Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Треугольник с медианой (черный), биссектрисой угла (пунктир) и симедианой (красный). Симедианы пересекаются в точке симедианы L, биссектрисах углов в центре I и медианах в центроиде G.

В геометрии , symmedians три конкретные геометрические линии , связанные с каждым треугольником . Они построены путем взятия медианы треугольника (линии, соединяющей вершину со средней точкой противоположной стороны) и отражения линии по соответствующей биссектрисе угла (линии, проходящей через ту же вершину, которая делит угол пополам). Угол, образованный симедианой и биссектрисой угла, имеет ту же величину, что и угол между медианой и биссектрисой угла, но он находится по другую сторону биссектрисы угла.

Три симедианы встречаются в центре треугольника, который называется точкой Лемуана . Росс Хонсбергер назвал его существование «одной из жемчужин современной геометрии». [1]

Изогональность [ править ]

Часто в геометрии, если мы проводим три специальные линии через вершины треугольника или чевианы , их отражения относительно соответствующих биссектрис угла, называемые изогональными линиями , также будут иметь интересные свойства. Например, если три чевианы треугольника пересекаются в точке P, то их изогональные прямые также пересекаются в точке, называемой изогонально сопряженной к P.

Симедианы иллюстрируют этот факт.

  • На диаграмме медианы (черные) пересекаются в центроиде G.
  • Поскольку симедианы (отмечены красным) изогональны медианам, симедианы также пересекаются в одной точке, L.

Эта точка называется точкой симедианы треугольника или, как вариант, точкой Лемуана или точкой Греба .

Пунктирные линии - биссектрисы угла; симедианы и медианы симметричны относительно биссектрис угла (отсюда и название «симедиана»).

Построение симедианы [ править ]

AD - это симедиана, проходящая через A.

Пусть ABC - треугольник. Постройте точку D, пересекая касательные от B и C к описанной окружности . Тогда AD - симедиана треугольника ABC. [2]

первое доказательство. Пусть отражение AD поперек биссектрисы угла ∠BAC пересекает BC в точке M '. Потом:

второе доказательство. Определим D 'как изогональное сопряжение D. Легко видеть, что отражение CD относительно биссектрисы - это прямая, проходящая через C, параллельная AB. То же верно и для BD, поэтому ABD'C - параллелограмм. AD 'явно является медианой, потому что диагонали параллелограмма делят друг друга пополам, а AD является его отражением относительно биссектрисы.

третье доказательство. Пусть ω - окружность с центром D, проходящая через B и C, и пусть O - окружность центра ABC, скажем, прямые AB и AC пересекают ω в точках P и Q соответственно. Поскольку ∠ABC = ∠AQP, треугольники ABC и AQP подобны. Поскольку ∠PBQ = ∠BQC + ∠BAC = 1/2 (∠BDC + ∠BOC) = 90 ◦ , мы видим, что PQ является диаметром ω и, следовательно, проходит через D. Пусть M - середина BC. Поскольку D - середина QP, из подобия следует, что ∠BAM = ∠QAD, из чего следует результат.

четвертое доказательство. Пусть S - середина дуги BC. BS = SC, поэтому AS - биссектриса угла ∠BAC. Пусть M - середина BC. Отсюда следует, что D - обратная точка M по отношению к описанной окружности. Из этого мы знаем, что описанная окружность является аполлоническим кругом с фокусами M и D. Итак, AS - это биссектриса угла ∠DAM, и мы достигли желаемого результата.

Тетраэдры [ править ]

Понятие симедианной точки распространяется на (неправильные) тетраэдры. Для тетраэдра ABCD две плоскости P и Q, проходящие через AB, изогонально сопряжены, если они образуют равные углы с плоскостями ABC и ABD. Пусть M - середина стороны CD. Плоскость, содержащая сторону AB, изогональную плоскости ABM, называется симедианной плоскостью тетраэдра. Можно показать, что симедианные плоскости пересекаются в точке, симедианной точке. Это также точка, которая минимизирует квадрат расстояния от граней тетраэдра. [3]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Хонсбергер, Росс (1995), «Глава 7: Симмедианная точка», Эпизоды евклидовой геометрии девятнадцатого и двадцатого веков , Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки CS1 maint: discouraged parameter (link).
  2. ^ Yufei, Zhao (2010). Три леммы по геометрии (PDF) . п. 5.
  3. ^ Садек, Джавад; Бани-Ягуб, Маджид; Ри, Ноа (2016), «Изогональные конъюгаты в тетраэдре» (PDF) , Forum Geometricorum , 16 : 43–50 .

Внешние ссылки [ править ]

  • Симмедиана и Антипараллельность при разрубании узла
  • Симмедиана и 2 антипараллели в разорванном узле
  • Симедиана и касательные в разорванном узле
  • Интерактивный Java-апплет для симедианной точки
  • Изогоны и изогоническая симметрия.