Симедиана точка , Лемуана точка или точка Греба является пересечением трех symmedians (медиан отраженных в соответствующих угловых биссектрисах) треугольника.
Росс Хонсбергер назвал его существование «одной из жемчужин современной геометрии». [1]
В Энциклопедии центров треугольников симедианная точка отображается как шестая точка X (6). [2] Он лежит в открытом ортоцентроидном диске, проколотом в его собственном центре, и может быть любой точкой в нем. [3]
Симедианная точка треугольника с длинами сторон a , b и c имеет однородные трилинейные координаты [ a : b : c ]. [2]
Алгебраический способ найти симедианную точку состоит в том, чтобы выразить треугольник тремя линейными уравнениями с двумя неизвестными, заданными гессе-нормальными формами соответствующих прямых. Решение этой переопределенной системы, найденное методом наименьших квадратов, дает координаты точки. Он также решает проблему оптимизации, чтобы найти точку с минимальной суммой квадратов расстояний от сторон.
Точка Жергонна треугольника совпадает с симедианной точкой контактного треугольника . [4]
Симедианная точка треугольника ABC может быть построена следующим образом: пусть касательные прямые описанной окружности ABC, проходящие через B и C, пересекаются в A ', и аналогично определяют B' и C '; тогда A'B'C '- касательный треугольник к ABC, а прямые AA', BB 'и CC' пересекаются в симедианной точке ABC. [5] Можно показать, что эти три прямые пересекаются в точке, используя теорему Брианшона . Линия AA 'является симедианой, что можно увидеть, нарисовав круг с центром от A' через B и C. [ необходима ссылка ]
Французский математик Эмиль Лемуан доказал существование симедианной точки в 1873 году, а Эрнст Вильгельм Греб опубликовал статью об этом в 1847 году. Симон Антуан Жан Л'Юилье также отметил эту точку в 1809 году [1].
Для продолжения до неправильного тетраэдра см. Симедиана .
Ссылки [ править ]
- ^ a b Хонсбергер, Росс (1995), "Глава 7: Симмедианная точка", Эпизоды евклидовой геометрии девятнадцатого и двадцатого веков , Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ).
- ^ a b Энциклопедия треугольных центров , доступ 2014-11-06.
- ^ Брэдли, Кристофер Дж .; Смит, Джефф К. (2006), «Расположение центров треугольников» , Forum Geometricorum , 6 : 57–70.
- ^ Beban-Brkić, J .; Воленец, В .; Колар-Бегович, З .; Колар-Шупер, Р. (2013), «О точке Гергонна треугольника в изотропной плоскости», Rad Hrvatske Akademije Znanosti i Umjetnosti , 17 : 95–106, MR 3100227 .
- ^ Если ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом в точке A, это утверждение необходимо изменить, отбросив ссылку на AA ', поскольку точка A' не существует.
Внешние ссылки [ править ]
- Вайсштейн, Эрик В. "Симедианная точка" . MathWorld .
