Нормальная форма Гессена

Рисование нормали (красным цветом) и расстояния от начала координат до линии (зеленым цветом), вычисленное с помощью нормальной формы Гессе.

Нормальная форма Hesse имя Отто Гессе , является уравнением , используемым в аналитической геометрии , и описывает линию в или плоскость в евклидове пространства или гиперплоскость в более высоких измерениях. ^{[1] [2]} Это в основном используется для вычисления расстояния (см точка-плоскости расстояние и расстояние от точки линии ). ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

В векторных обозначениях он записывается как

${\ displaystyle {\ vec {r}} \ cdot {\ vec {n}} _ {0} -d = 0. \,}$

Точка указывает на скалярное произведение или скалярное произведение . Вектор представляет собой единичный вектор нормали из Й или г , что точки из начала системы координат до плоскости (или линии, в 2D). Расстояние - это расстояние от начала координат до плоскости (или линии).${\ displaystyle \ cdot}$${\ displaystyle {\ vec {n}} _ {0}}$ ${\ displaystyle d \ geq 0}$

Это уравнение удовлетворяют все точки Р , лежащим именно в плоскости Е (или в 2D, на линию г ), описывается вектор местоположения , что точки от начала системы координат до Р .${\ displaystyle {\ vec {r}}}$

Вывод / расчет из нормальной формы [ править ]

Примечание. Для простоты в следующем выводе обсуждается трехмерный случай. Однако это также применимо в 2D.

В нормальной форме

${\ displaystyle ({\ vec {r}} - {\ vec {a}}) \ cdot {\ vec {n}} = 0 \,}$

плоскость задается вектором нормали, а также произвольным вектором положения точки . Направление выбрано так, чтобы выполнялось неравенство ${\ displaystyle {\ vec {n}}}$${\ displaystyle {\ vec {a}}}$${\ displaystyle A \ in E}$${\ displaystyle {\ vec {n}}}$

${\ displaystyle {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {n}} \ geq 0 \,}$

Разделив вектор нормали на его величину , мы получим единичный (или нормированный) вектор нормали${\ displaystyle {\ vec {n}}}$ ${\ displaystyle | {\ vec {n}} |}$

${\ displaystyle {\ vec {n}} _ {0} = {{\ vec {n}} \ over {| {\ vec {n}} |}} \,}$

и приведенное выше уравнение можно переписать как

${\ displaystyle ({\ vec {r}} - {\ vec {a}}) \ cdot {\ vec {n}} _ {0} = 0. \,}$

Подстановка

${\displaystyle d={\vec {a}}\cdot {\vec {n}}_{0}\geq 0\,}$

получаем нормальную форму Гессе

${\displaystyle {\vec {r}}\cdot {\vec {n}}_{0}-d=0.\,}$

На этой диаграмме d - это расстояние от начала координат. Поскольку выполняется для каждой точки на плоскости, это также верно для точки Q (точка, где вектор из начала координат пересекает плоскость E), причем , согласно определению скалярного произведения${\displaystyle {\vec {r}}\cdot {\vec {n}}_{0}=d}$${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}_{s}}$

${\displaystyle d={\vec {r}}_{s}\cdot {\vec {n}}_{0}=|{\vec {r}}_{s}|\cdot |{\vec {n}}_{0}|\cdot \cos(0^{\circ })=|{\vec {r}}_{s}|\cdot 1=|{\vec {r}}_{s}|.\,}$

Величина из кратчайшего расстояния от начала координат до плоскости.${\displaystyle |{\vec {r}}_{s}|}$${\displaystyle {{\vec {r}}_{s}}}$

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Нормальная форма Гессе» . MathWorld .