Ортоцентроидный круг

Треугольник (черный), его ортоцентр (синий), его центроид (красный) и ортоцентроидный диск (желтый)

ортоцентроидная окружность и различные центры треугольников
H: ортоцентр
S: центроид
F ₁ : первая точка Ферма
F ₂ : вторая точка Ферма
F: точка Фейербаха
I: центр
O: центр описанной окружности
G: точка Жергонна
U: симедианная точка
N: центр окружности из девяти точек

В геометрии , то orthocentroidal круг из не-равностороннего треугольника представляет собой круг , который имеет треугольник ортоцентр и его центроид на противоположных концах диаметра . Этот диаметр также содержит центр из девяти точек треугольника и является подмножеством линии Эйлера , которая также содержит центр описанной окружности за пределами ортоцентроидной окружности.

Guinand показал в 1984 году, что центр треугольника должен лежать внутри ортоцентроидного круга, но не совпадать с центром из девяти точек; то есть он должен упасть в открытый ортоцентроидный диск, проколотый в центре девяти точек. ^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]^{: стр. 451–452} Центром может быть любая такая точка, в зависимости от конкретного треугольника, имеющего этот конкретный ортоцентроидный диск. ^[3]

Кроме того, ^[2] точка Ферма , то точка Gergonne и симедиан точка находится в открытом orthocentroidal диска проколотого на своем собственном центре (и может быть в любой момент в ней), в то время как вторая точка Ферма и точка Фейербах находится в наружном ортоцентроидной окружности. Множество потенциальных мест одного или другого из точек Brocard также открыт orthocentroidal диск. ^[6]

Квадрат диаметра ортоцентроидной окружности равен ^[7]^{: стр.102,} где a, b и c - длины сторон треугольника, а D - диаметр описанной окружности . ${\ displaystyle D ^ {2} - {\ tfrac {4} {9}} (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}),}$

Ссылки [ править ]

^ Guinand, Andrew P. (1984), "Эйлер линия, tritangent центры, и их треугольники", American Mathematical Monthly , 91 (5): 290-300, DOI : 10,2307 / 2322671 , JSTOR 2322671.
^ ^а ^б Брэдли, Кристофер Дж .; Смит, Джефф К. (2006), «Расположение центров треугольников» , Forum Geometricorum , 6 : 57–70.
^ a b Стерн, Джозеф (2007), «Проблема определения треугольника Эйлера» (PDF) , Forum Geometricorum , 7 : 1–9 .
^ Franzsen, Уильям Н. (2011), "Расстояние от вписанной до линии Эйлера" , Форум Geometricorum , 11 : 231-236.
^ Леверша, Джерри; Смит, GC (ноябрь 2007 г.), «Эйлер и геометрия треугольника», Mathematical Gazette , 91 (522): 436–452, JSTOR 40378417 .
^ Брэдли, Кристофер Дж .; Смит, Джефф К. (2006), «Расположение точек Брокара» , Forum Geometricorum , 6 : 71–77.
^ Altshiller-Суд, Натан, Колледж Geometry , Dover Publications, 2007 (ориг. Barnes & Noble 1952).

Викискладе есть медиафайлы по теме ортоцентроидного круга .

[1] Guinand, Andrew P. (1984), "Эйлер линия, tritangent центры, и их треугольники", American Mathematical Monthly , 91 (5): 290-300, DOI : 10,2307 / 2322671 , JSTOR 2322671.

[Bradley-2] а ^б Брэдли, Кристофер Дж .; Смит, Джефф К. (2006), «Расположение центров треугольников» , Forum Geometricorum , 6 : 57–70.

[Stern-3] Стерн, Джозеф (2007), «Проблема определения треугольника Эйлера» (PDF) , Forum Geometricorum , 7 : 1–9 .

[4] Franzsen, Уильям Н. (2011), "Расстояние от вписанной до линии Эйлера" , Форум Geometricorum , 11 : 231-236.

[SL-5] Леверша, Джерри; Смит, GC (ноябрь 2007 г.), «Эйлер и геометрия треугольника», Mathematical Gazette , 91 (522): 436–452, JSTOR 40378417 .

[6] Брэдли, Кристофер Дж .; Смит, Джефф К. (2006), «Расположение точек Брокара» , Forum Geometricorum , 6 : 71–77.

[ac-7] Altshiller-Суд, Натан, Колледж Geometry , Dover Publications, 2007 (ориг. Barnes & Noble 1952).

[1]