1-форма (обычная) | 1-униформа (полурегулярная) |
2-однородная черепица | 3-однородная черепица |
К -равномерная Черепица является разбиение разбиений плоскости выпуклыми правильных многоугольников , подсоединенного края от края до, с K типами вершин. 1-равномерная мозаика включает 3 правильных мозаики и 8 полурегулярных мозаик. 1-равномерный тайлинг может быть определен конфигурацией его вершин . Более высокие k -однородные мозаики перечислены по фигурам их вершин, но, как правило, не идентифицируются однозначно таким образом.
Полные списки k -однородных мозаик пронумерованы до k = 6 . Есть 20 2-однородных мозаик, 61 3-однородных мозаики, 151 4-однородные мозаики, 332 5-однородных мозаики и 673 6-однородных мозаик. В этой статье перечислены все решения до k = 5.
Другие мозаики правильных многоугольников, которые не являются стыковочными, допускают многоугольники разного размера и непрерывное смещение позиций контакта.
Классификация
по сторонам, желтые треугольники, красные квадраты (по многоугольникам) | по 4-равногранным позициям, 3 закрашенным цветом треугольников (по орбитам) |
Такие периодические мозаики выпуклых многоугольников можно классифицировать по количеству орбит вершин, ребер и плиток. Если есть K орбита вершин, черепица известна как K -равномерные или к - изогональная ; если есть t орбит плиток, как t - равногранный ; если имеется e орбит ребер, так как e - изотоксальный .
k -однородные мозаики с одинаковыми вершинными фигурами могут быть дополнительно идентифицированы по симметрии их группы обоев .
Перечисление
1-однородные мозаики включают 3 правильных мозаики и 8 полурегулярных мозаик с двумя или более типами правильных многоугольников. Есть 20 2-однородных мозаик, 61 3-однородных мозаики, 151 4-однородные мозаики, 332 5-однородных мозаики и 673 6-однородных мозаик. Каждую из них можно сгруппировать по количеству m различных вершинных фигур, которые также называют m -архимедовыми мозаиками . [1]
Наконец, если количество типов вершин такое же, как и равномерность ( m = k ниже), то мозаика называется Krotenheerdt . В общем, однородность больше или равна количеству типов вершин ( m ≥ k ), поскольку разные типы вершин обязательно имеют разные орбиты, но не наоборот. Положив m = n = k , имеется 11 таких мозаик для n = 1; 20 таких мозаик при n = 2; 39 таких мозаик при n = 3; 33 таких мозаики при n = 4; 15 таких мозаик при n = 5; 10 таких мозаик при n = 6; и 7 таких мозаик при n = 7.
м -архимедовый | |||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Общее | |||||||||||
k -униформа | 1 | 11 | 0 | 11 | |||||||||||||
2 | 0 | 20 | 0 | 20 | |||||||||||||
3 | 0 | 22 | 39 | 0 | 61 | ||||||||||||
4 | 0 | 33 | 85 | 33 | 0 | 151 | |||||||||||
5 | 0 | 74 | 149 | 94 | 15 | 0 | 332 | ||||||||||
6 | 0 | 100 | 284 | 187 | 92 | 10 | 673 | ||||||||||
Общее | 11 | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ |
1-однородные мозаики (регулярные)
Тайлинг называется регулярным, если группа симметрии замощения транзитивно действует на флаги замощения, где флаг - это тройка, состоящая из взаимно инцидентных вершины , ребра и тайла тайлинга. Это означает, что для каждой пары флагов существует операция симметрии, сопоставляющая первый флаг со вторым. Это эквивалентно тому , кровлю , являющейся от края до края плитки по конгруэнтных правильных многоугольников. В вершине должно быть шесть равносторонних треугольников , четыре квадрата или три правильных шестиугольника , что дает три правильных мозаики.
п6м, * 632 | p4m, * 442 | |
---|---|---|
3 6 (t = 1, e = 1) | 6 3 (t = 1, e = 1) | 4 4 (t = 1, e = 1) |
m-архимедовы и k-однородные мозаики
Вершинная транзитивность означает, что для каждой пары вершин существует операция симметрии, отображающая первую вершину во вторую. [3]
Если требование транзитивности флага ослаблено до транзитивности по вершинам, в то время как условие, что мозаика является сквозной, сохраняется, есть восемь дополнительных возможных мозаик , известных как архимедовы , равномерные или полуправильные мозаики . Обратите внимание на то, что существует две формы зеркального отображения (энантиоморфная или хиральная ) мозаики 3 4 .6 (плоско-гексагональной), только одна из которых показана в следующей таблице. Все остальные регулярные и полуправильные мозаики ахиральны.
Грюнбаум и Шепард различают описание этих мозаик как архимедово как относящееся только к тому, что локальное свойство расположения плиток вокруг каждой вершины одинаково, и как единообразное, как относящееся к глобальному свойству транзитивности вершин. Хотя они дают один и тот же набор мозаик на плоскости, в других пространствах есть архимедовы мозаики, которые не являются однородными.
1-равномерные мозаики (полуправильные)
п6м, * 632 | |||||
---|---|---|---|---|---|
[ 3,12 2 ] (t = 2, e = 2) | [ 3.4.6.4 ] (t = 3, e = 2) | [ 4.6.12 ] (t = 3, e = 3) | [ (3.6) 2 ] (t = 2, e = 1) | ||
[ 4,8 2 ] (t = 2, e = 2) | [ 3 2 .4.3.4 ] (t = 2, e = 2) | [ 3 3 .4 2 ] (t = 2, e = 3) | [ 3 4 0,6 ] (т = 3, е = 3) |
2-однородные мозаики
Есть двадцать (20) 2-однородных мозаик евклидовой плоскости. (называемый также 2- изогональных тайлинги или demiregular тайлинги ) [4] [5] [6] Типы Vertex перечислены для каждого из них. Если две мозаики имеют одинаковые два типа вершин, им присваиваются индексы 1,2.
п6м, * 632 | p4m, * 442 | |||||
---|---|---|---|---|---|---|
[3 6 ; 3 2 .4.3.4 (t = 3, e = 3) | [3.4.6.4; 3 2 .4.3.4 (t = 4, e = 4) | [3.4.6.4; 3 3 .4 2 ] (t = 4, e = 4) | [3.4.6.4; 3.4 2 .6] (t = 5, e = 5) | [4.6.12; 3.4.6.4] (t = 4, e = 4) | [3 6 ; 3 2 .4.12] (t = 4, e = 4) | [3.12.12; 3.4.3.12] (t = 3, e = 3) |
п6м, * 632 | п6, 632 | п6, 632 | см, 2 * 22 | пмм, * 2222 | см, 2 * 22 | пмм, * 2222 |
[3 6 ; 3 2 .6 2 ] (t = 2, e = 3) | [3 6 ; 3 4 0,6] 1 (т = 3, е = 3) | [3 6 ; 3 4 0,6] 2 (т = 5, е = 7) | [3 2 .6 2 ; 3 4 .6] (t = 2, e = 4) | [3.6.3.6; 3 2 .6 2 ] (t = 2, e = 3) | [3,4 2 .6; 3.6.3.6] 2 (t = 3, e = 4) | [3,4 2 .6; 3.6.3.6] 1 (t = 4, e = 4) |
p4g, 4 * 2 | пгг, 22 × | см, 2 * 22 | см, 2 * 22 | пмм, * 2222 | см, 2 * 22 | |
[3 3 .4 2 ; 3 2 .4.3.4] 1 (t = 4, e = 5) | [3 3 .4 2 ; 3 2 .4.3.4] 2 (t = 3, e = 6) | [4 4 ; 3 3 .4 2 ] 1 (t = 2, e = 4) | [4 4 ; 3 3 .4 2 ] 2 (t = 3, e = 5) | [3 6 ; 3 3 .4 2 ] 1 (t = 3, e = 4) | [3 6 ; 3 3 .4 2 ] 2 (t = 4, e = 5) |
3-однородные мозаики
Существует 61 3-однородный мозаичный лист евклидовой плоскости. 39 являются 3-архимедовыми с 3 различными типами вершин, а 22 имеют 2 идентичных типа вершин на разных орбитах симметрии. Чави (1989)
- 3-однородные мозаики, 3 типа вершин
[3,4 2 6; 3.6.3.6; 4.6.12] (t = 6, e = 7) | [3 6 ; 3 2 4,12; 4.6.12] (t = 5, e = 6) | [3 2 4.12; 3.4.6.4; 3,12 2 ] (t = 5, e = 6) | [3.4.3.12; 3.4.6.4; 3,12 2 ] (t = 5, e = 6) | [3 3 4 2 ; 3 2 4,12; 3.4.6.4] (t = 6, e = 8) |
[3 6 ; 3 3 4 2 ; 3 2 4,12] (t = 6, e = 7) | [3 6 ; 3 2 4.3.4; 3 2 4,12] (t = 5, e = 6) | [3 4 6; 3 3 4 2 ; 3 2 4.3.4] (t = 5, e = 6) | [3 6 ; 3 2 4.3.4; 3,4 2 6] (t = 5, e = 6) | [3 6 ; 3 2 4.3.4; 3.4.6.4] (t = 5, e = 6) |
[3 6 ; 3 3 4 2 ; 3.4.6.4] (t = 6, e = 6) | [3 6 ; 3 2 4.3.4; 3.4.6.4] (t = 6, e = 6) | [3 6 ; 3 3 4 2 ; 3 2 4.3.4] (t = 4, e = 5) | [3 2 4.12; 3.4.3.12; 3,12 2 ] (t = 4, e = 7) | [3.4.6.4; 3,4 2 6; 4 4 ] (t = 3, e = 4) |
[3 2 4.3.4; 3.4.6.4; 3,4 2 6] (t = 4, e = 6) | [3 3 4 2 ; 3 2 4.3.4; 4 4 ] (t = 4, e = 6) | [3,4 2 6; 3.6.3.6; 4 4 ] (t = 5, e = 7) | [3,4 2 6; 3.6.3.6; 4 4 ] (t = 6, e = 7) | [3,4 2 6; 3.6.3.6; 4 4 ] (t = 4, e = 5) |
[3,4 2 6; 3.6.3.6; 4 4 ] (t = 5, e = 6) | [3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3,4 2 6] (t = 5, e = 8) | [3 2 6 2 ; 3,4 2 6; 3.6.3.6] (t = 4, e = 7) | [3 2 6 2 ; 3,4 2 6; 3.6.3.6] (t = 5, e = 7) | [3 4 6; 3 3 4 2 ; 3,4 2 6] (t = 5, e = 7) |
[3 2 6 2 ; 3.6.3.6; 6 3 ] (t = 4, e = 5) | [3 2 6 2 ; 3.6.3.6; 6 3 ] (t = 2, e = 4) | [3 4 6; 3 2 6 2 ; 6 3 ] (t = 2, e = 5) | [3 6 ; 3 2 6 2 ; 6 3 ] (t = 2, e = 3) | [3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ] (t = 5, e = 8) |
[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ] (t = 3, e = 5) | [3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ] (t = 3, e = 6) | [3 6 ; 3 4 6; 3.6.3.6] (t = 5, e = 6) | [3 6 ; 3 4 6; 3.6.3.6] (t = 4, e = 4) | [3 6 ; 3 4 6; 3.6.3.6] (t = 3, e = 3) |
[3 6 ; 3 3 4 2 ; 4 4 ] (t = 4, e = 6) | [3 6 ; 3 3 4 2 ; 4 4 ] (t = 5, e = 7) | [3 6 ; 3 3 4 2 ; 4 4 ] (t = 3, e = 5) | [3 6 ; 3 3 4 2 ; 4 4 ] (t = 4, e = 6) |
- 3-однородные мозаики, 2 типа вершин (2: 1)
[(3.4.6.4) 2; 3,4 2 6] (t = 6, e = 6) | [(3 6 ) 2; 3 4 6] (t = 3, e = 4) | [(3 6 ) 2; 3 4 6] (t = 5, e = 5) | [(3 6 ) 2; 3 4 6] (t = 7, e = 9) | [3 6 ; (3 4 6) 2] (t = 4, e = 6) |
[3 6 ; (3 2 4.3.4) 2] (t = 4, e = 5) | [(3,4 2 6) 2; 3.6.3.6] (t = 6, e = 8) | [3,4 2 6; (3.6.3.6) 2] (t = 4, e = 6) | [3,4 2 6; (3.6.3.6) 2] (t = 5, e = 6) | [3 2 6 2 ; (3.6.3.6) 2] (t = 3, e = 5) |
[(3 4 6) 2; 3.6.3.6] (t = 4, e = 7) | [(3 4 6) 2; 3.6.3.6] (t = 4, e = 7) | [3 3 4 2 ; (4 4 ) 2] (t = 4, e = 7) | [(3 3 4 2 ) 2; 4 4 ] (t = 5, e = 7) | [3 3 4 2 ; (4 4 ) 2] (t = 3, e = 6) |
[(3 3 4 2 ) 2; 4 4 ] (t = 4, e = 6) | [(3 3 4 2 ) 2; 3 2 4.3.4] (t = 5, e = 8) | [3 3 4 2 ; (3 2 4.3.4) 2] (t = 6, e = 9) | [3 6 ; (3 3 4 2 ) 2] (t = 5, e = 7) | [3 6 ; (3 3 4 2 ) 2] (t = 4, e = 6) |
[(3 6 ) 2; 3 3 4 2 ] (t = 6, e = 7) | [(3 6 ) 2; 3 3 4 2 ] (t = 5, e = 6) |
4-однородные мозаики
Имеется 151 4-однородный мозаик евклидовой плоскости. Поиск Брайана Галебаха воспроизвел список Кротенхердта из 33 4-однородных мозаик с 4 различными типами вершин, а также обнаружил 85 из них с 3 типами вершин и 33 с 2 типами вершин.
- 4-однородные мозаики, 4 типа вершин
Всего 33 с 4 типами вершин.
[33434; 3 2 6 2 ; 3446; 6 3 ] | [3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446; 46.12] | [33434; 3 2 6 2 ; 3446; 46.12] | [3 6 ; 3 3 4 2 ; 33434; 334,12] | [3 6 ; 33434; 334,12; 3,12 2 ] |
[3 6 ; 33434; 343,12; 3,12 2 ] | [3 6 ; 3 3 4 2 ; 33434; 3464] | [3 6 ; 3 3 4 2 ; 33434; 3464] | [3 6 ; 33434; 3464; 3446] | [3 4 6; 3 2 6 2 ; 3636; 6 3 ] |
[3 4 6; 3 2 6 2 ; 3636; 6 3 ] | [334,12; 343,12; 3464; 46.12] | [3 3 4 2 ; 334,12; 343,12; 3,12 2 ] | [3 3 4 2 ; 334,12; 343,12; 4 4 ] | [3 3 4 2 ; 334,12; 343,12; 3,12 2 ] |
[3 6 ; 3 3 4 2 ; 33434; 4 4 ] | [33434; 3 2 6 2 ; 3464; 3446] | [3 6 ; 3 3 4 2 ; 3446; 3636] | [3 6 ; 3 4 6; 3446; 3636] | [3 6 ; 3 4 6; 3446; 3636] |
[3 6 ; 3 4 6; 3 3 4 2 ; 3446] | [3 6 ; 3 4 6; 3 3 4 2 ; 3446] | [3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 6 3 ] | [3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 6 3 ] | [3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 6 3 ] |
[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 6 3 ] | [3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 3636] | [3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446; 6 3 ] | [3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446; 6 3 ] | [3 2 6 2 ; 3446; 3636; 4 4 ] |
[3 2 6 2 ; 3446; 3636; 4 4 ] | [3 2 6 2 ; 3446; 3636; 4 4 ] | [3 2 6 2 ; 3446; 3636; 4 4 ] |
- 4-однородные мозаики, 3 типа вершин (2: 1: 1)
Всего 85 с 3 типами вершин.
[3464; (3446) 2 ; 46.12] | [3464; 3446; (46,12) 2 ] | [334,12; 3464; (3,12 2 ) 2 ] | [343,12; 3464; (3,12 2 ) 2 ] | [33434; 343,12; (3464) 2 ] |
[(3 6 ) 2 ; 3 3 4 2 ; 334,12] | [(3464) 2 ; 3446; 3636] | [3464; 3446; (3636) 2 ] | [3464; (3446) 2 ; 3636] | [(3 6 ) 2 ; 3 3 4 2 ; 33434] |
[(3 6 ) 2 ; 3 3 4 2 ; 33434] | [3 6 ; 3 2 6 2 ; (6 3 ) 2 ] | [3 6 ; 3 2 6 2 ; (6 3 ) 2 ] | [3 6 ; (3 2 6 2 ) 2 ; 6 3 ] | [3 6 ; (3 2 6 2 ) 2 ; 6 3 ] |
[3 6 ; 3 2 6 2 ; (6 3 ) 2 ] | [3 6 ; 3 2 6 2 ; (6 3 ) 2 ] | [3 6 ; (3 4 6) 2 ; 3 2 6 2 ] | [3 6 ; (3 2 6 2 ) 2 ; 3636] | [(3 4 6) 2 ; 3 2 6 2 ; 6 3 ] |
[(3 4 6) 2 ; 3 2 6 2 ; 6 3 ] | [3 4 6; 3 2 6 2 ; (3636) 2 ] | [3 4 6; 3 2 6 2 ; (3636) 2 ] | [3 3 4 2 ; 33434; (3464) 2 ] | [3 6 ; 33434; (3464) 2 ] |
[3 6 ; (33434) 2 ; 3464] | [3 6 ; (3 3 4 2 ) 2 ; 3464] | [(3464) 2 ; 3446; 3636] | [3 4 6; (33434) 2 ; 3446] | [3 6 ; 3 3 4 2 ; (33434) 2 ] |
[3 6 ; 3 3 4 2 ; (33434) 2 ] | [(3 3 4 2 ) 2 ; 33434; 4 4 ] | [(3 3 4 2 ) 2 ; 33434; 4 4 ] | [3464; (3446) 2 ; 4 4 ] | [33434; (334,12) 2 ; 343,12] |
[3 6 ; (3 2 6 2 ) 2 ; 6 3 ] | [3 6 ; (3 2 6 2 ) 2 ; 6 3 ] | [3 6 ; 3 4 6; (3 2 6 2 ) 2 ] | [(3 6 ) 2 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ] | [(3 6 ) 2 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ] |
[(3 6 ) 2 ; 3 4 6; 3636] | [3 4 6; (3 2 6 2 ) 2 ; 3636] | [3 4 6; (3 2 6 2 ) 2 ; 3636] | [(3 4 6) 2 ; 3 2 6 2 ; 3636] | [(3 4 6) 2 ; 3 2 6 2 ; 3636] |
[3 6 ; 3 4 6; (3636) 2 ] | [3 2 6 2 ; (3636) 2 ; 6 3 ] | [3 2 6 2 ; (3636) 2 ; 6 3 ] | [(3 2 6 2 ) 2 ; 3636; 6 3 ] | [3 2 6 2 ; 3636; (6 3 ) 2 ] |
[3 4 6; 3 2 6 2 ; (6 3 ) 2 ] | [3 4 6; (3 2 6 2 ) 2 ; 3636] | [3 2 6 2 ; 3446; (3636) 2 ] | [3 2 6 2 ; 3446; (3636) 2 ] | [3 4 6; (3 3 4 2 ) 2 ; 3636] |
[3 4 6; (3 3 4 2 ) 2 ; 3636] | [3 4 6; 3 3 4 2 ; (3446) 2 ] | [3446; 3636; (4 4 ) 2 ] | [3446; 3636; (4 4 ) 2 ] | [3446; 3636; (4 4 ) 2 ] |
[3446; 3636; (4 4 ) 2 ] | [(3446) 2 ; 3636; 4 4 ] | [(3446) 2 ; 3636; 4 4 ] | [(3446) 2 ; 3636; 4 4 ] | [(3446) 2 ; 3636; 4 4 ] |
[(3446) 2 ; 3636; 4 4 ] | [(3446) 2 ; 3636; 4 4 ] | [(3446) 2 ; 3636; 4 4 ] | [(3446) 2 ; 3636; 4 4 ] | [3446; (3636) 2 ; 4 4 ] |
[3446; (3636) 2 ; 4 4 ] | [3446; (3636) 2 ; 4 4 ] | [3446; (3636) 2 ; 4 4 ] | [3 6 ; 3 3 4 2 ; (4 4 ) 2 ] | [3 6 ; 3 3 4 2 ; (4 4 ) 2 ] |
[3 6 ; (3 3 4 2 ) 2 ; 4 4 ] | [3 6 ; 3 3 4 2 ; (4 4 ) 2 ] | [3 6 ; 3 3 4 2 ; (4 4 ) 2 ] | [3 6 ; (3 3 4 2 ) 2 ; 4 4 ] | [3 6 ; (3 3 4 2 ) 2 ; 4 4 ] |
[3 6 ; (3 3 4 2 ) 2 ; 4 4 ] | [(3 6 ) 2 ; 3 3 4 2 ; 4 4 ] | [(3 6 ) 2 ; 3 3 4 2 ; 4 4 ] | [(3 6 ) 2 ; 3 3 4 2 ; 4 4 ] | [(3 6 ) 2 ; 3 3 4 2 ; 4 4 ] |
- 4-однородные мозаики, 2 типа вершин (2: 2) и (3: 1)
Есть 33 с 2 типами вершин, 12 с двумя парами типов и 21 с соотношением типов 3: 1.
[(3464) 2 ; (46,12) 2 ] | [(33434) 2 ; (3464) 2 ] | [(33434) 2 ; (3464) 2 ] | [(3 4 6) 2 ; (3636) 2 ] | [(3 6 ) 2 ; (3 4 6) 2 ] |
[(3 3 4 2 ) 2 ; (33434) 2 ] | [(3 3 4 2 ) 2 ; (4 4 ) 2 ] | [(3 3 4 2 ) 2 ; (4 4 ) 2 ] | [(3 3 4 2 ) 2 ; (4 4 ) 2 ] | [(3 6 ) 2 ; (3 3 4 2 ) 2 ] |
[(3 6 ) 2 ; (3 3 4 2 ) 2 ] | [(3 6 ) 2 ; (3 3 4 2 ) 2 ] |
[343,12; (3,12 2 ) 3 ] | [(3 4 6) 3 ; 3636] | [3 6 ; (3 4 6) 3 ] | [(3 6 ) 3 ; 3 4 6] | [(3 6 ) 3 ; 3 4 6] |
[(3 3 4 2 ) 3 ; 33434] | [3 3 4 2 ; (33434) 3 ] | [3446; (3636) 3 ] | [3446; (3636) 3 ] | [3 2 6 2 ; (3636) 3 ] |
[3 2 6 2 ; (3636) 3 ] | [3 3 4 2 ; (4 4 ) 3 ] | [3 3 4 2 ; (4 4 ) 3 ] | [(3 3 4 2 ) 3 ; 4 4 ] | [(3 3 4 2 ) 3 ; 4 4 ] |
[(3 3 4 2 ) 3 ; 4 4 ] | [3 6 ; (3 3 4 2 ) 3 ] | [3 6 ; (3 3 4 2 ) 3 ] | [3 6 ; (3 3 4 2 ) 3 ] | [(3 6 ) 3 ; 3 3 4 2 ] |
[(3 6 ) 3 ; 3 3 4 2 ] |
5-однородные мозаики
Есть 332 5-однородных мозаики евклидовой плоскости. Поиск Брайана Галебаха выявил 332 5-однородных мозаики с 2–5 типами вершин. Есть 74 с 2 типами вершин, 149 с 3 типами вершин, 94 с 4 типами вершин и 15 с 5 типами вершин.
- 5-однородные мозаики, 5 типов вершин
Существует 15 5-однородных мозаик с 5 уникальными типами вершинных фигур.
[33434; 3 2 6 2 ; 3464; 3446; 6 3 ] | [3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 3636; 6 3 ] | [3 6 ; 3 4 6; 3 3 4 2 ; 3446; 46.12] | [3 4 6; 3 3 4 2 ; 33434; 3446; 4 4 ] | [3 6 ; 33434; 3464; 3446; 3636] |
[3 6 ; 3 4 6; 3464; 3446; 3636] | [33434; 334,12; 3464; 3.12.12; 46.12] | [3 6 ; 3 4 6; 3446; 3636; 4 4 ] | [3 6 ; 3 4 6; 3446; 3636; 4 4 ] | [3 6 ; 3 4 6; 3446; 3636; 4 4 ] |
[3 6 ; 3 4 6; 3446; 3636; 4 4 ] | [3 6 ; 3 3 4 2 ; 3446; 3636; 4 4 ] | [3 6 ; 3 4 6; 3 3 4 2 ; 3446; 4 4 ] | [3 6 ; 3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446; 3636] | [3 6 ; 3 4 6; 3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446] |
- 5-однородные мозаики, 4 типа вершин (2: 1: 1: 1)
Всего имеется 94 5-однородных мозаик с 4 типами вершин.
[3 6 ; 33434; (3446) 2; 46.12] | [3 6 ; 33434; 3446; (46,12) 2] | [3 6 ; 33434; 3464; (46,12) 2] | [3 6 ; 3 3 4 2 ; (334,12) 2; 3464] | [3 6 ; (3 3 4 2 ) 2; 334,12; 3464] |
[3 6 ; 33434; (334,12) 2; 3464] | [3 6 ; 33434; 334,12; (3.12.12) 2] | [3 6 ; 3 4 6; (3 3 4 2 ) 2; 334,12] | [3 6 ; 33434; 343,12; (3.12.12) 2] | [(3 3 4 2 ) 2; 334,12; 343,12; 3.12.12] |
[(3 3 4 2 ) 2; 334,12; 343,12; 3.12.12] | [(3 3 4 2 ) 2; 334,12; 343,12; 4 4 ] | [33434; 3 2 6 2 ; (3446) 2; 4 4 ] | [3 6 ; (3 3 4 2 ) 2; 33434; 4 4 ] | [3 4 6; (3 3 4 2 ) 2; 33434; 4 4 ] |
[3 6 ; 3 3 4 2 ; (3464) 2; 3446] | [3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3464; (3446) 2] | [33434; 3 2 6 2 ; 3464; (3446) 2] | [3 6 ; 33434; (3446) 2; 3636] | [3 3 4 2 ; 33434; 3464; (3446) 2] |
[3 6 ; 33434; (3 2 6 2 ) 2; 3446] | [3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; (3464) 2; 3446] | [33434; 3 2 6 2 ; (3464) 2; 3446] | [3 4 6; 3 3 4 2 ; (3464) 2; 3446] | [3 6 ; (3 3 4 2 ) 2; 33434; 3464] |
[3 6 ; (3 3 4 2 ) 2; 33434; 3464] | [3 6 ; 3 3 4 2 ; (33434) 2; 3464] | [(3 6 ) 2; 3 3 4 2 ; 33434; 3464] | [3 6 ; 3 3 4 2 ; (33434) 2; 3464] | [(3 6 ) 2; 3 3 4 2 ; 33434; 334,12] |
[3 6 ; 33434; (334,12) 2; 343,12] | [(3 6 ) 2; 3 4 6; 3 3 4 2 ; 33434] | [(3 6 ) 2; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 6 3 ] | [3 6 ; (3 4 6) 2; 3 2 6 2 ; 6 3 ] | [(3 6 ) 2; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 3636] |
[3 6 ; 3 4 6; (3 2 6 2 ) 2; 3636] | [3 6 ; (3 4 6) 2; 3 2 6 2 ; 3636] | [(3 6 ) 2; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 3636] | [3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; (3636) 2] | [3 6 ; (3 4 6) 2; 3 2 6 2 ; 3636] |
[3 6 ; (3 4 6) 2; 3 2 6 2 ; 3636] | [3 6 ; (3 4 6) 2; 3 2 6 2 ; 3636] | [3 6 ; 3 4 6; (3 2 6 2 ) 2; 3636] | [3 6 ; 3 4 6; (3 2 6 2 ) 2; 3636] | [3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; (6 3 ) 2] |
[3 6 ; 3 4 6; (3 2 6 2 ) 2; 6 3 ] | [3 4 6; (3 2 6 2 ) 2; 3636; 6 3 ] | [(3 4 6) 2; 3 2 6 2 ; 3636; 6 3 ] | [(3 6 ) 2; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 6 3 ] | [(3 6 ) 2; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 6 3 ] |
[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; (6 3 ) 2] | [3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; (6 3 ) 2] | [3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; (6 3 ) 2] | [3 6 ; 3 4 6; (3 2 6 2 ) 2; 6 3 ] | [3 4 6; (3 2 6 2 ) 2; 3636; 6 3 ] |
[3 4 6; (3 2 6 2 ) 2; 3636; 6 3 ] | [3 4 6; (3 2 6 2 ) 2; 3636; 6 3 ] | [3 4 6; 3 2 6 2 ; 3636; (6 3 ) 2] | [3 4 6; (3 2 6 2 ) 2; 3636; 6 3 ] | [3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446; (6 3 ) 2] |
[3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446; (6 3 ) 2] | [3 2 6 2 ; 3446; 3636; (4 4 ) 2] | [3 2 6 2 ; 3446; 3636; (4 4 ) 2] | [3 2 6 2 ; 3446; (3636) 2; 4 4 ] | [3 2 6 2 ; 3446; (3636) 2; 4 4 ] |
[3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446; (4 4 ) 2] | [3 4 6; 3 3 4 2 ; 3446; (4 4 ) 2] | [3 2 6 2 ; 3446; 3636; (4 4 ) 2] | [3 2 6 2 ; 3446; 3636; (4 4 ) 2] | [3 2 6 2 ; 3446; (3636) 2; 4 4 ] |
[3 2 6 2 ; 3446; (3636) 2; 4 4 ] | [3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446; (4 4 ) 2] | [3 4 6; 3 3 4 2 ; 3446; (4 4 ) 2] | [3 4 6; (3 3 4 2 ) 2; 3636; 4 4 ] | [3 6 ; 3 3 4 2 ; (3446) 2; 3636] |
[3 4 6; (3 3 4 2 ) 2; 3446; 3636] | [3 4 6; (3 3 4 2 ) 2; 3446; 3636] | [(3 6 ) 2; 3 4 6; 3446; 3636] | [3 6 ; 3 3 4 2 ; (3446) 2; 3636] | [3 4 6; (3 3 4 2 ) 2; 3446; 3636] |
[3 4 6; (3 3 4 2 ) 2; 3446; 3636] | [(3 6 ) 2; 3 4 6; 3446; 3636] | [(3 6 ) 2; 3 3 4 2 ; 3446; 3636] | [3 6 ; 3 3 4 2 ; 3446; (3636) 2] | [3 4 6; 3 3 4 2 ; (3446) 2; 3636] |
[3 6 ; 3 4 6; (3 3 4 2 ) 2; 3446] | [3 4 6; (3 3 4 2 ) 2; 3 2 6 2 ; 3636] | [3 4 6; (3 3 4 2 ) 2; 3 2 6 2 ; 3636] | [3 6 ; (3 4 6) 2; 3 3 4 2 ; 3446] | [3 6 ; (3 4 6) 2; 3 3 4 2 ; 3446] |
[3 6 ; (3 4 6) 2; 3 3 4 2 ; 3446] | [3 6 ; 3 4 6; (3 3 4 2 ) 2; 3 2 6 2 ] | [(3 6 ) 2; 3 4 6; 3 3 4 2 ; 3636] | [(3 6 ) 2; 3 4 6; 3 3 4 2 ; 3636] |
- 5-однородные мозаики, 3 типа вершин (3: 1: 1) и (2: 2: 1)
Имеется 149 5-однородных мозаик, из которых 60 имеют копии 3: 1: 1, а 89 имеют копии 2: 2: 1.
[3 6 ; 334,12; (46,12) 3] | [3464; 3446; (46,12) 3] | [3 6 ; (334,12) 3; 46.12] | [334,12; 343,12; (3.12.12) 3] | [3 6 ; (33434) 3; 343,12] |
[3 2 6 2 ; 3636; (6 3 ) 3] | [3 4 6; 3 2 6 2 ; (6 3 ) 3] | [3 6 ; (3 2 6 2 ) 3; 6 3 ] | [3 6 ; (3 2 6 2 ) 3; 6 3 ] | [3 2 6 2 ; (3636) 3; 6 3 ] |
[3446; 3636; (4 4 ) 3] | [3446; 3636; (4 4 ) 3] | [3 6 ; 3 3 4 2 ; (4 4 ) 3] | [3 6 ; 3 3 4 2 ; (4 4 ) 3] | [3446; (3636) 3; 4 4 ] |
[3446; (3636) 3; 4 4 ] | [3 6 ; (3 3 4 2 ) 3; 4 4 ] | [3 6 ; (3 3 4 2 ) 3; 4 4 ] | [3 6 ; (3 3 4 2 ) 3; 4 4 ] | [(3 6 ) 3; 3 3 4 2 ; 4 4 ] |
[(3 6 ) 3; 3 3 4 2 ; 4 4 ] | [3446; 3636; (4 4 ) 3] | [3446; 3636; (4 4 ) 3] | [3 6 ; 3 3 4 2 ; (4 4 ) 3] | [3 6 ; 3 3 4 2 ; (4 4 ) 3] |
[(3 3 4 2 ) 3; 3 2 6 2 ; 3446] | [3 2 6 2 ; 3446; (3636) 3] | [3 2 6 2 ; 3446; (3636) 3] | [3 2 6 2 ; 3446; (3636) 3] | [3 2 6 2 ; 3446; (3636) 3] |
[3446; (3636) 3; 4 4 ] | [3446; (3636) 3; 4 4 ] | [3 6 ; (3 3 4 2 ) 3; 4 4 ] | [3 6 ; (3 3 4 2 ) 3; 4 4 ] | [3 6 ; (3 3 4 2 ) 3; 4 4 ] |
[(3 6 ) 3; 3 3 4 2 ; 4 4 ] | [(3 6 ) 3; 3 3 4 2 ; 4 4 ] | [3 6 ; (3 3 4 2 ) 3; 4 4 ] | [3 6 ; (3 3 4 2 ) 3; 4 4 ] | [3 6 ; (3 3 4 2 ) 3; 4 4 ] |
[(3 3 4 2 ) 3; 3446; 3636] | [(3 3 4 2 ) 3; 3446; 3636] | [3 4 6; (3 3 4 2 ) 3; 3446] | [(3 6 ) 3; 3 4 6; 3 2 6 2 ] | [(3 6 ) 3; 3 4 6; 3 2 6 2 ] |
[(3 6 ) 3; 3 4 6; 3 2 6 2 ] | [3 4 6; (3 2 6 2 ) 3; 3636] | [3 4 6; (3 2 6 2 ) 3; 3636] | [(3 4 6) 3; 3 2 6 2 ; 3636] | [(3 4 6) 3; 3 2 6 2 ; 3636] |
[(3 6 ) 3; 3 4 6; 3 2 6 2 ] | [(3 6 ) 3; 3 4 6; 3 2 6 2 ] | [(3 4 6) 3; 3 2 6 2 ; 3636] | [3 6 ; 3 4 6; (3636) 3] | [3 6 ; 3 4 6; (3636) 3] |
[3 6 ; 3 4 6; (3636) 3] | [3 6 ; 3 4 6; (3636) 3] | [(3 6 ) 3; 3 4 6; 3636] | [(3 6 ) 3; 3 4 6; 3636] | [3 6 ; (3 4 6) 3; 3636] |
[(3446) 2; (3636) 2; 46.12] | [(3 6 ) 2; (3 3 4 2 ) 2; 3464] | [(3 3 4 2 ) 2; 334,12; (3464) 2] | [3 6 ; (33434) 2; (3464) 2] | [3 3 4 2 ; (33434) 2; (3464) 2] |
[3 3 4 2 ; (33434) 2; (3464) 2] | [3 3 4 2 ; (33434) 2; (3464) 2] | [(33434) 2; 343,12; (3464) 2] | [3 6 ; (3 2 6 2 ) 2; (6 3 ) 2] | [(3 2 6 2 ) 2; (3636) 2; 6 3 ] |
[(3 6 ) 2; (3 3 4 2 ) 2; 33434] | [(3 6 ) 2; 3 3 4 2 ; (33434) 2] | [3 4 6; (3 3 4 2 ) 2; (33434) 2] | [(3 6 ) 2; 3 3 4 2 ; (33434) 2] | [(3 6 ) 2; 3 3 4 2 ; (33434) 2] |
[(3 2 6 2 ) 2; 3636; (6 3 ) 2] | [(3446) 2; 3636; (4 4 ) 2] | [(3446) 2; 3636; (4 4 ) 2] | [3446; (3636) 2; (4 4 ) 2] | [(3446) 2; 3636; (4 4 ) 2] |
[(3446) 2; 3636; (4 4 ) 2] | [3446; (3636) 2; (4 4 ) 2] | [3 6 ; (3 3 4 2 ) 2; (4 4 ) 2] | [(3 6 ) 2; 3 3 4 2 ; (4 4 ) 2] | [(3 6 ) 2; 3 3 4 2 ; (4 4 ) 2] |
[(3446) 2; 3636; (4 4 ) 2] | [(3446) 2; 3636; (4 4 ) 2] | [(3446) 2; 3636; (4 4 ) 2] | [(3446) 2; 3636; (4 4 ) 2] | [(3446) 2; 3636; (4 4 ) 2] |
[3 6 ; (3 3 4 2 ) 2; (4 4 ) 2] | [(3 6 ) 2; (3 3 4 2 ) 2; 4 4 ] | [(3446) 2; 3636; (4 4 ) 2] | [(3446) 2; 3636; (4 4 ) 2] | [3446; (3636) 2; (4 4 ) 2] |
[(3446) 2; 3636; (4 4 ) 2] | [(3446) 2; 3636; (4 4 ) 2] | [3446; (3636) 2; (4 4 ) 2] | [3 6 ; (3 3 4 2 ) 2; (4 4 ) 2] | [(3 6 ) 2; 3 3 4 2 ; (4 4 ) 2] |
[(3 6 ) 2; 3 3 4 2 ; (4 4 ) 2] | [3 6 ; (3 3 4 2 ) 2; (4 4 ) 2] | [3 6 ; (3 3 4 2 ) 2; (4 4 ) 2] | [(3446) 2; 3636; (4 4 ) 2] | [(3 6 ) 2; (3 3 4 2 ) 2; 4 4 ] |
[(3 6 ) 2; (3 3 4 2 ) 2; 4 4 ] | [(3 6 ) 2; (3 3 4 2 ) 2; 4 4 ] | [(3 6 ) 2; (3 3 4 2 ) 2; 4 4 ] | [(33434) 2; 3 2 6 2 ; (3446) 2] | [3 3 4 2 ; (3 2 6 2 ) 2; (3446) 2] |
[3 3 4 2 ; (3 2 6 2 ) 2; (3446) 2] | [3 2 6 2 ; (3446) 2; (3636) 2] | [(3 2 6 2 ) 2; 3446; (3636) 2] | [(3 2 6 2 ) 2; 3446; (3636) 2] | [(3464) 2; (3446) 2; 3636] |
[3 2 6 2 ; (3446) 2; (3636) 2] | [3 2 6 2 ; (3446) 2; (3636) 2] | [(3 4 6) 2; (3446) 2; 3636] | [(3 4 6) 2; (3446) 2; 3636] | [(3 4 6) 2; (3446) 2; 3636] |
[(3 4 6) 2; (3446) 2; 3636] | [(3 3 4 2 ) 2; (3446) 2; 3636] | [(3 3 4 2 ) 2; (3446) 2; 3636] | [(3 4 6) 2; (3 3 4 2 ) 2; 3446] | [(3 4 6) 2; 3 3 4 2 ; (3446) 2] |
[(3 6 ) 2; (3 4 6) 2; 3 2 6 2 ] | [3 6 ; (3 4 6) 2; (3 2 6 2 ) 2] | [(3 6 ) 2; 3 4 6; (3 2 6 2 ) 2] | [(3 4 6) 2; (3 2 6 2 ) 2; 6 3 ] | [3 6 ; (3 2 6 2 ) 2; (6 3 ) 2] |
[3 6 ; (3 4 6) 2; (3 2 6 2 ) 2] | [3 4 6; (3 2 6 2 ) 2; (3636) 2] | [(3 4 6) 2; (3 2 6 2 ) 2; 3636] | [3 6 ; (3 4 6) 2; (3 2 6 2 ) 2] | [(3 4 6) 2; 3 2 6 2 ; (3636) 2] |
[(3 4 6) 2; (3 2 6 2 ) 2; 3636] | [(3 6 ) 2; (3 4 6) 2; 3 2 6 2 ] | [(3 6 ) 2; (3 4 6) 2; 3 2 6 2 ] | [(3 6 ) 2; (3 4 6) 2; 3636] | [(3 6 ) 2; (3 4 6) 2; 3636] |
[3 6 ; (3 4 6) 2; (3 3 4 2 ) 2] | [(3 6 ) 2; (3 4 6) 2; 3 2 6 2 ] | [3 6 ; (3 4 6) 2; (3 2 6 2 ) 2] | [3 6 ; (3 4 6) 2; (3 2 6 2 ) 2] | [3 4 6; (3 3 4 2 ) 2; (3636) 2] |
[3 4 6; (3 3 4 2 ) 2; (3636) 2] | [(3 6 ) 2; 3 4 6; (3636) 2] | [(3 6 ) 2; (3 4 6) 2; 3636] | [(3 6 ) 2; 3 3 4 2 ; (33434) 2] |
- 5-однородные мозаики, 2 типа вершин (4: 1) и (3: 2)
Имеется 74 5-однородных мозаик с 2 типами вершин, 27 с 4: 1 и 47 с 3: 2 копиями каждого.
[(3464) 4; 46.12] | [343,12; (3.12.12) 4] | [3 6 ; (33434) 4] | [3 6 ; (33434) 4] | [(3 6 ) 4; 3 4 6] |
[(3 6 ) 4; 3 4 6] | [(3 6 ) 4; 3 4 6] | [3 6 ; (3 4 6) 4] | [3 2 6 2 ; (3636) 4] | [(3 4 6) 4; 3 2 6 2 ] |
[(3 4 6) 4; 3 2 6 2 ] | [(3 4 6) 4; 3636] | [3 2 6 2 ; (3636) 4] | [3446; (3636) 4] | [3446; (3636) 4] |
[(3 3 4 2 ) 4; 33434] | [3 3 4 2 ; (33434) 4] | |||
[3 3 4 2 ; (4 4 ) 4] | [3 3 4 2 ; (4 4 ) 4] | [(3 3 4 2 ) 4; 4 4 ] | [(3 3 4 2 ) 4; 4 4 ] | [(3 3 4 2 ) 4; 4 4 ] |
[3 6 ; (3 3 4 2 ) 4] | [3 6 ; (3 3 4 2 ) 4] | [3 6 ; (3 3 4 2 ) 4] | [(3 6 ) 4; 3 3 4 2 ] | [(3 6 ) 4; 3 3 4 2 ] |
Существует 29 5-однородных мозаик с 3-мя и 2-мя уникальными типами вершинных фигур.
[(3464) 2; (46,12) 3] | [(3464) 2; (46,12) 3] | [(3464) 3; (3446) 2] | [(33434) 2; (3464) 3] | [(33434) 3; (3464) 2] |
[(3 6 ) 2; (3 4 6) 3] | [(3 6 ) 2; (3 4 6) 3] | [(3 6 ) 3; (3 4 6) 2] | [(3 6 ) 3; (3 4 6) 2] | [(3 6 ) 3; (3 4 6) 2] |
[(3 6 ) 3; (3 4 6) 2] | [(3 6 ) 2; (3 4 6) 3] | [(3 6 ) 2; (3 4 6) 3] | [(3 6 ) 2; (3 4 6) 3] | |
[(3 2 6 2 ) 2; (3636) 3] | [(3 4 6) 3; (3636) 2] | [(3 4 6) 3; (3636) 2] | [(3 4 6) 2; (3636) 3] | |
[(3446) 3; (3636) 2] | [(3446) 2; (3636) 3] | [(3446) 3; (3636) 2] | [(3446) 2; (3636) 3] | [(3446) 2; (3636) 3] |
[(3 3 4 2 ) 3; (33434) 2] | [(3 3 4 2 ) 3; (33434) 2] | [(3 3 4 2 ) 2; (33434) 3] | [(3 3 4 2 ) 2; (33434) 3] | |
[(3 3 4 2 ) 2; (4 4 ) 3] | [(3 3 4 2 ) 2; (4 4 ) 3] | [(3 3 4 2 ) 2; (4 4 ) 3] | [(3 3 4 2 ) 3; (4 4 ) 2] | [(3 3 4 2 ) 2; (4 4 ) 3] |
[(3 3 4 2 ) 3; (4 4 ) 2] | [(3 3 4 2 ) 2; (4 4 ) 3] | [(3 3 4 2 ) 2; (4 4 ) 3] | [(3 3 4 2 ) 3; (4 4 ) 2] | [(3 3 4 2 ) 3; (4 4 ) 2] |
[(3 6 ) 2; (3 3 4 2 ) 3] | [(3 6 ) 2; (3 3 4 2 ) 3] | [(3 6 ) 2; (3 3 4 2 ) 3] | [(3 6 ) 2; (3 3 4 2 ) 3] | [(3 6 ) 3; (3 3 4 2 ) 2] |
[(3 6 ) 3; (3 3 4 2 ) 2] | [(3 6 ) 3; (3 3 4 2 ) 2] | [(3 6 ) 3; (3 3 4 2 ) 2] | [(3 6 ) 3; (3 3 4 2 ) 2] | [(3 6 ) 3; (3 3 4 2 ) 2] |
Высшие k-однородные мозаики
k -однородные мозаики пронумерованы до 6. Существует 673 6-однородных мозаик евклидовой плоскости. Поиск Брайана Галебаха воспроизвел список Кротенхердта из 10 6-однородных мозаик с 6 различными типами вершин, а также обнаружил 92 из них с 5 типами вершин, 187 из них с 4 типами вершин, 284 из них с 3 типами вершин и 100 с 2 типами вершин. типы вершин.
Рекомендации
- ^ k-однородные мозаики правильными многоугольниками. Архивировано 30 июня 2015 г. в Wayback Machine Нильс Леннгрен, 2009 г.
- ^ "n-однородные мозаики" . вероятностьsports.com . Проверено 21 июня 2019 .
- ^ Critchlow, p.60-61
- ^ Critchlow, p.62-67
- ^ Замощения и шаблоны, Грюнбаум и Шеппард 1986, стр. 65-67
- ^ «В поисках демирегулярных мозаик» (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 07 мая 2016 года . Проверено 4 июня 2015 .
- Грюнбаум, Бранко; Шепард, Джеффри К. (1977). «Замощения правильными многоугольниками». Математика. Mag . 50 (5): 227–247. DOI : 10.2307 / 2689529 . JSTOR 2689529 .
- Грюнбаум, Бранко; Шепард, GC (1978). «Девяносто один тип изогональных мозаик на плоскости» . Пер. Являюсь. Математика. Soc . 252 : 335–353. DOI : 10.1090 / S0002-9947-1978-0496813-3 . Руководство по ремонту 0496813 .
- Debroey, I .; Ландуйт, Ф. (1981). «Равнопереходные мозаики от края к краю». Geometriae Dedicata . 11 (1): 47–60. DOI : 10.1007 / BF00183189 . S2CID 122636363 .
- Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (1987). Плитки и узоры . WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-1193-1.
- Рен, Дин; Рей, Джон Р. (1987). «Граничная характеристика и теорема Пика в архимедовых плоских мозаиках» . J. Combinat. ТЕОРИЯ . 44 (1): 110–119. DOI : 10.1016 / 0097-3165 (87) 90063-X .
- Чавей, Д. (1989). "Тайлинги правильными многоугольниками - II: Каталог мозаик" . Компьютеры и математика с приложениями . 17 : 147–165. DOI : 10.1016 / 0898-1221 (89) 90156-9 .
- Порядок в космосе: справочник по дизайну, Кейт Кричлоу, 1970 ISBN 978-0-670-52830-1
- Соммервиль, Дункан Макларен Янг (1958). Введение в геометрию n измерений . Dover Publications. Глава X: Правильные многогранники
- Преа, П. (1997). «Дистанционные последовательности и пороги перколяции в архимедовых мозаиках». Mathl. Comput. Моделирование . 26 (8–10): 317–320. DOI : 10.1016 / S0895-7177 (97) 00216-1 .
- Кович, Юрий (2011). «Графы типа симметрии платоновых и архимедовых тел» . Математика. Commun . 16 (2): 491–507.
- Пеллисер, Дэниел; Уильямс, Гордон (2012). "Минимальные покрытия архимедовых мозаик. Часть 1" . Электронный журнал комбинаторики . 19 (3): # P6. DOI : 10.37236 / 2512 .
- Дейл Сеймур и Джилл Бриттон , Введение в мозаику , 1989, ISBN 978-0866514613 , стр. 50–57
Внешние ссылки
Евклидовы и общие тайловые ссылки:
- n-однородные мозаики, Брайан Галебах
- Датч, Стив. «Равномерные мозаики» . Архивировано из оригинала на 2006-09-09 . Проверено 9 сентября 2006 .
- Митчелл, К. "Полурабельные мозаики" . Проверено 9 сентября 2006 .
- Вайсштейн, Эрик В. «Тесселяция» . MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик У. "Полурегулярная тесселяция" . MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. "Демирегулярная тесселяция" . MathWorld .