Медиальный треугольник или середина треугольник из треугольника ABC является треугольником с вершинами в в серединах сторон треугольника AB, AC и BC. Это п = 3 случай средней точки многоугольника в виде многоугольника с п сторон. Медиальный треугольник это не то же самое, что медиана треугольника , который является треугольник, стороны которого имеют одинаковую длину, что и медианы от ABC .
Каждая сторона медиального треугольника называется срединным сегментом (или средней линией ). В общем, середина треугольника - это отрезок прямой, соединяющий середины двух сторон треугольника. Он параллелен третьей стороне и имеет длину, равную половине длины третьей стороны.
Характеристики
Средний треугольник также можно рассматривать как изображение треугольника ABC, преобразованное гомотетией с центром в центре тяжести с соотношением -1/2. Таким образом, стороны среднего треугольника равны половине и параллельны соответствующим сторонам треугольника ABC. Следовательно, средний треугольник обратно подобен и имеет тот же центр тяжести и медианы, что и треугольник ABC . Из этого также следует, что периметр среднего треугольника равен полупериметру треугольника ABC , а площадь равна одной четверти площади треугольника ABC . Кроме того, все четыре треугольника, на которые исходный треугольник подразделяется средним треугольником, являются взаимно конгруэнтными по SSS , поэтому их площади равны, и, таким образом, площадь каждого равна 1/4 площади исходного треугольника. [1] : с.177
Ортоцентр медиального треугольника совпадает с описанной окружности треугольника ABC . Этот факт предоставляет инструмент для доказательства коллинеарности центра описанной окружности, центроида и ортоцентра. Средний треугольник - это педальный треугольник в центре описанной окружности. Девяти точек окружности огибает медиальный треугольник, и так девяти точек центра окружности медиального треугольника.
Точка Нагеля среднего треугольника является центром его справочного треугольника. [2] : с.161, Thm.337.
Средний треугольник опорного треугольника конгруэнтен треугольнику, вершины которого являются серединами между ортоцентром опорного треугольника и его вершинами. [2] : с.103, №206; с.108, №1
Вписанный треугольник лежит в его медиальном треугольнике. [3] : с.233, лемма 1.
Точка внутри треугольника является центром эллипса треугольника тогда и только тогда, когда точка лежит внутри среднего треугольника. [4] : с.139
Средний треугольник - единственный вписанный треугольник, для которого ни один из трех других внутренних треугольников не имеет меньшей площади. [5] : с. 137
Координаты
Пусть a = | BC |, b = | CA |, c = | AB | - длины сторон треугольника ABC. Трехлинейные координаты вершин среднего треугольника задаются выражением
- Х = 0: 1 / б: 1 / с
- Y = 1 / а: 0: 1 / с
- Z = 1 / а: 1 / б: 0
Антикомплементарный треугольник
Если XYZ является медиальный треугольник ABC , то ABC является антикомплементарная треугольник или antimedial треугольник из XYZ . Антикомплементарная треугольник АВС образован тремя линиями параллельно сторонам ABC : параллельно к AB через C , параллельно к сети переменного тока через B , а параллельно до н.э. через A .
Трилинейные координаты вершин антикомплементарного треугольника X'Y'Z 'задаются выражением
- X '= −1 / a: 1 / b: 1 / c
- Y '= 1 / a: −1 / b: 1 / c
- Z '= 1 / a: 1 / b: −1 / c
Название «антикомплементарный треугольник» соответствует тому факту, что его вершины являются антидополнениями вершин A, B, C опорного треугольника. Вершины среднего треугольника являются дополнениями к A, B, C.
Смотрите также
- Средний ёжик , аналогичная концепция для более общих выпуклых множеств
Рекомендации
- ^ Posamentier, Альфред С. и Lehmann, Ингмар. Тайны треугольников , Книги Прометея, 2012.
- ^ a b Альтшиллер-Корт, Натан. Колледж Геометрия . Dover Publications, 2007.
- ^ Franzsen, Уильям Н. "Расстояние от центра до линии Эйлера", Forum Geometricorum 11 (2011): 231–236.
- ^ Чакериан, GD "Искаженное видение геометрии". Гл. 7 в Mathematical Plums (Р. Хонсбергер, редактор). Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, 1979.
- ↑ Торрехон, Рикардо М. «О неравенстве треугольника, вписанном вЭрдош», Forum Geometricorum 5, 2005, 137–141. http://forumgeom.fau.edu/FG2005volume5/FG200519index.html
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. «Медиальный треугольник» . MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. «Антикомплементарный треугольник» . MathWorld .