Баллы Brocard

Точка Брокара треугольника, построенного в точке пересечения трех окружностей.

В геометрии , BROCARD точки особые точки внутри треугольника . Они названы в честь французского математика Анри Брокара (1845–1922).

Определение [ править ]

В треугольнике ABC со сторонами a , b и c , вершины которого помечены как A , B и C в порядке против часовой стрелки, есть ровно одна точка P такая, что отрезки AP , BP и CP образуют один и тот же угол, ω , со сторонами c , a и b соответственно , а именно, что

${\ Displaystyle \ angle PAB = \ angle PBC = \ angle PCA = \ omega. \,}$

Точка P называется первой точкой Брокара треугольника ABC , а угол ω называется углом Брокара треугольника. Этот угол обладает тем свойством, что

${\ Displaystyle \ детская кроватка \ омега = \ детская кроватка \ альфа + \ детская кроватка \ бета + \ детская кроватка \ гамма, \,}$

где - углы при вершинах соответственно.${\ Displaystyle \ альфа, \, \ бета, \, \ гамма}$${\ Displaystyle \ угол CAB, \, \ угол ABC, \, \ угол BCA}$

Также есть вторая точка Брокара , Q, в треугольнике ABC , так что отрезки AQ , BQ и CQ образуют равные углы со сторонами b , c и a соответственно. Другими словами, применимы уравнения . Примечательно, что эта вторая точка Брокара имеет тот же угол Брокара, что и первая точка Брокара. Другими словами, угол такой же, как${\ displaystyle \ angle QCB = \ angle QBA = \ angle QAC}$${\ Displaystyle \ angle PBC = \ angle PCA = \ angle PAB}$${\ displaystyle \ angle QCB = \ angle QBA = \ angle QAC.}$

Две точки Брокара тесно связаны друг с другом; Фактически, разница между первым и вторым зависит от порядка, в котором берутся углы треугольника ABC . Так, например, первая точка Брокара треугольника ABC совпадает со второй точкой Брокара треугольника ACB .

Два Brocard точки треугольника ABC является изогональным сопряжением друг друга.

Строительство [ править ]

Самая изящная конструкция точек Брокара выглядит следующим образом. В следующем примере представлена ​​первая точка Брокара, но конструкция второй точки Брокара очень похожа.

Как и на диаграмме выше, через точки A и B сформируйте окружность, касательную к краю BC треугольника (центр этой окружности находится в точке, где серединный перпендикуляр AB пересекает прямую, проходящую через точку B, которая перпендикулярна BC). . Симметрично сформируйте окружность через точки B и C, касательную к ребру AC, и окружность через точки A и C, касательные к ребру AB. Эти три окружности имеют общую точку - первую точку Брокара треугольника ABC . См. Также Касательные линии к окружностям .

Построенные три окружности также обозначены как эпициклы треугольника ABC . Аналогично строится вторая точка Брокара.

Трилинейные и барицентрики первых двух точек Брокара [ править ]

Однородные трилинейные координаты для первой и второй точек Брокара равны и соответственно. Таким образом, их барицентрические координаты равны соответственно ^[1] и${\ displaystyle c / b: a / c: b / a}$${\ displaystyle b / c: c / a: a / b}$ ${\ displaystyle c ^ {2} a ^ {2}: a ^ {2} b ^ {2}: b ^ {2} c ^ {2}}$${\ displaystyle a ^ {2} b ^ {2}: b ^ {2} c ^ {2}: c ^ {2} a ^ {2}.}$

Отрезок между первыми двумя точками Брокара [ править ]

Точки Брокара являются примером бицентрической пары точек, но они не являются центрами треугольников, потому что ни одна из точек Брокара не инвариантна относительно преобразований подобия : отражение разностороннего треугольника, частного случая подобия, превращает одну точку Брокара в другую. Однако неупорядоченная пара, образованная обеими точками, инвариантна относительно подобия. Середина двух точек Брокара, называемая средней точкой Брокара , имеет трилинейные координаты.

${\displaystyle \sin(A+\omega ):\sin(B+\omega ):\sin(C+\omega )=a(b^{2}+c^{2}):b(c^{2}+a^{2}):c(a^{2}+b^{2}),}$^[2]

и является центром треугольника. Третий пункт Брокард , приведены в трилинейных координатах как

${\displaystyle \csc(A-\omega ):\csc(B-\omega ):\csc(C-\omega )=a^{-3}:b^{-3}:c^{-3},}$^[3]

это Брокард середина антикомплементарную треугольника , а также изотомическое сопряжение из симедиана точки .

Расстояние между первыми двумя точками Брокара P и Q всегда меньше или равно половине радиуса R описанной окружности треугольника : ^{[1] [4]}

${\displaystyle PQ=2R\sin \omega {\sqrt {1-4\sin ^{2}\omega }}\leq {\frac {R}{2}}.}$

Отрезок между первыми двумя точками Брокара перпендикулярно делится пополам в средней точке Брокара линией, соединяющей центр описанной окружности треугольника и его точку Лемуана . Более того, центр описанной окружности, точка Лемуана и первые две точки Брокара совпадают - все они лежат на одной окружности, диаметр которой составляет отрезок, соединяющий центр описанной окружности и точку Лемуана . ^[1]

Расстояние от центра окружности [ править ]

Точки Брокара P и Q равноудалены от центра описанной окружности O треугольника : ^[4]

${\displaystyle PO=QO=R{\sqrt {{\frac {a^{4}+b^{4}+c^{4}}{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}}-1}}=R{\sqrt {1-4\sin ^{2}\omega }}.}$

Сходства и совпадения [ править ]

Эти педали треугольники первых и вторых точки Brocard являются конгруэнтны друг к другу и похожи на исходный треугольник. ^[4]

Если прямые AP , BP и CP , каждая из которых проходит через одну из вершин треугольника и его первую точку Брокара, пересекают описанную окружность треугольника в точках L , M и N , то треугольник LMN конгруэнтен исходному треугольнику ABC . То же самое справедливо , если первая Брокард точка Р заменяется на второй Brocard точке Q . ^[4]

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Третья точка Брокара в MathWorld
• Бицентрические пары точек и связанные центры треугольников
• Бицентрические пары точек
• Бицентрические точки в MathWorld