Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Треугольник ABC черного цвета, перпендикуляры из точки P синим, а полученный треугольник педали LMN красным.

В геометрии , А треугольник педали получается путем проецирования точки на стороны треугольника .

Более конкретно, рассмотрим треугольник АВС , и точку P , которая не является одной из вершин А, В, С . Отбросьте перпендикуляры от точки P к трем сторонам треугольника (может потребоваться их изготовление, то есть удлинение). Обозначим L , M , N точки пересечения прямых из P со сторонами BC , AC , AB . Треугольник педали тогда LMN .

Если ABC не является тупым треугольником, углы LMN равны 180º-2A, 180º-2B и 180º-2C. [1]

Расположение выбранной точки P относительно выбранного треугольника ABC приводит к некоторым частным случаям:

Случай, когда P находится на описанной окружности, а треугольник педали вырождается в линию (красный цвет).

Если P находится на описанной окружности треугольника, LMN сворачивается в линию. Затем это называют линией педалей или иногда линией Симсона в честь Роберта Симсона .

Вершины педального треугольника внутренней точки P , как показано на верхней диаграмме, делят стороны исходного треугольника таким образом, чтобы удовлетворять теореме Карно : [2]

Трилинейные координаты [ править ]

Если P имеет трилинейные координаты p  : q  : r , то вершины L, M, N педального треугольника P имеют вид

  • L = 0: q + p cos C  : r + p cos B
  • M = p + q cos C: 0: r + q cos A
  • N = p + r cos B: q + r cos A: 0

Антипедальный треугольник [ править ]

Одна из вершин, L» , из antipedal треугольника из Р является точкой пересечения перпендикуляра к BP через B и перпендикулярно к CP через C . Остальные его вершины M 'и N ' строятся аналогично. Трехлинейные координаты задаются выражением

  • L ' = - (q + p cos C) (r + p cos B): (r + p cos B) (p + q cos C): (q + p cos C) (p + r cos B).
  • M ' = (r + q cos A) (q + p cos C): - (r + q cos A) (p + q cos C): (p + q cos C) (q + r cos A)
  • N ' = (q + r cos A) (r + p cos B): (p + r cos B) (r + q cos A): - (p + r cos B) (q + r cos A)

Например, эксцентральный треугольник - это антипедальный треугольник в центре.

Предположим , что P не лежит ни на одной из удлиненных сторон BC, CA, AB, и пусть P -1 обозначим изогональных сопряженное с Р . Педали треугольник P является гомотетичны к antipedal треугольника P -1 . Гомотетический центр (который является центром треугольника тогда и только тогда, когда P является центром треугольника) - это точка, заданная в трилинейных координатах формулой

ap (p + q cos C) (p + r cos B): bq (q + r cos A) (q + p cos C): cr (r + p cos B) (r + q cos A) .

Произведение площадей педального треугольника P и антипедального треугольника P −1 равно квадрату площади треугольника ABC .

Ссылки [ править ]

  1. ^ «Тригонометрия / Круги и треугольники / Педальный треугольник - Викиучебники, открытые книги для открытого мира» . en.wikibooks.org . Проверено 31 октября 2020 .
  2. ^ Альфред С. Позаментьер ; Чарльз Т. Салкинд (1996). Сложные задачи по геометрии . Нью-Йорк: Дувр. стр.  85 -86. ISBN 9780486134864. OCLC  829151719 .

Внешние ссылки [ править ]