отражательной симметрией групп Кокстера , вторая - попеременно окрашенными усеченными кубическими ячейками.
Строительство | Бикантеллированный альтернативный кубический | Усеченные кубические соты |
---|---|---|
Группа Коксетера | [4,3 1,1 ], | [4,3,4], = <[4,3 1,1 ]> |
Космическая группа | FM 3 м | PM 3 м |
Раскраска | ||
Диаграмма Кокстера | знак равно | |
Фигура вершины |
Связанные многогранники
Конструкция с двойной симметрией может быть получена путем размещения октаэдров на усеченных кубах, что приводит к неоднородным сотам с двумя видами октаэдров (правильные октаэдры и треугольные антипризмы) и двумя видами тетраэдров (тетрагональные дифеноиды и дигональные дифеноиды). Фигура вершины - квадратный купол октаки.
Фигура вершины
Двойная ячейка
Усеченные кубические соты
Усеченные кубические соты | |
---|---|
Тип | Равномерные соты |
Символ Шлефли | 2т {4,3,4} т 1,2 {4,3,4} |
Диаграмма Кокстера-Дынкина | |
Клетки | т {3,4} |
Лица | квадрат {4} шестиугольник {6} |
Фигурка края | равнобедренный треугольник {3} |
Фигура вершины | тетрагональный дисфеноид |
Группа симметрии Обозначение фибрифолда Обозначение Кокстера | Im 3 м (229) 8 o : 2 [[4,3,4]] |
Группа Коксетера | , [4,3,4] |
Двойной | Сплюснутая тетраэдр. Дисфеноидная тетраэдрическая сотовая ячейка: |
Характеристики | Вершинно-транзитивный , реберный , клеточно-транзитивный |
Bitruncated кубического сот представляет собой пространство заполнения тесселяции (или сотни ) в евклидове пространства 3 из усеченных октаэдров (или, что эквивалентно, bitruncated кубов). Он имеет четыре усеченных октаэдра вокруг каждой вершины в форме вершины тетрагонального дисфеноида . Он полностью состоит из усеченных октаэдров и является клеточно-транзитивным . Он также является реберно-транзитивным , с двумя шестиугольниками и одним квадратом на каждом ребре, и вершинно-транзитивным . Это один из 28 однородных сот .
Джон Хортон Конвей называет эти соты усеченными октаэдрилами в своем списке архитектурной и катоптрической мозаики с двойным слоем, называемым сплюснутым тетраэдрилом , также называемым двусфеноидными тетраэдрическими сотами . Хотя обычный тетраэдр не может замощить пространство в одиночку, у этого двойника есть идентичные ячейки тетраэдра дисфеноида с гранями равнобедренного треугольника .
Прогнозы
Bitruncated кубических сота может быть ортогонально проецируется в евклидовой плоскости с различными механизмов симметрии. Форма высшей (гексагональной) симметрии проектируется в неоднородный ромбитрихексагональный мозаичный слой . Проекция квадратной симметрии образует две перекрывающиеся усеченные квадратные плитки , которые объединяются в квадратную плитку со скошенной фаской .
Симметрия | p6m (* 632) | p4m (* 442) | pmm (* 2222) | ||
---|---|---|---|---|---|
Твердый | |||||
Рамка |
Симметрия
Вершиной этой соты является тетраэдр дисфеноида , а также тетраэдр Гурса ( фундаментальная область ) для Группа Кокстера . Эта сотовая структура имеет четыре одинаковых конструкции, с усеченными октаэдрическими ячейками, имеющими разные группы Кокстера и конструкции Витхоффа . Эти однородные симметрии можно представить, раскрасив по-разному ячейки в каждой конструкции.
Космическая группа | Я 3 мес. (229) | PM 3 мес. (221) | FM 3 м (225) | Ж 4 3 мес. (216) | Fd 3 м (227) |
---|---|---|---|---|---|
Фибрифолд | 8 часов : 2 | 4 - : 2 | 2 - : 2 | 1 о : 2 | 2 + : 2 |
Группа Коксетера | × 2 [[4,3,4]] = [4 [3 [4] ]] знак равно | [4,3,4] = [2 [3 [4] ]] знак равно | [4,3 1,1 ] = <[3 [4] ]> знак равно | [3 [4] ] | × 2 [[3 [4] ]] = [[3 [4] ]] |
Диаграмма Кокстера | |||||
усеченные октаэдры | 1 | 1: 1 : | 2: 1: 1 : : | 1: 1: 1: 1 : : : | 1: 1 : |
Фигура вершины | |||||
Симметрия вершинной фигуры | [2 + , 4] (заказ 8) | [2] (порядок 4) | [] (порядок 2) | [] + (заказ 1) | [2] + (заказ 2) |
Изображение, раскрашенное ячейкой |
Связанные многогранники
Неоднородные варианты с симметрией [4,3,4] и двумя типами усеченных октаэдров можно удвоить, поместив два типа усеченных октаэдров, чтобы получить неоднородные соты с усеченными октаэдрами и гексагональными призмами (как дитригональные трапеции). Его вершина представляет собой C 2v -симметричную треугольную бипирамиду .
Затем эти соты можно чередовать, чтобы получить другие неоднородные соты с пиритоэдрическими икосаэдрами , октаэдрами (как треугольные антипризмы) и тетраэдрами (как сфеноиды). Его вершинная фигура имеет симметрию C 2v и состоит из 2 пятиугольников , 4 прямоугольников , 4 равнобедренных треугольников (разделенных на два набора по 2) и 4 равнобедренных треугольников .
Кубические соты с чередованием битов и усечением
Кубические соты с чередованием битов и усечением | |
---|---|
Тип | Выпуклые соты |
Символ Шлефли | 2s {4,3,4} 2s {4,3 1,1 } sr {3 [4] } |
Диаграммы Кокстера | знак равно знак равно знак равно |
Клетки | {3,3} с {3,3} |
Лица | треугольник {3} |
Фигура вершины | |
Группа Коксетера | [[4,3 + , 4]], |
Двойной | Сотовая ячейка из десяти бриллиантов : |
Характеристики | Вершинно-транзитивный , неоднородный |
Чередовались bitruncated кубических сот или bisnub кубических сот неоднородны, с самой высокой симметрией конструкцией , отражающей чередование равномерной bitruncated кубических сот. Конструкция с более низкой симметрией включает правильные икосаэдры в паре с золотыми икосаэдрами (с 8 равносторонними треугольниками и 12 золотыми треугольниками). Есть три конструкции из трех связанных диаграмм Кокстера :, , а также . Они обладают симметрией [4,3 + , 4], [4, (3 1,1 ) + ] и [3 [4] ] + соответственно. Первую и последнюю симметрию можно удвоить как [[4,3 + , 4]] и [[3 [4] ]] + .
Эти соты представлены атомами бора α-ромбиэдрического кристалла . Центры икосаэдров расположены в ГЦК-позициях решетки. [3]
Космическая группа | Я 3 (204) | Вечер 3 (200) | FM 3 (202) | Fd 3 (203) | F23 (196) |
---|---|---|---|---|---|
Фибрифолд | 8 −o | 4 - | 2 - | 2 o + | 1 o |
Группа Коксетера | [[4,3 + , 4]] | [4,3 + , 4] | [4, (3 1,1 ) + ] | [[3 [4] ]] + | [3 [4] ] + |
Диаграмма Кокстера | |||||
Заказ | двойной | полный | половина | четверть двойной | четверть |
Сотовые соты кубической формы
Сотовые соты кубической формы | |
---|---|
Тип | Равномерные соты |
Символ Шлефли | rr {4,3,4} или t 0,2 {4,3,4} rr {4,3 1,1 } |
Диаграмма Кокстера | знак равно |
Клетки | rr {4,3} r {4,3} {} x {4} |
Фигура вершины | клин |
Пространственная группа Фибрифолдное обозначение | PM 3 м (221) 4 - : 2 |
Группа Коксетера | [4,3,4], |
Двойной | четверть сплюснутый октаэдр Ячейка: |
Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Cantellated кубических сотни или cantellated кубического cellulation является равномерным пространством заполнения тесселяции (или сот ) в евклидове 3-пространстве. Она состоит из rhombicuboctahedra , cuboctahedra и кубов в соотношении 1: 1: 3, с клиновидной вершиной фигуры .
Джон Хортон Конвей называет эти соты 2-RCO-трилью и ее двухчетвертной сжатой октаэдрией .
Изображений
Это тесно связано со структурой перовскита , показанной здесь с кубической симметрией, с атомами, размещенными в центре ячеек этой соты. |
Прогнозы
Cantellated кубических сота может быть ортогонально проецируется в евклидовой плоскости с различными механизмов симметрии.
Симметрия | p6m (* 632) | p4m (* 442) | pmm (* 2222) | ||
---|---|---|---|---|---|
Твердый | |||||
Рамка |
Симметрия
Есть вторая однородная окраска по отражательной симметрии групп Кокстера , вторая - с поочередно окрашенными ромбокубооктаэдрическими ячейками.
Строительство | Усеченные кубические соты | Бикантеллированный альтернативный кубический |
---|---|---|
Группа Коксетера | [4,3,4], = <[4,3 1,1 ]> | [4,3 1,1 ], |
Космическая группа | PM 3 м | FM 3 м |
Диаграмма Кокстера | ||
Раскраска | ||
Фигура вершины | ||
Симметрия вершинной фигуры | [] порядок 2 | [] + заказ 1 |
Связанные многогранники
Конструкция с двойной симметрией может быть получена путем размещения кубооктаэдров на ромбокубооктаэдрах, что приводит к выпрямленным кубическим сотам , принимая треугольные антипризмы за правильные октаэдры , квадратные пары антиприз и тетрагональные дифеноиды нулевой высоты как компоненты кубооктаэдра . Другие варианты приводят к кубооктаэдрам , квадратным антипризмам , октаэдрам (как треугольным антиподиям) и тетраэдрам (как тетрагональным дифеноидам) с фигурой вершины, топологически эквивалентной кубу с треугольной призмой, прикрепленной к одной из его квадратных граней.
Четверть сплющенный октаэдр
Двойственный cantellated кубической соты называется -й квартал сплюснутого octahedrille , A катоптрические тесселяции с Кокстером диаграммой , содержащий грани двух из четырех гиперплоскостей кубической фундаментальной области [4,3,4].
Он имеет неправильные треугольные бипирамидные ячейки, которые можно рассматривать как 1/12 куба, состоящего из центра куба, 2 центров граней и 2 вершин.
Сота с усеченными кубами
Сота с усеченными кубами | |
---|---|
Тип | Равномерные соты |
Символ Шлефли | tr {4,3,4} или t 0,1,2 {4,3,4} tr {4,3 1,1 } |
Диаграмма Кокстера | знак равно |
Клетки | tr {4,3} t {3,4} {} x {4} |
Лица | квадрат {4} шестиугольник {6} восьмиугольник {8} |
Фигура вершины | зеркальная клиновидная кость |
Группа Коксетера | [4,3,4], |
Группа симметрии Обозначение фибрифолда | PM 3 м (221) 4 - : 2 |
Двойной | Ячейки треугольной пирамидиллы : |
Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Cantitruncated кубических сотни или cantitruncated кубического cellulation является равномерной пространством заполнения тесселяции (или сот ) в евклидове 3-пространстве, состоящая из усеченного cuboctahedra , усеченные октаэдры и кубы в соотношении 1: 1: 3, с зеркальной клиновидной костью фигура вершины .
Джон Хортон Конвей называет эту соту n-tCO-trille и ее двойной треугольной пирамидилой .
Изображений
Вокруг каждой вершины существуют четыре ячейки:
Прогнозы
Cantitruncated кубических сота может быть ортогонально проецируется в евклидовой плоскости с различными механизмов симметрии.
Симметрия | p6m (* 632) | p4m (* 442) | pmm (* 2222) | ||
---|---|---|---|---|---|
Твердый | |||||
Рамка |
Симметрия
Ячейки могут быть изображены в двух разных симметриях. Линейная диаграмма Кокстера может быть нарисована одним цветом для каждого типа ячеек. Форма бифуркационной диаграммы может быть нарисована с чередованием двух типов (цветов) ячеек усеченного кубооктаэдра .
Строительство | Усеченный кубический | Омнитусеченный альтернативный кубический |
---|---|---|
Группа Коксетера | [4,3,4], = <[4,3 1,1 ]> | [4,3 1,1 ], |
Космическая группа | PM 3 мес. (221) | FM 3 м (225) |
Фибрифолд | 4 - : 2 | 2 - : 2 |
Раскраска | ||
Диаграмма Кокстера | ||
Фигура вершины | ||
Симметрия вершинной фигуры | [] порядок 2 | [] + заказ 1 |
Треугольная пирамидилла
Двойник из усеченных кубических сот называется треугольной пирамидиллей с диаграммой Кокстера ,. Эти соты представляют собой фундаментальные области симметрия.
Ячейка может быть как 1/24 трансляционного куба с расположенными вершинами: два угла, центр одной грани и центр куба. Цвета краев и метки указывают, сколько ячеек существует по краю.
Связанные многогранники и соты
Он связан с косым апейроэдром с конфигурацией вершин 4.4.6.6, с удаленными восьмиугольниками и некоторыми квадратами. Его можно рассматривать как построенный путем увеличения усеченных кубооктаэдрических ячеек или путем увеличения чередующихся усеченных октаэдров и кубов.
Связанные многогранники
Конструкция с двойной симметрией может быть получена путем размещения усеченных октаэдров на усеченных кубооктаэдрах, в результате чего образуются неоднородные соты с усеченными октаэдрами , гексагональные призмы (как дитригональные трапеции), кубы (как квадратные призмы), треугольные призмы (как C 2v -симметричные клинья). , и тетраэдры (как тетрагональные дисфеноиды). Его вершинная фигура топологически эквивалентна октаэдру .
Фигура вершины
Двойная ячейка
Чередующиеся усеченные кубические соты
Чередующиеся усеченные кубические соты | |
---|---|
Тип | Выпуклые соты |
Символ Шлефли | sr {4,3,4} sr {4,3 1,1 } |
Диаграммы Кокстера | знак равно |
Клетки | с {4,3} с {3,3} {3,3} |
Лица | треугольник {3} квадрат {4} |
Фигура вершины | |
Группа Коксетера | [(4,3) + , 4] |
Двойной | Клетка: |
Характеристики | Вершинно-транзитивный , неоднородный |
Чередовались cantitruncated кубических сотни или вздернутый выпрямляются кубический сот содержат три типа клеток: курносый куб , икосаэдры (с Т ч симметрией), тетраэдры (как тетрагональная disphenoids), и новые клетки тетраэдрическими созданы в промежутках.
Хотя он не является однородным, конструктивно его можно представить в виде диаграмм Кокстера. или же .
Несмотря на то, что они неоднородны, существует вариант с почти отсутствием кромок, показанный ниже, одна из которых примерно на 4,3% больше, чем другая. Курносые кубики в этом случае однородны, а остальные ячейки - нет.
Ортоснуб кубические соты
Ортоснуб кубические соты | |
---|---|
Тип | Выпуклые соты |
Символ Шлефли | 2с 0 {4,3,4} |
Диаграммы Кокстера | |
Клетки | с 2 {3,4} с {3,3} {} x {3} |
Лица | треугольник {3} квадрат {4} |
Фигура вершины | |
Группа Коксетера | [4 + , 3,4] |
Двойной | Клетка: |
Характеристики | Вершинно-транзитивный , неоднородный |
Orthosnub кубические сотни строятся оказанием давления на усеченные октаэдрах таким образом , что листы только прямоугольники из кубиков (квадратные призмы). Она не однородна, но может быть представлена в виде диаграммы Кокстера. . Он имеет ромбокубооктаэдры (с симметрией T h ), икосаэдры (с симметрией T h ) и треугольные призмы (как клинья симметрии C 2v ), заполняющие промежутки.
Связанные многогранники
Конструкция с двойной симметрией может быть получена путем размещения икосаэдров на ромбокубооктаэдрах, что приводит к неоднородным сотам с икосаэдрами , октаэдрами (как треугольные антипризмы), треугольными призмами (как C 2v -симметричные клинья) и квадратными пирамидами .
Фигура вершины
Двойная ячейка
Усеченные кубические соты
Усеченные кубические соты | |
---|---|
Тип | Равномерные соты |
Символ Шлефли | т 0,1,3 {4,3,4} |
Диаграммы Кокстера | |
Клетки | rr {4,3} t {4,3} {} x {8} {} x {4} |
Лица | треугольник {3} квадрат {4} восьмиугольник {8} |
Фигура вершины | равнобедренно-трапециевидная пирамида |
Группа Коксетера | [4,3,4], |
Пространственная группа Фибрифолдное обозначение | PM 3 м (221) 4 - : 2 |
Двойной | квадратная четверть пирамидиллы Cell |
Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Runcitruncated кубических сотни или runcitruncated кубического cellulation является равномерным пространством заполнения тесселяции (или сот ) в евклидове 3-пространстве. Он состоит из ромбокубооктаэдров , усеченных кубов , восьмиугольных призм и кубов в соотношении 1: 1: 3: 3 с равнобедренной трапециевидной пирамидой в вершине .
Его название происходит от диаграммы Кокстера ,с тремя кольцевыми узлами, представляющими 3 активных зеркала в конструкции Wythoff, по отношению к обычным кубическим сотам.
Джон Хортон Конвей называет эту соту 1-RCO-трилью и ее двойной квадратной пирамидилой .
Прогнозы
Runcitruncated кубических сота может быть ортогонально проецируется в евклидовой плоскости с различными механизмов симметрии.
Симметрия | p6m (* 632) | p4m (* 442) | pmm (* 2222) | ||
---|---|---|---|---|---|
Твердый | |||||
Рамка |
Связанный косой апейроэдр
Существуют два связанных однородных скошенных апейроэдра с одинаковым расположением вершин , которые рассматриваются как граничные ячейки из подмножества ячеек. У одного есть треугольники и квадраты, а у другого - треугольники, квадраты и восьмиугольники.
Квадратная пирамидилла
Двойник к усеченным кубическим сотам называется квадратной пирамидилой четверти с диаграммой Кокстера. . Грани существуют в 3 из 4 гиперплоскостей [4,3,4], Группа Кокстера.
Ячейки представляют собой неправильные пирамиды, и их можно рассматривать как 1/24 куба с использованием одного угла, одной средней точки края, двух центров граней и центра куба.
Связанные многогранники
Конструкция с двойной симметрией может быть получена путем размещения ромбокубооктаэдров на усеченных кубах, что приводит к неоднородным сотам с ромбокубооктаэдрами , октаэдрами (как треугольные антипризмы), кубами (как квадратные призмы), двумя видами треугольных призм (обе C 2v -симметричные клинья) , и тетраэдры (как дигональные дифеноиды). Его вершинная фигура топологически эквивалентна расширенной треугольной призме .
Фигура вершины
Двойная ячейка
Усеченные кубические соты
Усеченные кубические соты | |
---|---|
Тип | Равномерные соты |
Символ Шлефли | т 0,1,2,3 {4,3,4} |
Диаграмма Кокстера | |
Клетки | tr {4,3} {} x {8} |
Лица | квадрат {4} шестиугольник {6} восьмиугольник {8} |
Фигура вершины | филлический дисфеноид |
Группа симметрии Обозначение фибрифолда Обозначение Кокстера | Im 3 м (229) 8 o : 2 [[4,3,4]] |
Группа Коксетера | [4,3,4], |
Двойной | восьмая пирамидильная клетка |
Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Полностью усеченные кубические соты или полностью усеченные кубические соты - это однородная мозаика (или соты ), заполняющая пространство в евклидовом трехмерном пространстве. Он состоит из усеченных кубооктаэдров и восьмиугольных призм в соотношении 1: 3 с фигурной вершиной филлического дисфеноида .
Джон Хортон Конвей называет эту соту b-tCO-trille и ее двойную восьмую пирамидиллу .
Прогнозы
Все усеченные кубические соты могут быть ортогонально спроецированы в евклидову плоскость с различным расположением симметрии.
Симметрия | p6m (* 632) | p4m (* 442) | pmm (* 2222) | ||
---|---|---|---|---|---|
Твердый | |||||
Рамка |
Симметрия
Ячейки могут быть изображены в двух разных симметриях. Форма диаграммы Кокстера имеет два цвета усеченных кубооктаэдров и восьмиугольных призм . Симметрию можно удвоить, связав первую и последнюю ветви диаграммы Кокстера, которая может быть показана одним цветом для всех ячеек усеченной кубооктаэдрической и восьмиугольной призмы.
Симметрия | , [4,3,4] | × 2, [[4,3,4]] |
---|---|---|
Космическая группа | PM 3 мес. (221) | Я 3 мес. (229) |
Фибрифолд | 4 - : 2 | 8 часов : 2 |
Раскраска | ||
Диаграмма Кокстера | ||
Фигура вершины |
Связанные многогранники
Существуют два связанных равномерных косых апейроэдра с одинаковым расположением вершин . У первого удалены восьмиугольники и конфигурация вершин 4.4.4.6. Его можно рассматривать как усеченные кубооктаэдры и восьмиугольные призмы, увеличенные вместе. Вторую можно рассматривать как увеличенные восьмиугольные призмы, конфигурация вершин 4.8.4.8.
4.4.4.6 | 4.8.4.8 |
---|---|
Связанные многогранники
Неоднородные варианты с симметрией [4,3,4] и два типа усеченных кубооктаэдров можно удвоить, поместив два типа усеченных кубооктаэдров друг на друга, чтобы получить неоднородные соты с усеченными кубооктаэдрами , восьмиугольными призмами , гексагональными призмами (как дитригональные трапеции) , и два вида кубов (как прямоугольные трапеции и их C 2v -симметричные варианты). Его вершина представляет собой неправильную треугольную бипирамиду .
Фигура вершины
Двойная ячейка
Затем эти соты можно чередовать, чтобы получить другие неоднородные соты с курносыми кубиками , квадратными антипризмами , октаэдрами (как треугольные антипризмы) и тремя видами тетраэдров (как тетрагональные дифеноиды, филлические дифеноиды и неправильные тетраэдры).
Фигура вершины
Чередующиеся омниусеченные кубические соты
Чередующиеся омниусеченные кубические соты | |
---|---|
Тип | Выпуклые соты |
Символ Шлефли | ht 0,1,2,3 {4,3,4} |
Диаграмма Кокстера | |
Клетки | с {4,3} с {2,4} {3,3} |
Лица | треугольник {3} квадрат {4} |
Фигура вершины | |
Симметрия | [[4,3,4]] + |
Двойной | Двойные чередующиеся всесторонне усеченные кубические соты |
Характеристики | Вершинно-транзитивный , неоднородный |
Чередовались omnitruncated кубических сотни или omnisnub кубических сот могут быть построены путем чередования в omnitruncated кубических сот, хотя он не может быть однородным, но оно может быть дано Кокстера диаграмма :и имеет симметрию [[4,3,4]] + . Он делает курносые кубы из усеченных кубооктаэдров , квадратные антипризмы из восьмиугольных призм и создает новые тетраэдрические ячейки из промежутков.
Двойные чередующиеся всесторонне усеченные кубические соты
Двойные чередующиеся всесторонне усеченные кубические соты | |
---|---|
Тип | Двойные чередующиеся однородные соты |
Символ Шлефли | dht 0,1,2,3 {4,3,4} |
Диаграмма Кокстера | |
Клетка | |
Фигуры вершин | пентагональный икоситетраэдр тетрагональный трапецоэдр тетраэдр |
Симметрия | [[4,3,4]] + |
Двойной | Чередующиеся омниусеченные кубические соты |
Характеристики | Клеточно-транзитивный |
Двойные чередовалось omnitruncated кубических сотнями являются пространство заполнения сот построена как двойственные к чередовались omnitruncated кубических сот .
24 ячейки умещаются вокруг вершины, создавая хиральную октаэдрическую симметрию, которую можно сложить во всех трех измерениях:
Отдельные клетки обладают 2-кратной вращательной симметрией. В двумерной ортогональной проекции это выглядит как зеркальная симметрия.
Сеть | |||
Биалтернатоснуб кубические соты
Биалтернатоснуб кубические соты | |
---|---|
Тип | Выпуклые соты |
Символ Шлефли | sr 3 {4,3,4} |
Диаграммы Кокстера | |
Клетки | с 2 {3,4} с {4,3} {} x {4} {} x {3} |
Лица | треугольник {3} квадрат {4} |
Фигура вершины | |
Группа Коксетера | [4,3 + , 4] |
Двойной | Клетка: |
Характеристики | Вершинно-транзитивный , неоднородный |
Bialternatosnub кубических сот или runcic cantitruncated кубических сот или runcic cantitruncated кубический cellulation строится путем удаления чередующихся длинных прямоугольников из восьмиугольника и не является однородным, но оно может быть представлено в виде Кокстера диаграммы . Он имеет ромбокубооктаэдры (с симметрией T h ), курносые кубы , два вида кубов : квадратные призмы и прямоугольные трапеции (топологически эквивалентны кубу, но с симметрией D 2d ) и треугольные призмы (как клинья симметрии C 2v ), заполняющие промежутки .
Биортоснуб кубические соты
Биортоснуб кубические соты | |
---|---|
Тип | Выпуклые соты |
Символ Шлефли | 2с 0,3 {4,3,4} |
Диаграммы Кокстера | |
Клетки | с 2 {3,4} {} x {4} |
Лица | треугольник {3} квадрат {4} |
Фигура вершины | ( Тетрагональный антимиклин ) |
Группа Коксетера | [[4,3 + , 4]] |
Двойной | Клетка: |
Характеристики | Вершинно-транзитивный , неоднородный |
Biorthosnub кубических сот строится путем удаления чередующихся длинных прямоугольников из восьмиугольников ортогонально и не является однородным, но оно может быть представлено в виде Кокстера диаграммы . Он имеет ромбокубооктаэдры (с симметрией T h ) и два вида кубов : квадратные призмы и прямоугольные трапеции (топологически эквивалентны кубу, но с симметрией D 2d ).
Усеченные квадратные призматические соты
Усеченные квадратные призматические соты | |
---|---|
Тип | Равномерные соты |
Символ Шлефли | t {4,4} × {∞} или t 0,1,3 {4,4,2, ∞} tr {4,4} × {∞} или t 0,1,2,3 {4,4, ∞} |
Диаграмма Кокстера-Дынкина | |
Клетки | {} x {8} {} x {4} |
Лица | квадрат {4} восьмиугольник {8} |
Группа Коксетера | [4,4,2, ∞] |
Двойной | Квадратная призматическая черепица Тетракиса : |
Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Усеченный квадрат призматических соты или Томо-квадрата призматического cellulation пространства заполнения тесселяция (или сотни ) в евклидове 3-пространстве . Он состоит из восьмиугольных призм и кубов в соотношении 1: 1.
Он построен из усеченной квадратной плитки, выдавленной в виде призм.
Это одна из 28 выпуклых однородных сот .
Плоские квадратные призматические соты
Плоские квадратные призматические соты | |
---|---|
Тип | Равномерные соты |
Символ Шлефли | s {4,4} × {∞} sr {4,4} × {∞} |
Диаграмма Кокстера-Дынкина | |
Клетки | {} x {4} {} x {3} |
Лица | треугольник {3} квадрат {4} |
Группа Коксетера | [4 + , 4,2, ∞] [(4,4) + , 2, ∞] |
Двойной | Каирская пятиугольная призматическая сотовая ячейка: |
Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Вздернутый квадрат призматических сот или Simo-квадрат призматического cellulation пространства заполнения тесселяция (или сотни ) в евклидове 3-пространстве . Он состоит из кубов и треугольных призм в соотношении 1: 2.
Он состоит из плоской квадратной плитки, выдавленной в виде призм.
Это одна из 28 выпуклых однородных сот .
Плоские квадратные антипризматические соты
Плоские квадратные антипризматические соты | |
---|---|
Тип | Выпуклые соты |
Символ Шлефли | ht 0,1,3 {4,4,2, ∞} ht 0,1,2,3 {4,4, ∞} |
Диаграмма Кокстера-Дынкина | |
Клетки | с {2,4} {3,3} |
Лица | треугольник {3} квадрат {4} |
Фигура вершины | |
Симметрия | [4,4,2, ∞] + |
Характеристики | Вершинно-транзитивный , неоднородный |
Вздернутый квадрат antiprismatic сотни могут быть построены путем чередования усеченных квадратных призматических сот, хотя он не может быть однородным, но оно может быть дано Кокстера диаграмма :и имеет симметрию [4,4,2, ∞] + . Он делает квадратные антипризмы из восьмиугольных призм , тетраэдры (как тетрагональные дифеноиды) из кубов и два тетраэдра из треугольных бипирамид .
Смотрите также
- Архитектурная и катоптическая мозаика
- Чередующиеся кубические соты
- Список правильных многогранников
- Кубические соты порядка-5 Гиперболические кубические соты с 5 кубами на каждую грань.
- воксель
Рекомендации
- ^ Для перекрестных ссылок они даются с индексами списков от Андреини (1-22), Уильямса (1-2,9-19), Джонсона (11-19, 21-25, 31-34, 41-49, 51 -52, 61-65) и Грюнбаум (1-28).
- ^ [1] , A000029 6–1 случаев, пропуск одного с нулевыми отметками
- ↑ Williams, 1979, p. 199, рис. 5-38.
- Джон Х. Конвей , Хайди Берджел, Хаим Гудман-Штраус , (2008) Симметрии вещей , ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 21, Присвоение имен архимедовым и каталонским многогранникам и мозаикам, Архитектурная и катоптрическая мозаика, стр. 292-298, включает все непризматические формы)
- Coxeter, HSM Regular Polytopes , (3-е издание, 1973 г.), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8 p. 296, Таблица II: Обычные соты
- Георгий Ольшевский, Uniform Panoploid Tetracombs , Manuscript (2006) (Полный список из 11 выпуклых однородных мозаик, 28 выпуклых однородных сот и 143 выпуклых однородных тетракомбов)
- Бранко Грюнбаум , Равномерные мозаики трехмерного пространства. Геомбинаторика 4 (1994), 49 - 56.
- Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2]
- (Документ 22) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10] (1.9 Однородные заполнители пространств)
- А. Андреини , Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative (О правильных и полуправильных сетях многогранников и соответствующих корреляционных сетях), Mem. Итальянское общество науки, сер. 3, 14 (1905) 75–129.
- Клитцинг, Ричард. «3D евклидовы соты x4o3o4o - chon - O1» .
- Равномерные соты в 3-м пространстве: 01-Чон
Космос | Семья | / / | ||||
---|---|---|---|---|---|---|
E 2 | Равномерная черепица | {3 [3] } | δ 3 | hδ 3 | qδ 3 | Шестиугольный |
E 3 | Равномерно выпуклые соты | {3 [4] } | δ 4 | hδ 4 | qδ 4 | |
E 4 | Равномерные 4-соты | {3 [5] } | δ 5 | hδ 5 | qδ 5 | 24-ячеечные соты |
E 5 | Равномерные 5-соты | {3 [6] } | δ 6 | hδ 6 | qδ 6 | |
E 6 | Равномерные 6-соты | {3 [7] } | δ 7 | hδ 7 | qδ 7 | 2 22 |
E 7 | Равномерные 7-соты | {3 [8] } | δ 8 | hδ 8 | qδ 8 | 1 33 • 3 31 |
E 8 | Равномерные 8-соты | {3 [9] } | δ 9 | hδ 9 | qδ 9 | 1 52 • 2 51 • 5 21 |
E 9 | Равномерные 9-соты | {3 [10] } | δ 10 | hδ 10 | qδ 10 | |
E n -1 | Uniform ( n -1) - соты | {3 [n] } | δ n | hδ n | qδ n | 1 к2 • 2 к1 • к 21 |