Трехлинейные координаты

В геометрии , то трилинейная координата х: у: г из точки относительно заданного треугольника описывают относительные направленные расстояния от три стороны треугольника. Трехлинейные координаты являются примером однородных координат . Отношение x: y - это отношение расстояний по перпендикулярам от точки до сторон ( при необходимости, удлиненных ) противоположных вершин A и B соответственно; отношение y: z - это отношение перпендикулярных расстояний от точки до боковых линий, противоположных вершинам B иC соответственно; а также для г: х и вершины C и A .

На диаграмме справа трилинейные координаты указанной внутренней точки представляют собой фактические расстояния ( a ' , b' , c ' ) или, что эквивалентно, в форме отношения ka' : kb ' : kc' для любой положительной константы k . Если точка находится на боковой линии опорного треугольника, его соответствующий трилинейные координаты равно 0. Если внешняя точка находится на противоположной стороне боковой линии от внутренней части треугольника, его трилинейные координат , связанный с этой боковой линией является отрицательным. Невозможно, чтобы все три трилинейные координаты были неположительны.

Название «трилинейные координаты» иногда сокращается до «трилинейные».

Обозначение [ править ]

Обозначение отношения x : y : z для трилинейных координат отличается от упорядоченного тройного обозначения ( a ' , b' , c ' ) для фактических направленных расстояний. Здесь каждое из x , y и z само по себе не имеет значения; его отношение к одному из других действительно имеет значение. Таким образом, следует избегать использования запятых для трилинейных координат, поскольку запись ( x , y , z ), означающая упорядоченную тройку, не позволяет, например, ( x , y , z ) = (2x , 2 y , 2 z ), тогда как «двоеточие» допускает x : y : z = 2 x : 2 y : 2 z .

Примеры [ править ]

Трилинейные координаты центра треугольника ABC равны 1: 1: 1; то есть (направленные) расстояния от центра до боковых сторон BC , CA , AB пропорциональны фактическим расстояниям, обозначенным ( r , r , r ), где r - внутренний радиус треугольника ABC . Для заданных длин сторон a, b, c имеем:

• А = 1: 0: 0
• В = 0: 1: 0
• С = 0: 0: 1
• Incenter = 1: 1: 1
• центроид = Ьс : са : AB = 1 / : 1 / б : 1 / с = CSC : CSC Б : CSC С .
• Окружность = соз : сов B : сов C .
• ортоцентр = сек : сек Б : сек С .
• центр девяти точек = cos ( B - C ): cos ( C - A ): cos ( A - B ).
• симедиана точка = а : б : C = грех A : Sin B : Sin C .
• A -excenter = −1: 1: 1
• B -excenter = 1: −1: 1
• C -excenter = 1: 1: -1.

Обратите внимание, что в целом центр тяжести не совпадает с центроидом ; центроид имеет барицентрические координаты 1: 1: 1 (они пропорциональны фактическим площадям со знаком треугольников BGC , CGA , AGB , где G = центроид).

Средняя точка, например, стороны BC имеет трилинейные координаты в фактических расстояниях по боковой линии для области треугольника , которая в произвольно заданных относительных расстояниях упрощается до Координаты в фактических расстояниях по боковой линии от подножия высоты от A до BC , которые в чисто относительных расстояниях упрощается до ^{[1] : стр. 96}${\ displaystyle (0, {\ frac {\ Delta} {b}}, {\ frac {\ Delta} {c}})}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle 0: ca: ab.}$${\ displaystyle (0, {\ frac {2 \ Delta} {a}} \ cos C, {\ frac {2 \ Delta} {a}} \ cos B),}$${\displaystyle 0:\cos C:\cos B.}$

Формулы [ править ]

Коллинеарности и совпадения [ править ]

Трилинейные координаты позволяют использовать многие алгебраические методы в геометрии треугольника. Например, три балла

P = p : q : r

U = u : v : w

Х = х : у : г

являются коллинеарны тогда и только тогда , когда определитель

${\displaystyle D={\begin{vmatrix}p&q&r\\u&v&w\\x&y&z\end{vmatrix}}}$

равно нулю. Таким образом, если x: y: z - переменная точка, уравнение прямой, проходящей через точки P и U, будет D = 0. ^{[1] : p. 23} Отсюда каждая прямая имеет линейное уравнение, однородное по x, y, z . Каждое уравнение вида lx + my + nz = 0 в действительных коэффициентах представляет собой реальную прямую из конечных точек, если l: m: n не пропорционально a: b: c , длинам сторон, и в этом случае у нас есть геометрическое место указывает на бесконечность. ^{[1] : стр. 40}

Двойственность этого предложения состоит в том, что прямые

pα + qβ + rγ = 0

uα + vβ + wγ = 0 ,

xα + yβ + zγ = 0

совпадают в точке (α, β, γ) тогда и только тогда, когда D = 0. ^{[1] : p. 28 год}

Кроме того, если при оценке определителя D используются фактические направленные расстояния , то площадь треугольника PUX равна KD , где K = abc / 8∆ ² (и где ∆ - площадь треугольника ABC , как указано выше), если треугольник PUX имеет ту же ориентацию (по часовой стрелке или против часовой стрелки), что и треугольник ABC , в противном случае K = –abc / 8∆ ² .

Параллельные линии [ править ]

Две прямые с трилинейными уравнениями и параллельны тогда и только тогда, когда ^{[1] : с. 98, # xi}${\displaystyle lx+my+nz=0}$${\displaystyle l'x+m'y+n'z=0}$

${\displaystyle {\begin{vmatrix}l&m&n\\l'&m'&n'\\a&b&c\end{vmatrix}}=0,}$

где a, b, c - длины сторон.

Угол между двумя линиями [ править ]

В касательных углах между двумя линиями с трилинейными уравнениями и определяются ^{[1] : стр.50}${\displaystyle lx+my+nz=0}$${\displaystyle l'x+m'y+n'z=0}$

${\displaystyle \pm {\frac {(mn'-m'n)\sin A+(nl'-n'l)\sin B+(lm'-l'm)\sin C}{ll'+mm'+nn'-(mn'+m'n)\cos A-(nl'+n'l)\cos B-(lm'+l'm)\cos C}}.}$

Перпендикулярные линии [ править ]

Таким образом, две прямые с трилинейными уравнениями и перпендикулярны тогда и только тогда, когда${\displaystyle lx+my+nz=0}$${\displaystyle l'x+m'y+n'z=0}$

${\displaystyle ll'+mm'+nn'-(mn'+m'n)\cos A-(nl'+n'l)\cos B-(lm'+l'm)\cos C=0.}$

Высота [ править ]

Уравнение высоты от вершины A до стороны BC имеет вид ^{[1] : стр.98, # x}

${\displaystyle y\cos B-z\cos C=0.}$

Линия с точки зрения расстояний от вершин [ править ]

Уравнение прямой с переменными расстояниями p, q, r от вершин A , B , C , противоположными сторонами которых являются a, b, c, имеет вид ^{[1] : p. 97, # viii}

${\displaystyle apx+bqy+crz=0.}$

Трилинейные координаты фактического расстояния [ править ]

Трилинейные линии со значениями координат a ', b', c ', являющимися фактическими перпендикулярными расстояниями сторон, удовлетворяют ^{[1] : p. 11}

${\displaystyle aa'+bb'+cc'=2\Delta }$

для сторон треугольника a, b, c и площади . Это можно увидеть на рисунке в верхней части этой статьи, где внутренняя точка P разделяет треугольник ABC на три треугольника PBC , PCA и PAB с соответствующими площадями (1/2) aa ' , (1/2) bb' и (1/2) куб .${\displaystyle \Delta }$

Расстояние между двумя точками [ править ]

Расстояние d между двумя точками с трилинейными линиями фактического расстояния a _i : b _i : c _i определяется как ^{[1] : p. 46}

${\displaystyle d^{2}\sin ^{2}C=(a_{1}-a_{2})^{2}+(b_{1}-b_{2})^{2}+2(a_{1}-a_{2})(b_{1}-b_{2})\cos C}$

или более симметричным способом

${\displaystyle d^{2}={\frac {abc}{4\Delta ^{2}}}\left(a(b_{1}-b_{2})(c_{2}-c_{1})+b(c_{1}-c_{2})(a_{2}-a_{1})+c(a_{1}-a_{2})(b_{2}-b_{1})\right)}$.

Расстояние от точки до линии [ править ]

Расстояние d от точки a ' : b' : c ' в трилинейных координатах фактических расстояний до прямой lx + my + nz = 0 равно ^{[1] : p. 48}

${\displaystyle d={\frac {la'+mb'+nc'}{\sqrt {l^{2}+m^{2}+n^{2}-2mn\cos A-2nl\cos B-2lm\cos C}}}.}$

Квадратичные кривые [ править ]

Уравнение конического сечения в переменной трехлинейной точке x : y : z имеет вид ^{[1] : p.118}

${\displaystyle rx^{2}+sy^{2}+tz^{2}+2uyz+2vzx+2wxy=0.}$

В нем нет ни линейных, ни постоянных членов.

Уравнение окружности радиуса r с центром в координатах фактического расстояния ( a ', b', c ' ) имеет вид ^{[1] : стр.287}

${\displaystyle (x-a')^{2}\sin 2A+(y-b')^{2}\sin 2B+(z-c')^{2}\sin 2C=2r^{2}\sin A\sin B\sin C.}$

Circumconics [ править ]

Уравнение в трехлинейных координатах x, y, z любой описанной коники треугольника имеет вид ^{[1] : p. 192}

${\displaystyle lyz+mzx+nxy=0.}$

Если параметры l, m, n соответственно равны длинам сторон a, b, c (или синусам углов напротив них), то уравнение дает описанную окружность . ^{[1] : стр. 199}

У каждой отдельной циркумконической формы есть центр, уникальный для себя. Уравнение в трехлинейных координатах описанной коники с центром x ': y': z ' имеет вид ^{[1] : p. 203}

${\displaystyle yz(x'-y'-z')+zx(y'-z'-x')+xy(z'-x'-y')=0.}$

Инконикс [ править ]

Каждое коническое сечение, вписанное в треугольник, имеет уравнение в трехлинейных координатах: ^{[1] : p. 208}

${\displaystyle l^{2}x^{2}+m^{2}y^{2}+n^{2}z^{2}\pm 2mnyz\pm 2nlzx\pm 2lmxy=0,}$

причем ровно один или три из неустановленных признаков являются отрицательными.

Уравнение вписанной окружности можно упростить до ^{[1] : с. 210, стр.214}

${\displaystyle \pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {C}{2}}=0,}$

в то время как уравнение, например, для вневписанной окружности, смежной с боковым сегментом, противоположным вершине A, можно записать как ^{[1] : p. 215}

${\displaystyle \pm {\sqrt {-x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {C}{2}}=0.}$

Кубические кривые [ править ]

Многие кубические кривые легко представить с помощью трилинейных координат. Например, центральная самоизосопряженная кубика Z (U, P) как геометрическое место точки X, такое, что P- изоконъюгат X находится на прямой UX , задается детерминантным уравнением

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x&y&z\\qryz&rpzx&pqxy\\u&v&w\end{vmatrix}}=0.}$

К именованным кубикам Z (U, P) относятся следующие:

Кубика Томсона: Z (X (2), X (1)) , где X (2) = центроид , X (1) = центр

Кубика Фейербаха: Z (X (5), X (1)) , где X (5) = точка Фейербаха

Кубика Дарбу: Z (X (20), X (1)) , где X (20) = точка Де Лоншана

Кубика Нойберга: Z (X (30), X (1)) , где X (30) = точка бесконечности Эйлера .

Конверсии [ править ]

Между трилинейными координатами и расстояниями от боковых сторон [ править ]

Для любого выбора трилинейных координат x: y: z для определения местоположения точки фактические расстояния от точки до боковых сторон задаются выражением a '= kx , b' = ky , c '= kz, где k можно определить по формуле в котором a , b , c - стороны соответственно BC , CA , AB , а ∆ - площадь ABC .${\displaystyle k={\frac {2\Delta }{ax+by+cz}}}$

Между барицентрическими и трилинейными координатами [ править ]

Точка с трилинейными координатами x : y : z имеет барицентрические координаты ax : by : cz, где a , b , c - длины сторон треугольника. И наоборот, точка с барицентриками α : β : γ имеет трилинейные координаты α / a : β / b : γ / c .

Между декартовыми и трилинейными координатами [ править ]

Дан справочный треугольник ABC , выразите положение вершины B в терминах упорядоченной пары декартовых координат и представьте это алгебраически как вектор B , используя вершину C в качестве начала координат. Аналогичным образом определить вектор положения вершины А , как A . Тогда любая точка Р , связанная с эталонной треугольника АВС может быть определена в декартовой системе как вектор P = K ₁ + K ₂ B . Если эта точка P имеет трилинейные координаты x: y: zтогда формула преобразования коэффициентов k ₁ и k ₂ в декартовом представлении в трилинейные координаты для сторон a , b , c, противоположных вершинам A , B , C ,

${\displaystyle x:y:z={\frac {k_{1}}{a}}:{\frac {k_{2}}{b}}:{\frac {1-k_{1}-k_{2}}{c}},}$

а формула преобразования из трилинейных координат в коэффициенты в декартовом представлении имеет вид

${\displaystyle k_{1}={\frac {ax}{ax+by+cz}},\quad k_{2}={\frac {by}{ax+by+cz}}.}$

В более общем смысле, если выбрано произвольное начало координат, где декартовы координаты вершин известны и представлены векторами A , B и C, и если точка P имеет трилинейные координаты x : y : z , то декартовы координаты P являются средневзвешенное значение декартовых координат этих вершин с использованием барицентрических координат ax , by и cz в качестве весов. Отсюда формула преобразования трилинейных координат x, y, z в вектор декартовых координат P точки задается

${\displaystyle {\underline {P}}={\frac {ax}{ax+by+cz}}{\underline {A}}+{\frac {by}{ax+by+cz}}{\underline {B}}+{\frac {cz}{ax+by+cz}}{\underline {C}},}$

где длины сторон | C - B | = а , | A - C | = b и | B - A | = с .

См. Также [ править ]

• Теорема Морли о трисекторах # Треугольники Морли , дающие примеры множества точек, выраженных в трилинейных координатах
• Тернарный сюжет
• Теорема Вивиани

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Трехлинейные координаты» . MathWorld .
• Энциклопедия треугольных центров - ETC Кларка Кимберлинга; имеет трилинейные координаты (и барицентрические) для более чем 7000 центров треугольников