В геометрии , A cevian является линия , которая пересекает одновременно треугольник «с вершиной , а также боковые , что противоположно этой вершине. [1] [2] Медианы и биссектрисы - частные случаи чевиан. Название «чевиан» происходит от итальянского математика Джованни Чева , который доказал известную теорему о чевиане, которая также носит его имя. [3]
Длина
Теорема Стюарта
Длину чевиана можно определить по теореме Стюарта : на диаграмме длина чевиана d определяется формулой
Реже это также представлено мнемоническим
Медиана
Если чевиана является срединной (таким образом, делит сторону пополам ), ее длину можно определить по формуле
или же
поскольку
Следовательно, в этом случае
Биссектриса угла
Если чевиана представляет собой биссектрису угла , ее длина подчиняется формулам
и [5]
а также
где полупериметр s = ( a + b + c ) / 2 .
Сторона длины a делится в пропорции b : c .
Высота
Если чевиан находится на высоте и, следовательно, перпендикулярен стороне, его длина подчиняется формулам
а также
где полупериметр s = ( a + b + c ) / 2.
Соотношение свойств
Существуют различные свойства соотношений длин, образованных тремя чевианами, проходящими через одну и ту же произвольную внутреннюю точку: [6] : 177–188 Ссылаясь на диаграмму справа,
- ( Теорема Чевы )
Эти последние два свойства эквивалентны, потому что суммирование двух уравнений дает тождество 1 + 1 + 1 = 3.
Сплиттер
Разветвитель треугольника является cevian , который рассекает по периметру . Три разделителя совпадают в точке Нагеля треугольника.
Биссектрисы площади
Три биссектрисы площади треугольника являются его медианами, которые соединяют вершины с серединами противоположных сторон. Таким образом, треугольник с равномерной плотностью в принципе уравновешивается на бритве, поддерживающей любую из средних.
Угловые трисектора
Если из каждой вершины треугольника провести две чевианы так, чтобы угол пополам (разделить его на три равных угла), то шесть чевианов попарно пересекаются, образуя равносторонний треугольник , называемый треугольником Морли .
Площадь внутреннего треугольника, образованного чевианами
Теорема Рауса определяет отношение площади данного треугольника к площади треугольника, образованного попарными пересечениями трех чевианов, по одному от каждой вершины.
Смотрите также
Заметки
- ^ Кокстер, HSM ; Грейцер, SL (1967). Возвращение к геометрии . Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки . п. 4 . ISBN 0-883-85619-0.
- ^ Некоторые авторы исключают две другие стороны треугольника, см. Eves (1963 , стр.77).
- ^ Лайтнер, Джеймс Э. (1975). «Новый взгляд на« центры »треугольника». Учитель математики . 68 (7): 612–615. JSTOR 27960289 .
- ^ «Искусство решения проблем» . artofproblemsolving.com . Проверено 22 октября 2018 .
- Перейти ↑ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry , Dover Publ., 2007 (orig. 1929), p. 70.
- ^ Альфред S Посаментьер и Чарльз Т. Залкинд, сложные проблемы в геометрии , Dover Publishing Co., второй пересмотренное издание 1996 года.
Рекомендации
- Eves, Howard (1963), Обзор геометрии (Vol. One) , Allyn and Bacon
- Росс Хонсбергер (1995). Эпизоды в евклидовой геометрии девятнадцатого и двадцатого веков , страницы 13 и 137. Математическая ассоциация Америки.
- Владимир Карапетов (1929). «Некоторые свойства корреляционных вершинных линий в плоском треугольнике». Американский математический ежемесячник 36: 476–479.
- Индика Шамира Амарасингхе (2011). «Новая теорема о любом прямоугольном Чевиановом треугольнике». Журнал Всемирной федерации национальных математических соревнований , Том 24 (02) , стр. 29–37.